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第2章 一元二次方程 北师大版九年级数学上册单元测试(基础过关)及答案
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一元二次方程单元测试（基础过关）一、单选题1．下列方程中属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义可判断A，根据分母中有未知数，不是整式方程，可判断B根据二次项系数为a是否为0可判断C，根据二次项系数是0，不是一元二次方程，可判断D【解析】解：A、∵，∴，根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确；B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；C、二次项系数为a是否为0，不确定，当=0，b≠0时，一元一次方程，当时是一元二次方程，不选C；D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．故选择：A．【点睛】本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．2．下列配方正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可．【解析】解：A. ，故该选项错误；B. ，故该选项错误；C. ，故该选项正确；D. ，故该选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查多项式的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．3．以为根的一元二次方程可能是( )A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．【解析】解：根据求根公式知，-b是一次项系数，二次项系数是1，常数项是-c． 所以，符合题意的只有D选项． 故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式x=解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．4．方程的根是（）A．-1，3 B．1，-3 C．0，-1，3 D．0，-1，-3【答案】D【分析】根据因式分解法求解即可．【解析】由题可得，或或，解得：或或．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．5．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D【解析】【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000C．200+200×3x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000【答案】D【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选D．【点睛】此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.7．一元二次方程的两个根为，则的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．【解析】为一元二次方程的根，，．根据题意得，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．8．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是（）．A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．【答案】A【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．【解析】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，分解因式得：（b-4）（b+7）=0，解得：b=4或-7，当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，则b=4．故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2【答案】B【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【解析】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．已知为实数，且，则之间的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．【解析】，，，，，，又，，，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．11．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则其中正确的是（）A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2-4a≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴△=0-4ac＞0，∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4a＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．12．若，，，，为互不相等的正奇数，满足，则的末位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】因为，，，，为互不相等的正奇数，所以，，，，为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位数字是1【解析】解：∵，，，，为互不相等的正奇数∴，，，，为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：∴，，，，分别等于2、、4、6、∴，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴的末位数字是1．故选A．【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．二、填空题13．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．【答案】5【解析】解：x2﹣3x+1＝0△==（-3）2-4×1×1=9-4=5．故答案为5．14．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．【答案】2022【分析】根据一元二次方程解的意义可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答．【解析】解：由题意可得：a+b+1=0，∴a+b=-1，∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，故答案为2022．【点睛】本题考查代数式的求值，根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键．15．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______________ ．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求写出两不等式的公共部分即可．【解析】∵，，，根据题意得且， 解得且． 故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．注意二次项系数不为0的隐含条件．16．方程的解为________．【答案】或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【解析】（x-1）（x+3）=12 x2+3x-x-3-12=0 x2+2x-15=0 x=,∴x1=3，x2=-5 故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．