第11讲 函数的概念与表示-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第11讲 函数的概念与表示
【知识点梳理】
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.
就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.
就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
题型目录：
题型一：函数的概念
题型二：函数定义域1.已知函数解析式，求定义域2.抽象函数定义域3.给定义域求参数
题型三：函数的解析式的求法1. 待定系数法求函数解析式2. 换元法求函数解析式3. 赋值法
4. 方程组法求函数解析式
题型四： 分段函数
【典型例题】
题型一：函数的概念
【例1】（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（  ）
A． B．
C． D．

【答案】C
由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义.
故选：C
【例2】（2022·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（  ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【答案】C
由题意，函数的定义域为，
对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.
故选：C
【例3】（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A，函数的定义域为，不满足题意，故A不正确；
对于B，一个自变量对应多个值，不符合函数的概念，故B不正确；
对于C，函数的值域为，不符合题意，故C不正确；
对于D，函数的定义域为，值域为，满足题意，故D正确.
故选：D
【例4】（2022·全国·高一单元测试）下列各式为y关于x的函数解析式是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可
【详解】A项，，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；
B项，，定义域为，无解，所以不是函数，B项错误；
C项，，定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；
D项，，当时，y有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误.
故选：C.
【题型专练】
1.（2022·全国·高一）下列图象中不能作为函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
能作为函数图象,需满足：按照图像得出的对应关系，对于自变量x的取值范围内的每一个值，按照图像得出的对应关系，都有唯一的一个y值和它对应；从图像直观来看，平行与y轴的直线与图像至多有一个交点.则B不能作为函数图象.故选B
2．（2022·全国·高一单元测试）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.
【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）下列图形能表示函数的图象的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数的定义判断即可.
【详解】由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象.
故选：B
题型二：函数定义域
1.已知函数解析式，求定义域
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
【例1】（2022·新疆喀什·高一期末）函数中，自变量x的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
由题意知，，解得，即函数的定义域为.
故选：B
【例2】（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意得，解得且，
故选：D
【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数＋的定义域为（       ）
A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)
【答案】C
要使函数＋有意义，则
所以，解得且，
所以函数＋的定义域为∪(3，＋∞).
故选：C.
【例4】（2022·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．
故选：C.
【题型专练】
1．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是（     ）
A．[-3，+∞） B．（0，+∞） C．（-3，+∞） D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意且，
所以函数的定义域是.
故选：D
2.（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．
【详解】由，解得且．
函数的定义域为．
故选：C．
3．（2012·广东·高考真题（文））函数的定义域是______.
【答案】
【分析】由根式内部的代数式大于等于且分式的分母不等于，联立不等式组求解的取值集合得答案.
【详解】由，得且，
函数的定义域为；
故答案为：.

2.抽象函数定义域
记住两句换：①等价 ②定义域对来说
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】令得，即为函数的定义域，
而将函数的图象向左平移2个单位即得的图象，
故其值域不变．
故选：C．
【例2】（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵函数的定义域为，∴，则，
即的定义域为，由，得，∴的定义域是，
故选：A
【例3】（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
由于函数的定义域为，对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域是.
故选：B.
【例4】（2018·重庆一中高二期末（理））已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 因为函数的定义域是，所以
【例5】（2019·全国）若函数的定义域为，且函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
答案：
【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，函数的定义域为，相当于当时，的值域为，由的图象可得的取值范围是为

【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（       ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【答案】C
【分析】由题设函数的定义域，应用换元法求出的定义域，进而求的定义域即可.
【详解】由题设，若，则，
∴对于有，故其定义域为.
故选：C
2.（2023·全国·高三专题）已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知函数的定义域有，即可求复合函数的定义域.
【详解】由题意得：，即，又，
∴．
故选：B
3．（2023·全国·高三专题）已知的定义域为，则的定义域为                      （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由求出的范围，然后可得答案.
【详解】因为的定义域为，所以，所以，所以的定义域为．
故选：C
4.（2019重庆市巴蜀中学高一上期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式和即得解.
【详解】解：由题意得：，解得，
由解得，
故函数的定义域是 .
故选：C
5.（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意函数的定义域为，
，
所以，
解得或，
所以的定义域为.
故选：B
6.（2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据函数的定义域求出函数的定义域，然后再列出有意义时所满足的条件，从而可求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，
所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B．

3 给定义域求参数
【例1】若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
(A)　　 (B) 　 　(C) 　 　(D)

