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人教版八年级数学上册同步精品试卷 专题13.1 轴对称+专题13.2 画轴对称图形
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这是一份人教版八年级数学上册同步精品试卷 专题13.1 轴对称+专题13.2 画轴对称图形，文件包含专题131轴对称+专题132画轴对称图形教师版docx、专题131轴对称+专题132画轴对称图形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。
专题13.1 轴对称+专题13.2 画轴对称图形
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1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，弄清他们之间的区别与联系；
2.掌握轴对称的性质，能根据性质解决简单的数学问题或实际问题；
3.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质与判定；
4.会用尺规作出线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线解决实际问题。
知识精讲
知识点01 轴对称及其性质
【知识点】
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
注意：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫对称点
注意：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；
轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于该直线（原对称轴）对称.
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识拓展1】辨别轴对称图形
例1．（2022·江苏盐城·中考真题）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（ ）
A．B．C． D．
【即学即练】
1．（2022·海南·八年级期末）2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展2】生活中的轴对称（镜面、剪纸等）
例2．（2022·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【即学即练】
1．（2022·江西上饶·八年级期末）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．
【知识拓展3】利用轴对称的性质求角度（长度）
例3．（1）（2022·河南·八年级阶段练习）如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为________．
（2）（2022•，绵阳市八年级期末）如图所示，点P关于直线OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为8cm，则CD为 cm．
【即学即练】
1.（2022•沙坪坝区校级期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ °．
2.（2022•深圳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
知识点02 垂直平分线的性质与判定
【知识点】
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
注意：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【知识拓展1】利用垂直平分线求角度（长度）
例1.（1）（2022•成都市高新区八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
（2）（2022•绵阳市八年级期中）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
【即学即练1】
1.（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．14
2．（2022·天津八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=____（度）．
【知识拓展2】线段的垂直平分线的实际应用
例2．（2022·山西晋中·八年级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
【即学即练2】
2．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【知识拓展3】线段的垂直平分线的判定
例3．（2022.江苏八年级期中）如图，中，边的垂直平分线交于点P．
（1）求证：．（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
【即学即练3】
1．（2022·河南开封·一模）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线
则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．
2．（2022•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
【知识拓展4】线段的垂直平分线的作图
例4．（2022·广东九年级期末）如图，在中，．
（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【即学即练4】
4．（2022·西城区·八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
知识点03 画轴对称图形
【知识点】
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
关于x（y）轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系：
已知P点坐标，则它关于轴的对称点的坐标为，如下图所示：
即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
已知P点坐标为，则它关于轴对称点的坐标为，如上图所示．
即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【知识拓展1】关于x（y）轴对称的点的坐标
例1．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【即学即练1】
1．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【知识拓展2】轴对称变换作图
例2．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【即学即练2】
2．（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
【知识拓展3】设计轴对称图案
例3．（2022•武汉模拟）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【即学即练3】
3．（2022•宛城区期末）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．
（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；
（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．
能力拓展
考法01 利用轴对称的性质解决折叠（翻折）问题
【典例1】（2022·四川成都·七年级期中）把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝_______．
变式1．（2022·广西防城港·八年级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若CD//BE，，则的度数是________．
变式2．（2022·浙江·浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
考法02 线段的垂直平分线的综合运用
【典例2】（2022·石家庄二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
变式1．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．（1）与的数量关系为 ．（2）求的长．（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．
变式2．（2022•平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·江苏南通·中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东威海·中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3．（2022·山东枣庄·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4.（2022•雁塔区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
5.（2022•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处
6.（2022•扎兰屯市期末）如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022·河南漯河市·）如图，与关于直线对称，下列判断错误的是（ ）
A． B．直线垂直平分线段 C． D．
8.（2022•沙坪坝区校级期中）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 ．
9．（2022·湖北·通山县实验初级中学一模）如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是________．
10.（2022•道县期末）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有 3 种．
11.（2022•沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．
12．（2022·云南·三模）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
13.（2022•碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）
题组B 能力提升练
1．（2022·四川宜宾·八年级期末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处 B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处 D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
2.（2022•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
3．（2022·江西·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2 B．12 C．5 D．7
4．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC
5.（2022•锦江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD对折得到△BDE，若BE恰好经过点C，则下列结论错误的是（ ）
A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD
C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE
6．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的____线．
7．（2022·四川·成都七中阶段练习）如图，在长方形中，点E是边的中点，将长方形沿过点E的直线折叠，使点B落在平面内的点处，其中折痕交边所在直线于点F．若时，则____________．
8．（2022·河南·一模）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
9．（2022·江苏盐城·三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
10.（2022•双流区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是 ．
11.（2022•博白县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
12．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1所示，S同学把一张6×6的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去多余部分只留下阴影部分，然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．T同学说：“我不用剪纸，我直接在你的图1②基础上，通过‘逆向还原’的方式依次画出相应的与原图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．”画图过程如图2所示．
对于图3中的另一种剪纸方式，请仿照图2中“逆向还原”的方式，在图4①中的正方形网格中画出还原后的图案，并判断它与图2中最后得到的图案是否相同．
答：□相同；□不相同．（在相应的方框内打勾）
题组C 培优拔尖练
1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
2．（2022·湖南娄底·一模）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动
3.（2022•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022•荆州）若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6.（2022•滨州月考）如图，在坐标平面内，依次作点P（﹣3，1）关于直线y＝x的对称点P1，P1关于x轴对称点P2，P2关于y轴对称点P3，P3关于直线y＝x对称点P4，P4关于x轴对称点P5，P5关于y轴对称点P6，…，按照上述变换规律继续作下去，则点P2019的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）
7．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
8.（2022•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为 ．
9.（2022•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
10.（2022•渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为 ．（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
11.（2022•贵港期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 ．
（4）△ABC的面积为 ．
12．（2022·湖北蕲春县·八年级月考）如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点.若.（1）求证：平分；（2）如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，求.