17．若三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是方程的根，则此三角形是______三角形.【答案】直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边的长，根据勾股定理逆定理即可判断三角形形状．【解析】解：方程＝0，分解因式得：（3x＋2）（x−4）＝0，解得：x＝（舍去）或x＝4，∴三角形三边分别为3，4，5，∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，故答案为直角.【点睛】此题主要考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人．【答案】22【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可.【解析】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），∴2（1+x）＝22．故答案为22．【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.19．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是__．【答案】1【分析】先求出不等式组的解集，然后解一元二次方程，结合不等式的解集即可得到答案．【解析】解：解不等式组，得：2＜x＜4，∵x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，∴x1＝1，x2＝1．而2＜x＜4，∴x＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．20．已知，则_________．【答案】4【分析】利用完全平方公式将原等式左边适当变形，再根据非负数的性质可求得a、b、c的值，代入计算即可．【解析】解：因为，所以，即，即，，，所以，∴．【点睛】本题考查完全平方公式，乘方的符号法则．能利用完全平方公式对等式适当变形是解题关键．21．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．【答案】；；【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可．【解析】解：∵∴∴∴∴∴∵，为有理数，∴，也为有理数，故当时候，只有，，∴，，故答案是：，；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，则；③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，则必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解析】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正确；②是“倍根方程”，且，因此或．当时，，当时，，，故②正确；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正确；④方程的根为，若，则，即，，，，，，若，则，，，，，．故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．三、解答题23．解方程：（1）．（2）．（3）（4）【答案】（1）x1=5，x2=；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=-1，x2=2【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法可求出解；（2）方程整理后，求出b2-4ac的值，再代入公式求出解即可；（3）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（4）设，代入方程求出t值，再分别求解．【解析】解：（1），3（x-5）2=2（5-x），3（x-5）2-2（5-x）=0，分解因式得：（x-5）[3（x-5）+2]=0，∴x-5=0或3（x-5）+2=0，解得：x1=5，x2=；（2），方程整理得：3x2+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，b2-4ac=100-60=40＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（3），∴，即，∴，∴x1=，x2=；（4），设，∴，∴，∴，∴t=2或t=-5，当t=2时，，即，∴，解得：x1=-1，x2=2；当t=-5时，，∵，∴方程无解，综上：x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键24．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．【答案】a＝0或a＝1【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【解析】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键．25．已知关于的一元二次方程．（）求证：方程总有两个实数根；（）记该方程的两个实数根为和若以，，为三边长的三角形是直角三角形，求的值．【答案】（1）见解析；（2）或．【分析】（）先计算，再利用配方法证明是个非负数即可得到结论；（2）先解方程，求解方程的根为：再分类讨论即可得到答案．【解析】（）证明：，无论取何值，方程总有两个实数根．（）解：，．，．以，，为三边长的三角形是直角三角形，．当为斜边时，则，解得．当为斜边时，则，解得．综上所述，的值为或．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，掌握利用根的判别式解决问题是解题的关键．26．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为，，若，求方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）6或0【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式△＞0来证明即可；（2）解方程即可得到结论．【解析】解：（1）∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x=2m±3，∵x1=3−x2，∴x1+x2=6，∵x1+x2=4m，∴4m=6，∴m=，∴x=2×±3，∴x1=6，x2=0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．27．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．28．受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元．（1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解；（2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意易得，然后进行求解即可．【解析】解：（1）由题意得：（个）；答：平均每天可售出60个．（2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意得：，解得：，∵要让利于消费者，∴；答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．29．数学课上,老师展示了这样一段内容．问题求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？（1）小丽写出了一些二次三项式:①; ②; ③;④; ⑤; ⑥．经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;（2）小明写出了如下 3 个二次多项式:①;②;③．请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．