第01讲 集合的基本概念-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第1讲 集合的概念
【知识点梳理】
一、元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．（确定性、无序性、互异性）
二、元素与集合的关系
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a∈A
“a属于A”
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
“a不属于A”
三、常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N+
Z
Q
R

【典型例题】
题型一：集合中元素的确定性
如果元素的界限不明确，即不能构成集合，其中包括：著名的科学家；比较高的人；成绩比较好的学生，跑得比较快的同学，接近于1的数等
【例1】（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））下列各组对象中不能形成集合的是（       ）
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；
【详解】
对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；
对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合
故选：A
【例2】（2022·全国·高一专题练习）下列选项能组成集合的是（       ）
A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的定义判断即可；
【详解】
解：著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；
非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合.
故选：B．

【题型专练】
1.下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【详解】
A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.
故选：B
2．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）下列所给的对象能组成集合的是（       ）
A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数
C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花
【答案】A
【解析】
【分析】
利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.
【详解】
对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；
对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（       ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合中元素的性质可直接得到结果.
【详解】
对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
4．（2022·江苏·高一）下面各组对象中不能形成集合的是（       ）
A．所有的直角三角形 B．一次函数
C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的元素具有确定性的性质，可判断答案.
【详解】
所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，
而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，
故选：C
5.下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
【答案】A
【详解】
①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；
②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；
③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；
④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；
⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；
故③④正确.
故选：A.
题型二：集合中元素互异性
集合中的元素互相不相同
【例1】下列判断正确的个数为（ ）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；
在（2）中，若，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；
在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；
在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．
故选：C
【例2】已知集合中的元素为，若，则__________.
【答案】或；
【详解】
由，，
若，，，
此时，符合题意；
若，则，，
当时，，不符题意，
当时，，符合题意，
综上可得：或.
故答案为：1或2.
【题型专练】
1.已知集合是由三个元素组成，若，则实数的值为__________.
【答案】或
【详解】
因为，则或或，
当时，，，符合题意；
当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，或（舍）
当时，，符合题意；
综上所述：或，
故答案为：或
2.已知集合中的元素为，若，则实数的值为_____________.
【答案】或
【详解】
依题意，
当时，，，符合题意.
当时，，，不满足互异性，错误.
当，（舍去）或，
时，，符合题意.
综上所述，实数的值为或.
故答案为：或
3.已知集合中的元素为，若，则实数的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．或0
【答案】C
【详解】
当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；
当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.
故选：C

题型三：元素与集合的关系
元素与集合之间只能用属于（）和不属于（）.
【例1】下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【详解】
由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确；
在②中，，故②正确；在③中，，故③错误；在④中，，故④错误；
在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.
故选：D.
【例2】集合中的元素满足，则集合中的元素为______________．
答案：0,1,2
解析　∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.
【例3】（2022·全国·高一专题练习）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断.
【详解】
根据题意，分4种情况讨论；
①、全部为负数时，则也为负数，则；
②、中有一个为负数时，则为负数，则；
③、中有两个为负数时，则为正数，则；
④、全部为正数时，则也正数，则；
则；分析选项可得符合．
故选：A.

【题型专练】
1.下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【详解】
为正整数集，所以，故①不正确；
表示整数集，所以，故②正确；
表示有理数集，则，，故③正确，④不正确；
故选：B
2.下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
0是自然数，故，①正确；
是无理数，故，②错误；
无理数，故，③错误；
是整数，故，④正确；
是实数，故，⑤错误.故正确个数是2个.
故选：B.
3.若集合中的元素满足，且，则下列各式正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．且 D．，且
【答案】D
【详解】
因为，，所以，.
故选：D
4.给出下列关系：
①；②；③；④；⑤，
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】
根据元素与集合的关系：
①12∈R，正确；②2∈Q，正确；③|﹣3|=3∈N，正确；④|-3|=3∈Z，正确；⑤0∉N，错误，
故正确的个数为4．故选：D．
5.（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（     ）
①，②，     ③，   ④
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
不是整数，是实数，不是正整数，是无理数
【详解】
①错误②正确③错误④正确
故选：B

考点三：集合中元素的个数
【例1】（2022·全国·高一专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（　　）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．
【详解】
∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．
故选：B．
【例2】设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．
【题型专练】
1.非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取，则，所以（4）错误.
故选：C.
2、设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合中的元素．
【答案】（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．
【详解】
（1），．
，．
，．
中至少还有两个元素为，；
（2）不是双元素集合．理由如下：
，，，
由于且，，则，
则，可得，由，即，可得，
故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．
（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），
且，
设中有一个元素为，则，，且，
所以，中的元素为，且集合中所有元素之积为.
由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设或，解得（舍去）或或．
此时，，，，
由题意得，整理得，
即，解得或或，
所以，集合中的元素为