高考数学二轮导数专题复习——第二十五节 双变量问题之拐点偏移-解析版

这是一份高考数学二轮导数专题复习——第二十五节 双变量问题之拐点偏移-解析版，共4页。试卷主要包含了拐点，拐点偏移，已知函数，已知函数，.等内容，欢迎下载使用。

第二十五节 双变量问题之拐点偏移
知识与方法
1．拐点：在的某邻域内，是函数图象凹与凸的分界点，则P为函数图象的拐点.若是函数图象的拐点，则必有，如图1所示.

2．拐点偏移：极值点偏移问题是以轴对称为背景产生的偏移问题，相应的，拐点偏移问题则是以中心对称为背景产生的偏移问题.当曲线在拐点P处左右两侧的递增（或递减）速率不对称，一般会形成拐点偏移.如图2所示，设，为函数图象上两点，满足，则从图上看，必有，其中为点C的横坐标.
典型例题
【例题】已知函数，为的导函数.
（1）求的极值；
（2）若正实数，满足，证明：.
【解析】（1）由题意，，，，
所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，无极大值.
（2）由（1）可得，所以在上单调递增，且，不妨设，若，则，不合题意，
若，则，不合题意，所以，
要证，只需证，即证①，
因为，所以，代入式①知只需证，
即证，令，
则，
所以在上单调递增，结合知，
从而，故不等式成立.
强化训练
1．己知函数，为的导函数.
（l）求的单调区间；
（2）若，且，证明：.
【解析】由题意，，，所以，，从而的增区间是，减区间是.
（2）由（1）可得，所以在R上单调递增，且，
若，则，不合题意，
若，则，不合题意，所以，
要证，只需证，结合在R上单调递增知只需证①，又，所以，代入①知只需证，
即证，下面证明对任意的成立，
设，
则，
当时，，所以在上单调递增，
结合可得，所以在上单调递减，又，所以，因为，所以，故不等式成立.
2．已知函数.
（1）证明：；
（2）若，且，证明：.
【解析】（1）由题意，，设，则，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，从而，故恒成立，所以，故.
（2）由题意，，，，
所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以在上单调递减，且，
若，则，不合题意，
若，则，不合题意，所以，
要证，只需证，结合在上单调递减知只需证，
又，所以，故只需证，即证①，
令，，
则，
，所以在上单调递增，又，所以，从而在上单调递减，因为，所以，因为，所以，即不等式①成立，故.
3．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设，且，证明：.
【解析】（1）由题意，，，，
当时，，，所以，故单调递减，
当时，，，所以，故单调递增，
从而，故在上单调递增.
（2）由（1）可得在上单调递增，且，
若，则，不合题意，
若，则，不合题意，所以，
要证，只需证，又在上单调递增，
所以只需证①，因为，所以，
代入式①知只需证，即证，
令，
则，
，
设，则，
所以在上单调递增，结合知，
设，则，所以在上单调递增，
结合知，所以，从而在上单调递减，
又，所以，从而在上单调递增，又，所以，因为，所以，故不等式成立.
注意：上面证明的过程也可按下面的放缩法来完成.
，易证，当且仅当时等号成立，
所以当时，，，
从而，接下来的做法同上.
4．已知函数，.
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，且，试比较和的大小，并说明理由.
【解析】（1），设，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是.
（2）由题意，，
设，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，故在上单调递增，且，
若，则，不合题意，
若，则，不合题意，所以，
下面先证明，而要证，只需证，
因为，，且在上单调递增，所以要证，只需证，又，所以，从而只需证，即证，设，，
则
，
所以，从而在上单调递增，又，所以，故在上单调递减，因为，所以恒成立，
因为，所以，从而成立，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，且，，结合在上单调递增可得，设，，
则，
因为当时，，所以，从而在上单调递增，又，所以，因为，所以，从而，因为，所以.