说明:①②③的满分分值分别为 3 分､4 分､5 分;若选多个作答,则以较低分计分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到: ,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．【解析】（1）①②③⑥①最小值为0② ,∵ ,∴,即原式最小值5;③ ,∵ ,∴ ,∴,即原式有最大值为4;④,无法确定最值;⑤,无法确定最值;⑥ ,∵ ,∴,∴,即原式有最大值为;（2）①无最值②∵,∴,即原式有最小值为1③,∵,,,∴,即原式有最小值为．【点睛】本题主要考查了类比的方法,解题的关键是需要学生认真审题,总结出配方的方法,然后再用类比的方法进行解答即可．30．如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点．（1）求的周长和点的坐标；（2）如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）△OAB的周长，（，）；（2）（，）；（3）点（，），或（，），或（，），或（，）【分析】（1）先求出点A、B坐标，可求得△OAB的周长，再联立方程组求得点C坐标，根据坐标平移规律可求得点D坐标；（2）作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，连接，此时最小，利用待定系数法求得直线的解析式，令x=0，可求得点P坐标；（3）设点Q（x，0），分OD=OQ、OD=DQ、OQ=DQ三种情况分别求解即可．【解析】解：（1）在中，当x=0时，y=4，当y=0时，由得：x=8，∴A（8，0）、B（0，4）．∴，．∴．∴△OAB的周长．联立与，解得：．∴点（2，3）．由题意得：点（3，﹣3）；（2）作点关于轴的对称点，则．连接交轴于点．连接，此时最小．设直线的解析式为，把点（2，3），代入得：．解得：，．∴直线的解析式为．当时，．∴点（0，），即当最小时，点的坐标为（0，）；（3）设点Q（x，0），∵D（3，﹣3），O（0，0），∴OD2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18，OQ2=（x﹣0）2+（0﹣0）2=x2，DQ2=（x﹣3）2+（0+3）2=x2﹣6x+18，当为等腰三角形时，可分三种情况：当OD=OQ时，由18=x2得：x=±，∴（，0），或（，0），当OD=DQ时，由18= x2﹣6x+18得：x=6或x=0（与O重合，舍去），∴（6，0），当OQ=DQ时，由x2=x2﹣6x+18得：x=3，∴（3，0），综上，为等腰三角形时，点Q坐标为（，0），或（，0），或（3，0），或（6，0）．【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标变换、两直线的交点问题、最短路径问题、等腰三角形的性质、两点间距离公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是读懂题意，寻找相关知识的关联点，利用数形结合及分类讨论思想进行推理、探究和计算．31．阅读理解:材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:解:令,,即;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围．类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．【答案】（1）或；（2）或；（3）当时,最大．【分析】（1）根据材料1:设,化为关于x的一元二次方程用根的判别式，得出y的取值范围,在列出关于a的方程解出即可；（2）设，化为，再用，然后根据材料2结论，即可求出；（3）设，，根据一元二次方程,利用根的判别式解答问题即可．【解析】解:（1）设，∴，∴,即，根据题意可知,∴，解得:或；（2）设，可化为，即，∴ ,即，令,解得 ,，∴或；（3）猜想:当时,最大．理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,），∴，∴，∴，即，∴，即，∵，，∴，当时,有，∴，即当时,最大．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式､根与系数的关系及解不等式,读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系,运用类比的思想是解题的关键．
一元二次方程单元测试（基础过关）一、单选题1．下列方程中属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义可判断A，根据分母中有未知数，不是整式方程，可判断B根据二次项系数为a是否为0可判断C，根据二次项系数是0，不是一元二次方程，可判断D【解析】解：A、∵，∴，根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确；B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；C、二次项系数为a是否为0，不确定，当=0，b≠0时，一元一次方程，当时是一元二次方程，不选C；D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．故选择：A．【点睛】本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．2．下列配方正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可．【解析】解：A. ，故该选项错误；B. ，故该选项错误；C. ，故该选项正确；D. ，故该选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查多项式的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．3．以为根的一元二次方程可能是( )A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．【解析】解：根据求根公式知，-b是一次项系数，二次项系数是1，常数项是-c． 所以，符合题意的只有D选项． 故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式x=解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．4．方程的根是（）A．-1，3 B．1，-3 C．0，-1，3 D．0，-1，-3【答案】D【分析】根据因式分解法求解即可．【解析】由题可得，或或，解得：或或．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．5．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D【解析】【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000C．200+200×3x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000【答案】D【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选D．【点睛】此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.7．一元二次方程的两个根为，则的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．【解析】为一元二次方程的根，，．根据题意得，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．8．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是（）．A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．【答案】A【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．【解析】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，分解因式得：（b-4）（b+7）=0，解得：b=4或-7，当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，则b=4．