【答案】B
【详解】由题意知在上恒成立
当时，，恒成立，满足题意
当时，则，解得
综上可知实数的取值范围是

【例2】已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　.
【答案】
【详解】由题意知在上恒成立
当时，，恒成立，满足题意
当时，在上恒成立，等价于在上恒成立无实数根，则，解得
综上可知实数的取值范围是

【题型专练】
1.（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】由题知不等式恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
题型三：函数的解析式的求法
1. 待定系数法求函数解析式
【例1】(2021•朝阳区校级月考)已知是二次函数且，，求;
【答案】
【详解】设 ，由题意可知，

所以
有待定系数可知，解得，所以
【例2】若是一次函数，且，则= _________________。
【答案】或
【详解】设 ，由题意可知

有待定系数可知，解得或者，
所以或者
【题型专练】
1．（2022·全国·高一单元测试）一次函数满足：，则的解析式可以是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据待定系数法，设出，可得，再根据对应项系数相等即可求出．
【详解】设，则，所以
，解得或，即或．
故选：AD．
2．（2021·全国·高一课时练习）已知是二次函数．且．则________．
【答案】
【分析】设,化简整理对应系数得到，解方程组即可求出结果.
【详解】设，
则，
，
所以，又，
因此，解得，所以，
故答案为：.
3．（2021·全国·高一专题练习）已知是一次函数，且满足，求 _____．
【答案】
【分析】设，根据已知条件列方程，由对应系数相等求出和的值即可求解.
【详解】因为是一次函数，设，
因为，
所以，
整理可得，
所以，可得，
所以，
故答案为：.
4．（2021·全国·高一单元测试）已知二次函数满足，，则函数的最小值为__________．
【答案】．
【分析】根据为二次函数可设，由可得，再根据，比较对应项系数即可求出，再根据二次函数的性质即可得到函数的最小值．
【详解】为二次函数，可设，，
因为，
即，，解得，，令，则，函数即为．的图象开口向上，图象的对称轴为直线，在上单调递增，，即的最小值为．
故答案为：．
5．（2022·江苏·高一）（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
【答案】（1）或 ；（2）.
【分析】（1）设，代入，整理，得恒等式，求出即可；
（2）设，代入条件，求出即可
【详解】（1）设，
则
因为，所以
所以解得或
所以或
（2）设
由，得
由
得
整理，得
所以 所以
所以
2. 换元法求函数解析式
【例1】（2021·全国·高一课时练习）已知，则函数的解析式是（       ）
A． B．（且）
C． D．
【答案】B
【分析】根据换元法求解析式即可.
【详解】解：由题知且，令，则（且），
∴（且），
∴（且）．
故选：B．
【例2】（2021·全国·高一课时练习）设函数，，则函数的解析式是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用配凑法求解析式.
【详解】∵，∴．
故选：D．
【例3】（2021·全国·高一课时练习）已知函数，则的解析式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，则，代入已知解析式可得的表达式，再将换成即可求解.
【详解】令，则 ，
所以，
所以，
故选：A.
【例4】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数，则（       ）．
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．
【详解】函数，
所以，．
故选：A．
【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的最小值是（       ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】令，则，且，
所以，
所以，
当时，.
故选：B

【题型专练】
1．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）若函数，则等于（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果.
【详解】令，得，所以，
从而.
故选：A.
2.（2021·全国·高一专题练习）已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，利用换元法求函数解析式.
【详解】令，，则，
由得，，，
即，.
故选：C.
3.（2021·全国·高一专题练习）已知，则 （       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，利用整体思想求出的解析式，求得，从而即求出．
【详解】解：因为，
所以，
，
所以.
故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（       ）
A．6 B．3 C．11 D．10
【答案】C
【解析】利用拼凑法求出解析式，即可得出所求.
【详解】，
，
.
故选：C.
5．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知数，则的解析式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先换元，设，再代入求函数的解析式.
【详解】设，则，
则，即.
故选：B
6．（2021·全国·高一单元测试）若函数，则______．
【答案】
【分析】利用换元法，令，再用表示代入原函数即可得.
【详解】令，则，
∴，故，
∴.
故答案为：.
7．（2021·全国·高一专题练习）已知且，则a的值为________．
【答案】
【分析】利用换元法求得函数的解析式，根据，列出方程，即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，即，
又因为，可得，解得.
故答案为：.
3. 赋值法
【例1】（2021·吉林高一期末）已知函数对于任意的正实数，满足，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则原式变为
令 ，则原式变为
【例2】函数不恒为零，且满足，若，则
A．0 B．-2 C．2 D．4
【答案】A
【详解】令 ，则原式变为，
所以或者，当时，令得到，所以，不满足题意舍去，所以
令 ，可得，所以
令 ，可得，所以
所以
【例3】已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】.
【详解】令，则，
∴．
【题型专练】
1．（2021·全国·高一课时练习）若满足，且，，则               （       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】赋值法求解函数值.
【详解】令得：，令得：，
令得：，
所以
故选：B
2．（2021·全国·高一课时练习）已知，则_____________．
【答案】4026
【分析】先求得，然后求的正确答案.
【详解】由题意，知，
令，得，所以，
令，得，所以，
由此猜测，
只需令，所以，
所以，
所以．
故答案为：
4. 方程组法求函数解析式
【例1】（2022·黑龙江实验中学高二期末）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得．
【详解】∵，①，
∴，②
①②联立方程组可解得（）．
故选：B．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知满足，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由，可得，解方程组求出，结合选项逐一判断即可．
【详解】，
化简得
两式相加得，解得
故，A正确，B错误；
又，则，C正确，D错误；
故选：AC
【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）若，则______．
【答案】
【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.

