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2022-2023学年江苏省泰州市靖江市七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省泰州市靖江市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省泰州市靖江市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 小华书写时不小心把墨水滴在了等式“a6a2=a4(a≠0)”中的运算符号上，则被覆盖的符号是( )
A. + B. − C. × D. ÷
2. 下列各多项式中，能因式分解的是( )
A. a2+b2 B. a2−ab+b2 C. −a2−4 D. a2−2a+1
3. 如图，点A，C，E在同一条直线上，下列条件中能判断AB//CD的是( )
A. ∠DBC=∠ACB B. ∠A=∠DCE
C. ∠ABC=∠DCE D. ∠D+∠ACD=180°
4. 已知a>b，下列变形一定正确的是( )
A. 5a<5b B. −a>−b C. 1+2a>1+2b D. ac2>bc2
5. 下列命题中，属于假命题的是( )
A. 三角形两边之和大于等三边 B. 平行于同一直线的两条直线平行
C. 同位角不一定相等 D. 有两个内角是锐角的三角形是锐角三角形
6. 《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是y=3(x−2)，则符合题意的另一个方程是( )
A. y=2x+9 B. y=2x−9 C. x=y−93 D. x=y+93
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为______米．
8. 已知am=3，an=2，则am+n= ______ ．
9. 若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为______．
10. 已知x=2y=−1是二元一次方程mx+ny=−2的一个解，则4m−2n+6的值等于______ ．
11. 若(x+2)(x2−ax+5)的乘积中不含x的一次项，则a=______．
12. 一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠CED=50°，那么∠BAF的大小为______．
13. 如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则四边形AFDG的面积是______ ．
14. 小聪一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为______°.
15. 观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102…2199.若2100=m，用含m的代数式表示这组数的和是______ ．
16. 如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A′的位置，折痕为DE.若∠A=30°，∠C=40°，若点E是AB边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿DE折叠，DE为折痕，使得点A落在A′处，使A′D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)(−12)+(π−2)0−|−3|；
(2)2a2⋅a4+(−2a2)3．
18. (本小题6.0分)
(1)因式分解：3x2−12；
(2)解方程组：3x+y=7x−y=3．
19. (本小题6.0分)
已知多项式A=(x+2)2+x(x−2)−(x+3)(x−3)．
小明的作业：
解：A=(x+2)2+x(x−2)−(x+3)(x−3)
=x2+2x+4+x2−2x−x2−9
=x2−5
其中：①+2x；②−2x；③−9．
(1)化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程：在标出①②③的三项中，出现错误的是______ (填上序号)，并写出正确的解答过程；
(2)小亮说：“只要给出x2+2x+1的合理的值，即可求出多项式A的值”，小明给出x2+2x+1的值为4，请你求出此时A的值．
20. (本小题8.0分)
如图，格点间间距均为1.在网格内将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
(1)补全△A′B′C′；
(2)作出中线CD；
(3)画出BC边上的高线AE；
(4)写出四边形BCC′B′的面积为______ ．
21. (本小题6.0分)
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴(a+b)2=9，2ab=2．
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若m+n=3，mn=1，则(m−n)2= ______ ；
(2)如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形BCFG与正方形ACDE，设AB=6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，F在线段CD上，请从：①∠EFC+∠BDC=180°，②DE//BC，③∠DEF=∠B这三个选项中，选择两个作为条件，一个作为结论，并说明结论的正确性．
你选择的条件是______ ，结论是______ (填上序号)．
23. (本小题10.0分)
学校为举行校庆活动，准备向某商家购买A，B两种衬衫，已知购买2件A种衬衫和3件B种衬衫需要170元；购买4件A种衬衫和1件B种衬衫需要190元．
(1)求A，B两种衬衫的单价；
(2)恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，学校决定向该商家购买A，B两种衬衫共100件，其中A种衬衫a件(a<50)．
活动一：“疯狂打“A种衬衫八折，B种衬衫四折；
活动二：“买一送一“购买一件A种衬衫，赠送一件B种衬衫．
①若按活动一购买，共需付款多少元？若按活动二购买，共需付款多少元？(用a的代数式表示)
②若按活动二购买比按活动一购买更优惠，求a的所有可能值．
24. (本小题8.0分)
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．
例如：方程x−1=2的解为x=3，而不等式组x+1>2x−3<1的解集为12x−3<1的“相伴方程”．
问题解决：
(1)在方程①3−x=0，②3x=−1中，不等式组x+1>−33x<3的“相伴方程”是______ (填序号)；
(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−1的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程2x+4=0,2x−13=−1都是关于x的不等式组x+5≥mx+m<2m+3的“相伴方程”，试求m的取值范围．