故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2【答案】B【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【解析】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．已知为实数，且，则之间的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．【解析】，，，，，，又，，，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．11．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则其中正确的是（）A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2-4a≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴△=0-4ac＞0，∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4a＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．12．若，，，，为互不相等的正奇数，满足，则的末位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】因为，，，，为互不相等的正奇数，所以，，，，为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位数字是1【解析】解：∵，，，，为互不相等的正奇数∴，，，，为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：∴，，，，分别等于2、、4、6、∴，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴的末位数字是1．故选A．【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．二、填空题13．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．【答案】5【解析】解：x2﹣3x+1＝0△==（-3）2-4×1×1=9-4=5．故答案为5．14．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．【答案】2022【分析】根据一元二次方程解的意义可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答．【解析】解：由题意可得：a+b+1=0，∴a+b=-1，∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，故答案为2022．【点睛】本题考查代数式的求值，根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键．15．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______________ ．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求写出两不等式的公共部分即可．【解析】∵，，，根据题意得且， 解得且． 故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．注意二次项系数不为0的隐含条件．16．方程的解为________．【答案】或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【解析】（x-1）（x+3）=12 x2+3x-x-3-12=0 x2+2x-15=0 x=,∴x1=3，x2=-5 故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．17．若三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是方程的根，则此三角形是______三角形.【答案】直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边的长，根据勾股定理逆定理即可判断三角形形状．【解析】解：方程＝0，分解因式得：（3x＋2）（x−4）＝0，解得：x＝（舍去）或x＝4，∴三角形三边分别为3，4，5，∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，故答案为直角.【点睛】此题主要考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人．【答案】22【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可.【解析】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），∴2（1+x）＝22．故答案为22．【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.19．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是__．【答案】1【分析】先求出不等式组的解集，然后解一元二次方程，结合不等式的解集即可得到答案．【解析】解：解不等式组，得：2＜x＜4，∵x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，∴x1＝1，x2＝1．而2＜x＜4，∴x＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．20．已知，则_________．【答案】4【分析】利用完全平方公式将原等式左边适当变形，再根据非负数的性质可求得a、b、c的值，代入计算即可．【解析】解：因为，所以，即，即，，，所以，∴．【点睛】本题考查完全平方公式，乘方的符号法则．能利用完全平方公式对等式适当变形是解题关键．21．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．【答案】；；【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可．【解析】解：∵∴∴∴∴∴∵，为有理数，∴，也为有理数，故当时候，只有，，∴，，故答案是：，；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，则；③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，则必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解析】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正确；②是“倍根方程”，且，因此或．当时，，当时，，，故②正确；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正确；④方程的根为，若，则，即，，，，，，若，则，，，，，．故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．三、解答题23．解方程：（1）．（2）．（3）（4）【答案】（1）x1=5，x2=；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=-1，x2=2【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法可求出解；（2）方程整理后，求出b2-4ac的值，再代入公式求出解即可；（3）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（4）设，代入方程求出t值，再分别求解．