第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式
【知识点梳理】
知识点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
知识点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.




二次函数
（）的图象




有两相异实根

有两相等实根

无实根








知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
知识点五　利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”，或者利用数轴标根法
【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
【例1】（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（       ）
A． B．
C．或 D．





【例2】（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合 ，， 则（       ）
A． B．或
C． D．


【例3】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件



【例4】（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式的解集是（       ）
A．R B． C．或 D．


【例5】（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（       ）
A． B．或
C． D．或


【题型专练】
1.（2022·全国·高一单元测试）设集合，，则（       ）
A． B．
C． D．

2.（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).


3．（2022·四川眉山·高一期末（理））不等式的解集为（       ）
A． B．（－4，1）
C．（－1，4） D．

4．（2022·贵州·高二学业考试）不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．


5.（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．


6.（2022·全国·高一多选）下列不等式的解集为R的有（       ）
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4