25. (本小题10.0分)
小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
如图，在△ABC中，射线BD交AC于点D，点E是线段AD上的任意一点，过点E作EF//BC交直线BD于点F，直线EG与射线BD交于点G．
(1)如图1，若∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠CBD=∠ABD，∠FEG=∠CEG，则∠BGE= ______ °；
(2)如图2，若∠A=70°，∠CBD=2∠ABD，∠FEG=2∠CEG，则∠BGE= ______ °；
(3)如图3，若∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG(n≥1)，则探索∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，在(3)的条件下，若点E在线段DC上运动(此时G在△ABC外部)，或在线段DC的延长线运动(此时G在△ABC内部)，请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵a6÷a2=a6−2=a4．
故选：D．
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，根据同底数幂除法的运算法则解答即可．
本题考查了同底数幂除法，解题的关键是熟记法则，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an=am−n(a≠0,m,n是正整数，m>n)．
2.【答案】D
【解析】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能因式分解，故本选项不符合题意；
C、−a2−4=−(a2+4)不能因式分解，故本选项不符合题意；
D、a2−2a+1=(a−1)2能因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
直接利用平方差公式或完全平方公式分解因式进而得出答案．
此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=∠ACB，
∴AC//BD (内错角相等，两直线平行)，但不能说明AB//CD．
故A不符合题意．
∵∠A=∠DCE，
∴AB//CD (同位角相等，两直线平行)．
故B符合题意．
∵∠ABC=∠DCE，但∠A或∠BCD不一定与它们相等，
∴AB与CD不一定平行．
故C不符合题意．
∵∠D+∠ACD=180°，
∴AC//BD(同旁内角互补，两直线平行)，但不能说明AB//CD．
故D不符合题意．
故选：B．
根据平行的判定定理，分别对四个选项分析判断即可．
本题考查如何判定两直线平行，比较简单，一定要熟练掌握，灵活运用．
4.【答案】C
【解析】解：A、∵a>b，
∴5a>5b，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴−a<−b，
故B不符合题意；
C、∵a>b，
∴2a>2b，
∴1+2a>1+2b，
故C符合题意；
D、∵a>b，
∴ac2>bc2(c≠0)，
故D不符合题意题意；
故选：C．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上(或减去)一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以(或除以)一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以(或除以)一个负数，不等号方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C中的命题都是真命题，故A、B、C不符合题意；
D、有两个内角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故D符合题意．
故选：D．
由三角形的三边关系，平行公理的推论，同位角的概念，三角形的有关概念，即可判断．
本题考查三角形的三边关系，平行公理的推论，同位角的概念，三角形的有关概念，掌握以上知识点是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵每三人乘一车，最终剩余2辆车，且列出的一个方程是y=3(x−2)，
∴y表示人数，x表示车的辆数；
又∵每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，
∴y=2x+9．
故选：A．
根据列出的一个方程可找出x，y表示的含义，再由“每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7.【答案】8.4×10−6
【解析】
【分析】
本题考查了科学记数法表示绝对值较小的数．解题的关键是能够用科学记数法表示较小的数的一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.0000084=8.4×10−6，
故答案为：8.4×10−6．
8.【答案】6
【解析】解：am+n=am⋅an=3×2=6，
故答案为：6．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
9.【答案】6
【解析】解：这个多边形的边数是：360÷60=6．
故答案为：6．
根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：把解代入二元一次方程mx+ny=−2，得2m−n=−2，
∴4m−2n=−4，
∴4m−2n+6=−4+6=2．
故答案为2．
根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，那么得到一个含有未知数m的一元一次方程，即可求得．
此题主要考查了二元一次方程组解的定义，理解定义是关键．
11.【答案】52
【解析】解：(x+2)(x2−ax+5)
=x3−ax2−2ax+5x+2x2+10
=x3+(2−a)x2+(−2a+5)x+10，
∵乘积中不含x的一次项，
∴−2a+5=0，
解得：a=52，
故答案为：52．
首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可．
此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
12.【答案】10°
【解析】解：∵DE//AF，∠CED=50°，
∴∠CAF=∠CED=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°−50°=10°，
故答案为：10°．
先根据∠CED=50°，DE//AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