2．（2021·全国·高一课时练习）设函数是→的函数，满足对一切，都有，则的解析式为______．
【答案】
【分析】由，得，利用方程组思想可求得，再求得得值，即可得出答案.
【详解】解：由，得，
将和看成两个未知数，可解得，
当时，，解得，
综上，
故答案为：.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.
【答案】
【解析】以代替得出，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析式．
【详解】∵，①
∴，②
①×3﹣②×5，得：
﹣16f(x)=﹣10x﹣2，
∴
故答案为：
4.（2021·全国·高一专题练习）已知，则的解析式为________.
【答案】
【解析】由，，联立可求解．
【详解】因为，（1）
所以，
所以，（2）
（2）-（1）可得，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5．（2022·全国·高一课时练习）根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（1）利用换元法即可求解；
（2）设，然后结合待定系数法即可得解；
（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.
(1)解：令，则，故，
所以；
(2)解：设，因为，所以，
即，所以，解得，所以；
(3)解：因为①，所以②，
②①得，所以.

题型四： 分段函数
【例1】（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）设函数，则（       ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】B

故选：B
【例2】（2022·吉林·三模（理））已知，函数，若，则（       ）
A．0 B．2 C．5 D．6
【答案】B
因为，所以，
故选：B
【例3】（2022·湖南·高一课时练习）设函数若f（a）＝4，则实数a＝（       ）
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
【答案】B
当时，，解得；
当时，，解得，
因为，所以，
综上，或，
故选：
【例4】（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）已知函数，关于函数的结论正确的是（       ）
A． B．的值域为
C．的解集为 D．若，则x的值是1或
【答案】B
解：因为，函数图象如下所示：

由图可知，故A错误；
的值域为，故B正确；
由解得，故C错误；
，即，解得，故D错误；
故选：B
【例5】（2021·全国·高一课时练习）函数的值域是（     ）
A．(0，＋∞) B．(0，1) C． D．
【答案】A
当时，，此时函数是单调递减，所以有，显然当时，
，因此当时，函数的值域为；
当时，，二次函数的对称轴为：，
因此当时，函数有最小值，所以此时函数的值域为：，
综上所述：函数的值域为：(0，＋∞).
故选：A
【例6】（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：,
当，，
当，，
所以，
故选：A
【题型专练】
【例1】（2022·安徽阜阳·高一期中）函数则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
.
故选：D.
【例2】（2022·陕西宝鸡·一模（文））已知函数，则（       ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】
因函数，则，
所以.
故选：C
【例3】（2022·陕西安康·高一期末）若函数f(x)=，则f(2)=（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
∵f(x)＝，∴f(2)＝f(2＋2)＝f(4)＝f(4＋2)＝f(6)＝6－3＝3.
故选：B.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知，则为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
因，则，
所以为2.
故选：A
【例5】（2022·广东湛江·高一期末）已知函数，则（       ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
解：，
则令，得，
所以.
故选：D.
【例6】（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数，若，则x的值是（       ）
A．3 B．9 C．或1 D．或3
【答案】A
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得或（舍去）.
故选：A
【例7】（2022·全国·高三专题练习）设f（x）＝，若f（a）＝，则a＝（　　）
A． B． C．或 D．2
【答案】C
解：∵，，
∴由题意知，或，
解得或.
故选：C．
【例8】（2021·全国·高一单元测试）对于任意的实数x，已知函数，则的最大值是（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
解：因为，函数图象如下所示：

由函数图象可知，当时，函数取得最大值
故选：C