【解析】解：（1），3（x-5）2=2（5-x），3（x-5）2-2（5-x）=0，分解因式得：（x-5）[3（x-5）+2]=0，∴x-5=0或3（x-5）+2=0，解得：x1=5，x2=；（2），方程整理得：3x2+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，b2-4ac=100-60=40＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（3），∴，即，∴，∴x1=，x2=；（4），设，∴，∴，∴，∴t=2或t=-5，当t=2时，，即，∴，解得：x1=-1，x2=2；当t=-5时，，∵，∴方程无解，综上：x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键24．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．【答案】a＝0或a＝1【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【解析】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键．25．已知关于的一元二次方程．（）求证：方程总有两个实数根；（）记该方程的两个实数根为和若以，，为三边长的三角形是直角三角形，求的值．【答案】（1）见解析；（2）或．【分析】（）先计算，再利用配方法证明是个非负数即可得到结论；（2）先解方程，求解方程的根为：再分类讨论即可得到答案．【解析】（）证明：，无论取何值，方程总有两个实数根．（）解：，．，．以，，为三边长的三角形是直角三角形，．当为斜边时，则，解得．当为斜边时，则，解得．综上所述，的值为或．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，掌握利用根的判别式解决问题是解题的关键．26．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为，，若，求方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）6或0【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式△＞0来证明即可；（2）解方程即可得到结论．【解析】解：（1）∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x=2m±3，∵x1=3−x2，∴x1+x2=6，∵x1+x2=4m，∴4m=6，∴m=，∴x=2×±3，∴x1=6，x2=0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．27．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．28．受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元．（1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解；（2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意易得，然后进行求解即可．【解析】解：（1）由题意得：（个）；答：平均每天可售出60个．（2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意得：，解得：，∵要让利于消费者，∴；答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．29．数学课上,老师展示了这样一段内容．问题求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？（1）小丽写出了一些二次三项式:①; ②; ③;④; ⑤; ⑥．经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;（2）小明写出了如下 3 个二次多项式:①;②;③．请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．说明:①②③的满分分值分别为 3 分､4 分､5 分;若选多个作答,则以较低分计分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到: ,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．【解析】（1）①②③⑥①最小值为0② ,∵ ,∴,即原式最小值5;③ ,∵ ,∴ ,∴,即原式有最大值为4;④,无法确定最值;⑤,无法确定最值;⑥ ,∵ ,∴,∴,即原式有最大值为;（2）①无最值②∵,∴,即原式有最小值为1③,∵,,,∴,即原式有最小值为．【点睛】本题主要考查了类比的方法,解题的关键是需要学生认真审题,总结出配方的方法,然后再用类比的方法进行解答即可．30．如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点．（1）求的周长和点的坐标；（2）如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）△OAB的周长，（，）；（2）（，）；（3）点（，），或（，），或（，），或（，）【分析】（1）先求出点A、B坐标，可求得△OAB的周长，再联立方程组求得点C坐标，根据坐标平移规律可求得点D坐标；（2）作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，连接，此时最小，利用待定系数法求得直线的解析式，令x=0，可求得点P坐标；（3）设点Q（x，0），分OD=OQ、OD=DQ、OQ=DQ三种情况分别求解即可．【解析】解：（1）在中，当x=0时，y=4，当y=0时，由得：x=8，∴A（8，0）、B（0，4）．∴，．∴．∴△OAB的周长．联立与，解得：．∴点（2，3）．由题意得：点（3，﹣3）；（2）作点关于轴的对称点，则．连接交轴于点．连接，此时最小．设直线的解析式为，把点（2，3），代入得：．解得：，．∴直线的解析式为．当时，．∴点（0，），即当最小时，点的坐标为（0，）；（3）设点Q（x，0），∵D（3，﹣3），O（0，0），∴OD2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18，OQ2=（x﹣0）2+（0﹣0）2=x2，DQ2=（x﹣3）2+（0+3）2=x2﹣6x+18，当为等腰三角形时，可分三种情况：当OD=OQ时，由18=x2得：x=±，∴（，0），或（，0），当OD=DQ时，由18= x2﹣6x+18得：x=6或x=0（与O重合，舍去），∴（6，0），当OQ=DQ时，由x2=x2﹣6x+18得：x=3，∴（3，0），综上，为等腰三角形时，点Q坐标为（，0），或（，0），或（3，0），或（6，0）．【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标变换、两直线的交点问题、最短路径问题、等腰三角形的性质、两点间距离公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是读懂题意，寻找相关知识的关联点，利用数形结合及分类讨论思想进行推理、探究和计算．31．阅读理解:材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:解:令,,即;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围．类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．【答案】（1）或；（2）或；（3）当时,最大．【分析】（1）根据材料1:设,化为关于x的一元二次方程用根的判别式，得出y的取值范围,在列出关于a的方程解出即可；（2）设，化为，再用，然后根据材料2结论，即可求出；（3）设，，根据一元二次方程,利用根的判别式解答问题即可．【解析】解:（1）设，∴，∴,即，根据题意可知,∴，解得:或；（2）设，可化为，即，∴ ,即，令,解得 ,，∴或；（3）猜想:当时,最大．理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,），∴，∴，∴，即，∴，即，∵，，∴，当时,有，∴，即当时,最大．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式､根与系数的关系及解不等式,读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系,运用类比的思想是解题的关键．
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