13.【答案】8
【解析】解：∵AD为△ABC中BC边的中线，S△ABC=16，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×16=8，
∵BE、CE是AD的中线，
∴S△ABE=S△BED=12S△ABD=4，S△AEC=S△CED=12S△ACD=4，
同理：S△AEF=12S△ABE=2，S△AEG=12S△AEC=2，
S△DEF=12S△BDE=2，S△DEG=12S△CED=2，
∴S四边形AFDG=S△AEF+S△AEG+S△DEF+S△DEG=8，
故答案为：8．
根据三角形一边上的中线，将三角形面积二等分即可解决．
本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
14.【答案】540
【解析】解：连接CF．
在△CDM与△CFM中，∠EMD=∠CMF，
∴∠E+∠D=∠DCF+∠EFC，
∴在五边形ABEFG中∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠MFC+∠G
∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠EFC+∠MFC+∠G
=∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G
=(5−2)⋅180°
=540°．
故答案为：540°．
连接BE，则∠E+∠D=∠DCF+∠EFC，则图中所求的几个角的和是五边形ABEFG的内角和．
本题考查了多边形内角与外角，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问题．
15.【答案】m(m−1)
【解析】解：∵2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，……
∴第n个等式为2+22+23+…+2n+1=2n+2−2，
∴2+22+23+…+2199=2200−2，2+22+23+…+299=2100−2，
∴2100+2101+2102+…+2199
=(2+22+23+…+2199)−(2+22+23+…+299)
=2200−2−(2100−2)
=2200−2100，
∵2100=m，
∴2200=m2，
∴2100+2101+2102+…+2199=m2−m=m(m−1)．
故答案为：m(m−1)．
通过观察所给的式子，发现第n个等式为2+22+23+…+2n+1=2n+2−2，再由2100+2101+2102+…+2199=(2+22+23+…+2199)−(2+22+23+…+299)=2200−2100，将已知条件代入即可求解．
本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应该规律计算是解题的关键．
16.【答案】75°或130°
【解析】解：(1)如图1，当A′D//AB时，
∴∠AED=∠A′DE，∠A=∠A′DC=30°
由翻折可知，∠ADE=∠A′DE，
∵∠ADE+∠A′DC+∠A′DE=180°，
∴∠AED=180°−30°2=75°；
(2)如图2，当A′D//BC时，
∴∠ADF=∠C=40°，∠AFD=∠B=180°−∠A−∠C=110°，
由翻折可知，∠ADE=∠A′DE=12∠ADA′=20°，
∴∠AED=∠EFD+∠A′DE
=110°+20°
=130°，
综上所述，∠AED=75°或130°，
故答案为：75°或130°．
根据翻折分两种情况进行解答，分别画出相应的图形，利用翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质进行计算即可．
本题考查翻折的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握翻折变换的性质，三角形内角和是180°以及平行线的性质是正确解答的前提．
17.【答案】解：(1)原式=−12+1−3
=−212；
(2)原式=2a6−8a6
=−6a6．
【解析】(1)直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则化简，进而合并同类项即可．
此题主要考查了单项式乘单项式以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)3x2−12
=3(x2−4)
=3(x+2)(x−2)；
(2)3x+y=7①x−y=3②，
①+②得：4x=10，
解得：x=2.5，
把x=2.5代入②得：2.5−y=3，
解得：y=−0.5，
∴原方程组的解为：x=2.5y=−0.5．
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】①③
【解析】解：(1)A=(x+2)2+x(x−2)−(x+3)(x−3)
=x2+4x+4+x2−2x−(x2−9)
=x2+4x+4+x2−2x−x2+9
=x2+2x+13，
则出现错误的是：①③，
故答案为：①③；
(2)当x2+2x+1=4时，
原式=x2+2x+1+12
=4+12
=16．
(1)先算完全平方，单项式乘多项式，平方差，再去括号，最后合并同类项即可；
(2)把相应的值代入运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】16
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示，中线CD即为所求；
(3)如图所示，高线AE即为所求；
(4)四边形BCC′B′的面积为：4×4=16．
故答案为：16．
(1)直接利用B点平移规律得出各对应点位置即可；
(2)利用中线的定义得出答案；
(3)利用高线的定义得出垂足的位置；
(4)理由平行四边形面积求法得出答案．
此题主要考查了平移变换以及基本作图，正确得出平移规律是解题关键．
21.【答案】5
【解析】解：(1)∵m+n=3，mn=1，
∴(m+n)2=9，2mn=2．
∴m2+n2+2mn=9，
∴m2+n2=7，
∴(m−n)2=m2+n2−2mn=7−2=5；
故答案为：5．
(2)设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n，
∵AB=6，
∴m+n=6，
∵两正方形的面积和为20，
∴m2+n2=20，
∵(m+n)2=36，
∴m2+n2+2mn=36，
∴20+2mn=36，
∴mn=8，
∴△AFC的面积=12mn=12×8=4．
(1)先求出m2+n2，再求(m−n)2即可；
(2)设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n，将AB=6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积都转化为m，n的表达式，再求解即可，
本题主要考查了学生的模仿能力和转化能力．
22.【答案】①③ ②(答案不唯一)