专题13.1 轴对称+专题13.2 画轴对称图形
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1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，弄清他们之间的区别与联系；
2.掌握轴对称的性质，能根据性质解决简单的数学问题或实际问题；
3.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质与判定；
4.会用尺规作出线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线解决实际问题。
知识精讲
知识点01 轴对称及其性质
【知识点】
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
注意：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫对称点
注意：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；
轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于该直线（原对称轴）对称.
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识拓展1】辨别轴对称图形
例1．（2022·江苏盐城·中考真题）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（ ）
A．B．C． D．
【即学即练】
1．（2022·海南·八年级期末）2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展2】生活中的轴对称（镜面、剪纸等）
例2．（2022·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【即学即练】
1．（2022·江西上饶·八年级期末）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．
【知识拓展3】利用轴对称的性质求角度（长度）
例3．（1）（2022·河南·八年级阶段练习）如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为________．
（2）（2022•，绵阳市八年级期末）如图所示，点P关于直线OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为8cm，则CD为 cm．
【即学即练】
1.（2022•沙坪坝区校级期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ °．
2.（2022•深圳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
知识点02 垂直平分线的性质与判定
【知识点】
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
注意：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【知识拓展1】利用垂直平分线求角度（长度）
例1.（1）（2022•成都市高新区八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
（2）（2022•绵阳市八年级期中）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
【即学即练1】
1.（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．14
2．（2022·天津八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=____（度）．
【知识拓展2】线段的垂直平分线的实际应用
例2．（2022·山西晋中·八年级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
【即学即练2】
2．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【知识拓展3】线段的垂直平分线的判定
例3．（2022.江苏八年级期中）如图，中，边的垂直平分线交于点P．
（1）求证：．（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
【即学即练3】
1．（2022·河南开封·一模）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线
则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．
2．（2022•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
【知识拓展4】线段的垂直平分线的作图
例4．（2022·广东九年级期末）如图，在中，．
（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【即学即练4】
4．（2022·西城区·八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
知识点03 画轴对称图形
【知识点】
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
关于x（y）轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系：
已知P点坐标，则它关于轴的对称点的坐标为，如下图所示：
即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
已知P点坐标为，则它关于轴对称点的坐标为，如上图所示．
即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【知识拓展1】关于x（y）轴对称的点的坐标
例1．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【即学即练1】
1．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【知识拓展2】轴对称变换作图
例2．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【即学即练2】
2．（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
【知识拓展3】设计轴对称图案
例3．（2022•武汉模拟）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【即学即练3】
3．（2022•宛城区期末）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．
（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；
（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．
能力拓展
考法01 利用轴对称的性质解决折叠（翻折）问题
【典例1】（2022·四川成都·七年级期中）把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝_______．
变式1．（2022·广西防城港·八年级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若CD//BE，，则的度数是________．
变式2．（2022·浙江·浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
考法02 线段的垂直平分线的综合运用
【典例2】（2022·石家庄二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
变式1．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．（1）与的数量关系为 ．（2）求的长．（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．
变式2．（2022•平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·江苏南通·中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东威海·中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3．（2022·山东枣庄·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4.（2022•雁塔区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
5.（2022•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处
6.（2022•扎兰屯市期末）如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022·河南漯河市·）如图，与关于直线对称，下列判断错误的是（ ）
A． B．直线垂直平分线段 C． D．
8.（2022•沙坪坝区校级期中）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 ．
9．（2022·湖北·通山县实验初级中学一模）如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是________．
10.（2022•道县期末）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有 3 种．
11.（2022•沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．
12．（2022·云南·三模）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
13.（2022•碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）
题组B 能力提升练
1．（2022·四川宜宾·八年级期末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处 B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处 D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
2.（2022•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
3．（2022·江西·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2 B．12 C．5 D．7
4．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC
5.（2022•锦江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD对折得到△BDE，若BE恰好经过点C，则下列结论错误的是（ ）
A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD
C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE
6．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的____线．
7．（2022·四川·成都七中阶段练习）如图，在长方形中，点E是边的中点，将长方形沿过点E的直线折叠，使点B落在平面内的点处，其中折痕交边所在直线于点F．若时，则____________．
8．（2022·河南·一模）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
9．（2022·江苏盐城·三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
10.（2022•双流区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是 ．
11.（2022•博白县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
12．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1所示，S同学把一张6×6的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去多余部分只留下阴影部分，然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．T同学说：“我不用剪纸，我直接在你的图1②基础上，通过‘逆向还原’的方式依次画出相应的与原图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．”画图过程如图2所示．
对于图3中的另一种剪纸方式，请仿照图2中“逆向还原”的方式，在图4①中的正方形网格中画出还原后的图案，并判断它与图2中最后得到的图案是否相同．
答：□相同；□不相同．（在相应的方框内打勾）
题组C 培优拔尖练
1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
2．（2022·湖南娄底·一模）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动
3.（2022•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022•荆州）若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6.（2022•滨州月考）如图，在坐标平面内，依次作点P（﹣3，1）关于直线y＝x的对称点P1，P1关于x轴对称点P2，P2关于y轴对称点P3，P3关于直线y＝x对称点P4，P4关于x轴对称点P5，P5关于y轴对称点P6，…，按照上述变换规律继续作下去，则点P2019的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）
7．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
8.（2022•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为 ．
9.（2022•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
10.（2022•渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为 ．（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
11.（2022•贵港期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 ．
（4）△ABC的面积为 ．
12．（2022·湖北蕲春县·八年级月考）如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点.若.（1）求证：平分；（2）如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，求.
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