【解析】解：DE//BC，理由如下：
∵∠EFD+∠EFC=180°，
∠EFG+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠EFD，
∴BD//EF，
∴∠BDE+∠DEF=180°，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE+∠B=180°，
∴DE//BC．
故答案为：①③；②(答案不唯一)．
取①③，利用平行线的判定和性质解答即可．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
23.【答案】解：(1)设A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为x元和y元，
由题意得，2x+3y=1704x+y=190，
解得x=40y=30，
答：A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为40元和30元．
(2)①若按活动一购买，共需付款金额为：0.8×40a+0.4×30×(100−a)=(20a+1200)元；
若按活动二购买，共需付款金额为：40a+30×(100−2a)=(3000−20a)元；
答：若按活动一购买，共需付款(20a+1200)元；若按活动二购买，共需付款(3000−20a)元．
②∵按活动二购买比按活动一购买更优惠，
∴3000−20a<20a+1200，
解得a>45，
又∵a<50，且a为整数，
∴a的所有可能值为46，47，48，49．
【解析】(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“钱数=A种奖品单价×数量+B种奖品单价×数量”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
(2)①根据活动方案列出代数式即可；②根据不等关系列出不等式，求解不等式即可．
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程(方程组或不等式)．
24.【答案】②
【解析】解：(1)方程①3−x=0，
解得：x=3，
方程②3x=−1，
解得：x=−13，
不等式组x+1>−33x<3，
解得：−4
故答案为：②；
(2)3x−k=6，
解得：x=2+k3，
3x+12>xx−12≥2x+13−1，
解得：−1
解得：−9
解得：x=−2，
2x−13=−1，
解得：x=−1，
x+5≥mx+m<2m+3，
解得：m−5≤x
解得：−4
(2)先求出方程的解和不等式组的解集，根据定义即可判断k的取值范围；
(3)根据相伴方程的定义求解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，根据给出的定义列出不等式组是解题关键．
25.【答案】55 (2203)
【解析】解：(1)∵EF//BC，
∴∠FED=∠ACB=60°，
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠CBD=∠ABD，∠FEG=∠CEG，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=25°，∠FEG=∠CEG=12∠FED=30°，
∵EF//BC
∴∠EFG=∠CBD=25°，
∴∠BGE=∠FEG+∠EFG=30°+25°=55°，
故答案为55；
(2)设∠ABD=x，∠CEG=y，则∠CBD=2x，∠FEG=2y，
∴∠CEG+∠FEG=∠FED=3y，∠ABD+∠CBD=∠ABC=3x，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∠A=70°，
∴3x+3y=110°，
x+y=(1103)°，
∵EF//BC，
∴∠EFG=∠CBD=2x，
∴∠BGE=∠FEG+∠EFG=2x+2y=2(x+y)=(2203)°，
故答案为(2203)；
(3)设∠ABD=x，∠CEG=y，
∵∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，
∴∠CBD=nx，∠FEG=ny，
∵EF//BC，
∴∠EFG=∠CBD=nx，
∴∠CEG+∠FEG=∠FED=(n+1)y，∠ABD+∠CBD=∠ABC=(n+1)x，
∵EF//BC，
∴∠FED=∠ACB=(n+1)y，
∵∠BGE=∠FEG+∠EFG=nx+ny=n(x+y)，
∴x+y=∠BGEn，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴(n+1)x+(n+1)y=180°−∠A，
∴x+y=180°−∠A−(nx+ny)，
∴180°−∠A−∠BGE=∠BGEn，
∴∠BGE=n(180°−∠A)n+1；
(4)如图所示：若点E在线段DC上运动(此时G在△ABC外部)，
设∠ABD=x，∠CEG=y，
∵∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，
∴∠CBD=nx，∠FEG=ny，
∴∠ABC=(n+1)x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°．
∴∠C=180°−(n+1)x−∠A，
∵EF//BC，
∴∠FEC+∠C=180°，∠EFG=∠CBD=nx，
∴∠FEC=180°−∠C=180°−180°+(n+1)x+∠A=∠A+(n+1)x，
∵∠BGF+∠EFG+∠FEG=180°，
∴∠BGF+nx+ny=180°，
∴x+y=180°−∠BEGn，nx+ny=180°−∠BGF，
∵∠CEG+∠FEG+∠FEC=(n+1)y+y+180°−∠C=360°，
∴y+ny+∠A+(n+1)x=360°，
∴nx+ny+x+y+∠A=360°，
180°−∠BGE+180°−∠BEGn+∠A=360°，
∴n∠A−(n+1)∠BEG=180°(n−1)．
(1)根据平行线的性质，求出∠FED，∠CBD的度数，再根据已知条件求出∠FEG和∠EFG，利用外角性质即可求出；
(2)设∠ABD=x，∠CEG=y，根据题意可得∠CBD=2x，∠FEG=2y，进而求出∠FED=3y，∠ABC=3x，根据三角形的内角和定理列出关于x，y的方程，求出x+y，利用外角性质即可求出；
(3)设∠ABD=x，∠CEG=y，根据题意可得∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，∠CBD=nx，∠FEG=ny，从而求出∠FEG和∠EFG，根据三角形的内角和定理列出关于x，y的方程，求出x+y，利用外角性质即可求出；
(4)设∠ABD=x，∠CEG=y，根据题意可得∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，∠CBD=nx，∠FEG=ny，从而求出∠FEG和∠EFG，根据外角性质把x+y用∠BEG表示出来，利用∠CEG，∠FEG与∠FEC的和是周角即可求出．
本题主要考查了平行线的性质和三角形外角性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的相互关系．
2022-2023学年江苏省泰州市靖江市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 小华书写时不小心把墨水滴在了等式“a6a2=a4(a≠0)”中的运算符号上，则被覆盖的符号是( )
A. + B. − C. × D. ÷
2. 下列各多项式中，能因式分解的是( )
A. a2+b2 B. a2−ab+b2 C. −a2−4 D. a2−2a+1
3. 如图，点A，C，E在同一条直线上，下列条件中能判断AB//CD的是( )
A. ∠DBC=∠ACB B. ∠A=∠DCE
C. ∠ABC=∠DCE D. ∠D+∠ACD=180°
4. 已知a>b，下列变形一定正确的是( )
A. 5a<5b B. −a>−b C. 1+2a>1+2b D. ac2>bc2
5. 下列命题中，属于假命题的是( )
A. 三角形两边之和大于等三边 B. 平行于同一直线的两条直线平行
C. 同位角不一定相等 D. 有两个内角是锐角的三角形是锐角三角形
6. 《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是y=3(x−2)，则符合题意的另一个方程是( )
A. y=2x+9 B. y=2x−9 C. x=y−93 D. x=y+93
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为______米．
8. 已知am=3，an=2，则am+n= ______ ．
9. 若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为______．
10. 已知x=2y=−1是二元一次方程mx+ny=−2的一个解，则4m−2n+6的值等于______ ．
11. 若(x+2)(x2−ax+5)的乘积中不含x的一次项，则a=______．
12. 一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠CED=50°，那么∠BAF的大小为______．
13. 如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则四边形AFDG的面积是______ ．
14. 小聪一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为______°.
15. 观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102…2199.若2100=m，用含m的代数式表示这组数的和是______ ．
16. 如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A′的位置，折痕为DE.若∠A=30°，∠C=40°，若点E是AB边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿DE折叠，DE为折痕，使得点A落在A′处，使A′D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)(−12)+(π−2)0−|−3|；
(2)2a2⋅a4+(−2a2)3．
18. (本小题6.0分)
(1)因式分解：3x2−12；
(2)解方程组：3x+y=7x−y=3．
19. (本小题6.0分)
已知多项式A=(x+2)2+x(x−2)−(x+3)(x−3)．
小明的作业：
解：A=(x+2)2+x(x−2)−(x+3)(x−3)
=x2+2x+4+x2−2x−x2−9
=x2−5
其中：①+2x；②−2x；③−9．
(1)化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程：在标出①②③的三项中，出现错误的是______ (填上序号)，并写出正确的解答过程；
(2)小亮说：“只要给出x2+2x+1的合理的值，即可求出多项式A的值”，小明给出x2+2x+1的值为4，请你求出此时A的值．
20. (本小题8.0分)
如图，格点间间距均为1.在网格内将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
(1)补全△A′B′C′；
(2)作出中线CD；
(3)画出BC边上的高线AE；
(4)写出四边形BCC′B′的面积为______ ．
21. (本小题6.0分)
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴(a+b)2=9，2ab=2．
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若m+n=3，mn=1，则(m−n)2= ______ ；
(2)如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形BCFG与正方形ACDE，设AB=6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，F在线段CD上，请从：①∠EFC+∠BDC=180°，②DE//BC，③∠DEF=∠B这三个选项中，选择两个作为条件，一个作为结论，并说明结论的正确性．
你选择的条件是______ ，结论是______ (填上序号)．
23. (本小题10.0分)
学校为举行校庆活动，准备向某商家购买A，B两种衬衫，已知购买2件A种衬衫和3件B种衬衫需要170元；购买4件A种衬衫和1件B种衬衫需要190元．
(1)求A，B两种衬衫的单价；
(2)恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，学校决定向该商家购买A，B两种衬衫共100件，其中A种衬衫a件(a<50)．
活动一：“疯狂打“A种衬衫八折，B种衬衫四折；
活动二：“买一送一“购买一件A种衬衫，赠送一件B种衬衫．
①若按活动一购买，共需付款多少元？若按活动二购买，共需付款多少元？(用a的代数式表示)
②若按活动二购买比按活动一购买更优惠，求a的所有可能值．
24. (本小题8.0分)
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．
例如：方程x−1=2的解为x=3，而不等式组x+1>2x−3<1的解集为1
问题解决：
(1)在方程①3−x=0，②3x=−1中，不等式组x+1>−33x<3的“相伴方程”是______ (填序号)；
(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−1的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程2x+4=0,2x−13=−1都是关于x的不等式组x+5≥mx+m<2m+3的“相伴方程”，试求m的取值范围．
25. (本小题10.0分)
小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
如图，在△ABC中，射线BD交AC于点D，点E是线段AD上的任意一点，过点E作EF//BC交直线BD于点F，直线EG与射线BD交于点G．
(1)如图1，若∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠CBD=∠ABD，∠FEG=∠CEG，则∠BGE= ______ °；
(2)如图2，若∠A=70°，∠CBD=2∠ABD，∠FEG=2∠CEG，则∠BGE= ______ °；
(3)如图3，若∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG(n≥1)，则探索∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，在(3)的条件下，若点E在线段DC上运动(此时G在△ABC外部)，或在线段DC的延长线运动(此时G在△ABC内部)，请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵a6÷a2=a6−2=a4．
故选：D．
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，根据同底数幂除法的运算法则解答即可．
本题考查了同底数幂除法，解题的关键是熟记法则，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an=am−n(a≠0,m,n是正整数，m>n)．
2.【答案】D
【解析】解：A、不能因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能因式分解，故本选项不符合题意；
C、−a2−4=−(a2+4)不能因式分解，故本选项不符合题意；
D、a2−2a+1=(a−1)2能因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
直接利用平方差公式或完全平方公式分解因式进而得出答案．
此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=∠ACB，
∴AC//BD (内错角相等，两直线平行)，但不能说明AB//CD．
故A不符合题意．
∵∠A=∠DCE，
∴AB//CD (同位角相等，两直线平行)．
故B符合题意．
∵∠ABC=∠DCE，但∠A或∠BCD不一定与它们相等，
∴AB与CD不一定平行．
故C不符合题意．
∵∠D+∠ACD=180°，
∴AC//BD(同旁内角互补，两直线平行)，但不能说明AB//CD．
故D不符合题意．
故选：B．
根据平行的判定定理，分别对四个选项分析判断即可．
本题考查如何判定两直线平行，比较简单，一定要熟练掌握，灵活运用．
4.【答案】C
【解析】解：A、∵a>b，
∴5a>5b，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴−a<−b，
故B不符合题意；
C、∵a>b，
∴2a>2b，
∴1+2a>1+2b，
故C符合题意；
D、∵a>b，
∴ac2>bc2(c≠0)，
故D不符合题意题意；
故选：C．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上(或减去)一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以(或除以)一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以(或除以)一个负数，不等号方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C中的命题都是真命题，故A、B、C不符合题意；
D、有两个内角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故D符合题意．
故选：D．
由三角形的三边关系，平行公理的推论，同位角的概念，三角形的有关概念，即可判断．
本题考查三角形的三边关系，平行公理的推论，同位角的概念，三角形的有关概念，掌握以上知识点是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵每三人乘一车，最终剩余2辆车，且列出的一个方程是y=3(x−2)，
∴y表示人数，x表示车的辆数；
又∵每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，
∴y=2x+9．
故选：A．
根据列出的一个方程可找出x，y表示的含义，再由“每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7.【答案】8.4×10−6
【解析】
【分析】
本题考查了科学记数法表示绝对值较小的数．解题的关键是能够用科学记数法表示较小的数的一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.0000084=8.4×10−6，
故答案为：8.4×10−6．
8.【答案】6
【解析】解：am+n=am⋅an=3×2=6，
故答案为：6．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
9.【答案】6
【解析】解：这个多边形的边数是：360÷60=6．
故答案为：6．
根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：把解代入二元一次方程mx+ny=−2，得2m−n=−2，
∴4m−2n=−4，
∴4m−2n+6=−4+6=2．
故答案为2．
根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，那么得到一个含有未知数m的一元一次方程，即可求得．
此题主要考查了二元一次方程组解的定义，理解定义是关键．
11.【答案】52
【解析】解：(x+2)(x2−ax+5)
=x3−ax2−2ax+5x+2x2+10
=x3+(2−a)x2+(−2a+5)x+10，
∵乘积中不含x的一次项，
∴−2a+5=0，
解得：a=52，
故答案为：52．
首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可．
此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
12.【答案】10°
【解析】解：∵DE//AF，∠CED=50°，
∴∠CAF=∠CED=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°−50°=10°，
故答案为：10°．
先根据∠CED=50°，DE//AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
13.【答案】8
【解析】解：∵AD为△ABC中BC边的中线，S△ABC=16，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×16=8，
∵BE、CE是AD的中线，
∴S△ABE=S△BED=12S△ABD=4，S△AEC=S△CED=12S△ACD=4，
同理：S△AEF=12S△ABE=2，S△AEG=12S△AEC=2，
S△DEF=12S△BDE=2，S△DEG=12S△CED=2，
∴S四边形AFDG=S△AEF+S△AEG+S△DEF+S△DEG=8，
故答案为：8．
根据三角形一边上的中线，将三角形面积二等分即可解决．
本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
14.【答案】540
【解析】解：连接CF．
在△CDM与△CFM中，∠EMD=∠CMF，
∴∠E+∠D=∠DCF+∠EFC，
∴在五边形ABEFG中∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠MFC+∠G
∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠EFC+∠MFC+∠G
=∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G
=(5−2)⋅180°
=540°．
故答案为：540°．
连接BE，则∠E+∠D=∠DCF+∠EFC，则图中所求的几个角的和是五边形ABEFG的内角和．
本题考查了多边形内角与外角，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问题．
15.【答案】m(m−1)
【解析】解：∵2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，……
∴第n个等式为2+22+23+…+2n+1=2n+2−2，
∴2+22+23+…+2199=2200−2，2+22+23+…+299=2100−2，
∴2100+2101+2102+…+2199
=(2+22+23+…+2199)−(2+22+23+…+299)
=2200−2−(2100−2)
=2200−2100，
∵2100=m，
∴2200=m2，
∴2100+2101+2102+…+2199=m2−m=m(m−1)．
故答案为：m(m−1)．
通过观察所给的式子，发现第n个等式为2+22+23+…+2n+1=2n+2−2，再由2100+2101+2102+…+2199=(2+22+23+…+2199)−(2+22+23+…+299)=2200−2100，将已知条件代入即可求解．
本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应该规律计算是解题的关键．
16.【答案】75°或130°
【解析】解：(1)如图1，当A′D//AB时，
∴∠AED=∠A′DE，∠A=∠A′DC=30°
由翻折可知，∠ADE=∠A′DE，
∵∠ADE+∠A′DC+∠A′DE=180°，
∴∠AED=180°−30°2=75°；
(2)如图2，当A′D//BC时，
∴∠ADF=∠C=40°，∠AFD=∠B=180°−∠A−∠C=110°，
由翻折可知，∠ADE=∠A′DE=12∠ADA′=20°，
∴∠AED=∠EFD+∠A′DE
=110°+20°
=130°，
综上所述，∠AED=75°或130°，
故答案为：75°或130°．
根据翻折分两种情况进行解答，分别画出相应的图形，利用翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质进行计算即可．
本题考查翻折的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握翻折变换的性质，三角形内角和是180°以及平行线的性质是正确解答的前提．
17.【答案】解：(1)原式=−12+1−3
=−212；
(2)原式=2a6−8a6
=−6a6．
【解析】(1)直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则化简，进而合并同类项即可．
此题主要考查了单项式乘单项式以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)3x2−12
=3(x2−4)
=3(x+2)(x−2)；
(2)3x+y=7①x−y=3②，
①+②得：4x=10，
解得：x=2.5，
把x=2.5代入②得：2.5−y=3，
解得：y=−0.5，
∴原方程组的解为：x=2.5y=−0.5．
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】①③
【解析】解：(1)A=(x+2)2+x(x−2)−(x+3)(x−3)
=x2+4x+4+x2−2x−(x2−9)
=x2+4x+4+x2−2x−x2+9
=x2+2x+13，
则出现错误的是：①③，
故答案为：①③；
(2)当x2+2x+1=4时，
原式=x2+2x+1+12
=4+12
=16．
(1)先算完全平方，单项式乘多项式，平方差，再去括号，最后合并同类项即可；
(2)把相应的值代入运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】16
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示，中线CD即为所求；
(3)如图所示，高线AE即为所求；
(4)四边形BCC′B′的面积为：4×4=16．
故答案为：16．
(1)直接利用B点平移规律得出各对应点位置即可；
(2)利用中线的定义得出答案；
(3)利用高线的定义得出垂足的位置；
(4)理由平行四边形面积求法得出答案．
此题主要考查了平移变换以及基本作图，正确得出平移规律是解题关键．
21.【答案】5
【解析】解：(1)∵m+n=3，mn=1，
∴(m+n)2=9，2mn=2．
∴m2+n2+2mn=9，
∴m2+n2=7，
∴(m−n)2=m2+n2−2mn=7−2=5；
故答案为：5．
(2)设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n，
∵AB=6，
∴m+n=6，
∵两正方形的面积和为20，
∴m2+n2=20，
∵(m+n)2=36，
∴m2+n2+2mn=36，
∴20+2mn=36，
∴mn=8，
∴△AFC的面积=12mn=12×8=4．
(1)先求出m2+n2，再求(m−n)2即可；
(2)设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n，将AB=6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积都转化为m，n的表达式，再求解即可，
本题主要考查了学生的模仿能力和转化能力．
22.【答案】①③ ②(答案不唯一)
【解析】解：DE//BC，理由如下：
∵∠EFD+∠EFC=180°，
∠EFG+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠EFD，
∴BD//EF，
∴∠BDE+∠DEF=180°，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE+∠B=180°，
∴DE//BC．
故答案为：①③；②(答案不唯一)．
取①③，利用平行线的判定和性质解答即可．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
23.【答案】解：(1)设A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为x元和y元，
由题意得，2x+3y=1704x+y=190，
解得x=40y=30，
答：A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为40元和30元．
(2)①若按活动一购买，共需付款金额为：0.8×40a+0.4×30×(100−a)=(20a+1200)元；
若按活动二购买，共需付款金额为：40a+30×(100−2a)=(3000−20a)元；
答：若按活动一购买，共需付款(20a+1200)元；若按活动二购买，共需付款(3000−20a)元．
②∵按活动二购买比按活动一购买更优惠，
∴3000−20a<20a+1200，
解得a>45，
又∵a<50，且a为整数，
∴a的所有可能值为46，47，48，49．
【解析】(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“钱数=A种奖品单价×数量+B种奖品单价×数量”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
(2)①根据活动方案列出代数式即可；②根据不等关系列出不等式，求解不等式即可．
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程(方程组或不等式)．
24.【答案】②
【解析】解：(1)方程①3−x=0，
解得：x=3，
方程②3x=−1，
解得：x=−13，
不等式组x+1>−33x<3，
解得：−4
故答案为：②；
(2)3x−k=6，
解得：x=2+k3，
3x+12>xx−12≥2x+13−1，
解得：−1
解得：−9
解得：x=−2，
2x−13=−1，
解得：x=−1，
x+5≥mx+m<2m+3，
解得：m−5≤x
解得：−4
(2)先求出方程的解和不等式组的解集，根据定义即可判断k的取值范围；
(3)根据相伴方程的定义求解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，根据给出的定义列出不等式组是解题关键．
25.【答案】55 (2203)
【解析】解：(1)∵EF//BC，
∴∠FED=∠ACB=60°，
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠CBD=∠ABD，∠FEG=∠CEG，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=25°，∠FEG=∠CEG=12∠FED=30°，
∵EF//BC
∴∠EFG=∠CBD=25°，
∴∠BGE=∠FEG+∠EFG=30°+25°=55°，
故答案为55；
(2)设∠ABD=x，∠CEG=y，则∠CBD=2x，∠FEG=2y，
∴∠CEG+∠FEG=∠FED=3y，∠ABD+∠CBD=∠ABC=3x，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∠A=70°，
∴3x+3y=110°，
x+y=(1103)°，
∵EF//BC，
∴∠EFG=∠CBD=2x，
∴∠BGE=∠FEG+∠EFG=2x+2y=2(x+y)=(2203)°，
故答案为(2203)；
(3)设∠ABD=x，∠CEG=y，
∵∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，
∴∠CBD=nx，∠FEG=ny，
∵EF//BC，
∴∠EFG=∠CBD=nx，
∴∠CEG+∠FEG=∠FED=(n+1)y，∠ABD+∠CBD=∠ABC=(n+1)x，
∵EF//BC，
∴∠FED=∠ACB=(n+1)y，
∵∠BGE=∠FEG+∠EFG=nx+ny=n(x+y)，
∴x+y=∠BGEn，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴(n+1)x+(n+1)y=180°−∠A，
∴x+y=180°−∠A−(nx+ny)，
∴180°−∠A−∠BGE=∠BGEn，
∴∠BGE=n(180°−∠A)n+1；
(4)如图所示：若点E在线段DC上运动(此时G在△ABC外部)，
设∠ABD=x，∠CEG=y，
∵∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，
∴∠CBD=nx，∠FEG=ny，
∴∠ABC=(n+1)x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°．
∴∠C=180°−(n+1)x−∠A，
∵EF//BC，
∴∠FEC+∠C=180°，∠EFG=∠CBD=nx，
∴∠FEC=180°−∠C=180°−180°+(n+1)x+∠A=∠A+(n+1)x，
∵∠BGF+∠EFG+∠FEG=180°，
∴∠BGF+nx+ny=180°，
∴x+y=180°−∠BEGn，nx+ny=180°−∠BGF，
∵∠CEG+∠FEG+∠FEC=(n+1)y+y+180°−∠C=360°，
∴y+ny+∠A+(n+1)x=360°，
∴nx+ny+x+y+∠A=360°，
180°−∠BGE+180°−∠BEGn+∠A=360°，
∴n∠A−(n+1)∠BEG=180°(n−1)．
(1)根据平行线的性质，求出∠FED，∠CBD的度数，再根据已知条件求出∠FEG和∠EFG，利用外角性质即可求出；
(2)设∠ABD=x，∠CEG=y，根据题意可得∠CBD=2x，∠FEG=2y，进而求出∠FED=3y，∠ABC=3x，根据三角形的内角和定理列出关于x，y的方程，求出x+y，利用外角性质即可求出；
(3)设∠ABD=x，∠CEG=y，根据题意可得∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，∠CBD=nx，∠FEG=ny，从而求出∠FEG和∠EFG，根据三角形的内角和定理列出关于x，y的方程，求出x+y，利用外角性质即可求出；
(4)设∠ABD=x，∠CEG=y，根据题意可得∠CBD=n∠ABD，∠FEG=n∠CEG，∠CBD=nx，∠FEG=ny，从而求出∠FEG和∠EFG，根据外角性质把x+y用∠BEG表示出来，利用∠CEG，∠FEG与∠FEC的和是周角即可求出．
本题主要考查了平行线的性质和三角形外角性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的相互关系．
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