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第15讲 幂函数及其性质-2023-2024学年高一数学期末总复习(人教A版必修第一册)
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第15讲 幂函数及其性质
【知识点梳理】
(1)幂函数的定义
一般地,(为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数.
(2)幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1; ②的底数是自变量; ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
常见的幂函数图像及性质:
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上
单调递增
在上
单调递减,
在上
单调递增
在上
单调递增
在上
单调递增
在和上
单调递减
公共点
(4)幂函数的综合问题
对幂函数性质的综合考查,主要体现为单调性、奇偶性,处理时要以常见的具体幂函数的图象和性质
1.幂函数的单调性
在区间上,当时,是增函数;当时,是减函数.
2.幂函数的奇偶性
令(其中互质,).
(1)若为奇数,则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时,是奇函数;当是偶数时,是偶函数.
(2)若为偶数,则必是奇数,此时既不是奇函数,也不是偶函数.
1.幂函数的凸性
1.上凸函数、下凸函数的定义
设函数在上有定义,若对中任意不同两点都成立,则称在上是上凸的函数,即上凸函数.
设函数在上有定义,若对中任意不同两点都成立,则称在上是下凸的函数,即下凸函数.
这个定义从几何形式上看就是:在函数的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方,那么这个函数就是上凸函数;如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断,一般开口向下的二次函数是上凸函数,开口向上的二次函数是下凸函数.
2.幂函数的凸性
(1)幂函数,在时,函数是下凸函数;
(2)幂函数,,在时,函数是上凸函数;
(3)幂函数,在时,函数是下凸函数.
【典型例题】
题型一 幂函数的概念
【例1】(2020·全国高一课时练习)在函数,,,中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】)因为,所以是幂函数;由于出现系数2,因此不是幂函数;
是两项和的形式,不是幂函数;(),可以看出,常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点,所以常数函数不是幂函数.故选:B.
【例2】已知是幂函数,求、的值.
【答案】
【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组.
由题意得解得
即为所求.
【题型专练】
1.(2023·全国·高三专题练习)现有下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦,其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足形式,故,满足条件,共2个
故选:B
2.(2022陕西高一期末)已知函数为幂函数,则___.
【答案】
【解析】由于函数为幂函数,则,即,
,解得或,所以,,
因此,.
故答案为:.
3.(2021年广东潮州)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m,n的值.
【答案】见解析
【解析】 由题意得
解得或
所以m=-3或1,n=.
题型二:幂函数的三要素
【例1】(2021·陕西·西安市第三中学高一期中)幂函数中a的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域,得到答案.
【详解】当时,定义域和值域均为,符合题意;
时,定义域为,值域为,故不合题意;
时,定义域为,值域为,符合题意;
时,定义域与值域均为R,符合题意;
时,定义域为R,值域为,不符合题意;
时,定义域与值域均为R,符合题意.
故选:C
【例2】(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知幂函数的图象不过原点,则实数的取值可以为( )
A.5 B.1 C.2 D.4
【答案】BC
【分析】由幂函数的系数为,列方程求出实数的值,并检验函数的图象是否过原点,得出答案.
【详解】令,解得或,
当时,图象不过原点,成立;
当时,图象不过原点,成立;
故选:BC
【题型专练】
1.(2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末(文))若函数是幂函数,满足,则_________.
【答案】
【分析】利用幂函数定义设,由,求解,从而得的解析式,即可求值.
【详解】解:函数是幂函数,设,
又,所以,即,所以,得
所以,则.
故答案为:.
2.(2022·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象经过点,则的值为___.
【答案】##0.5
【分析】由幂函数所过的点求解析式,进而求的函数值.
【详解】幂函数过点,
,解得,
,故.
故答案为:
3.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为( )
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
【答案】A
【解析】当时,函数y=的定义域为,不是R,所以不成立;
当时,函数y=的定义域为,不是R,所以不成立;
当或时,满足函数y=xα的定义域为R,故选:A.
题型三:幂函数的性质
【例1】(2023·全国·高三专题)幂函数在x(0,+∞)上是减函数,则m=( )
A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.1
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义,令m2﹣m﹣1=1,求出m的值,再判断m是否满足幂函数在x(0,+∞)上为减函数即可.
【详解】∵幂函数,∴m2﹣m﹣1=1,
解得m=2,或m=﹣1;又x(0,+∞)时f(x)为减函数,
∴当m=2时,m2+m﹣3=3,幂函数为y=x3,不满足题意;
当m=﹣1时,m2+m﹣3=﹣3,幂函数为,满足题意;
综上,.
故选:A.
【例2】(2022·山东德州·高二期末)幂函数在区间上单调递增,则( )
A.27 B. C. D.
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质,求得实数的值,得到幂函数的解析式,即可求解.
【详解】由题意,令,即,解得或,
当时,可得函数,此时函数在上单调递增,符合题意;
当时,可得,此时函数在上单调递减,不符合题意,
即幂函数,则.
故选:A.
【例3】(2022·全国·高一课时练习)已知幂函数的图象经过点,则( )
A.函数为增函数 B.函数为偶函数
C.当时, D.当时,
【答案】ACD
【分析】设幂函数的解析式,代入点,求得函数的解析式,根据幂函数的单调性可判断A、C项,根据函数的定义域可判断B项,结合函数的解析式,利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解:设幂函数,则,解得,所以,
所以的定义域为,在上单调递增,故A正确,
因为的定义域不关于原点对称,所以函数不是偶函数,故B错误,
当时,,故C正确,
当时,,
又,所以,D正确.
故选:ACD.
【例4】(2021·重庆巴蜀中学高一期末)已知幂函数在其定义域内不单调,则实数m=( )
A. B.1 C. D.
【答案】A
【解析】由幂函数定义,,
解得:或,又在定义域内不单调,所以,故选:A.
【例5】(2021·四川高一期末)若幂函数在上是增函数,且在定义域上是偶函数,则=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】因为是幂函数,所以;
又在上是增函数,
所以,解得,因为,
所以或或,
当时,,因为,所以是奇函数,不满足题意,舍去;
当时,,因为,所以是偶函数,满足题意;
当时,是奇函数,不满足题意,舍去;
故,所以.故选:C.
【题型专练】
1.(2022·河南·高二期末(文))若幂函数在上单调递减,则( )
A.或2 B.2 C. D.
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义以及其在上单调递减,列出方程以及不等式,即可求得答案.
【详解】由题意可得,解得,
故:C.
2.(2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试)已知幂函数上单调递增,则( )
A.0 B. C. D.
【答案】A
【分析】由题意可得且,从而可求出的值
【详解】因为幂函数上单调递增,
所以且,
解得,
故选:A
3.(2022·全国·高一)已知幂函数的图象过点,则下列关于说法正确的是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.在单调递减 D.定义域为
【答案】C
【分析】设幂函数的解析式,根据图象的点求得解析式,由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.
【详解】设幂函数,
由题意得: ,
故,定义域为 ,故D错误;
定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,A,B错误;
由于 ,故在在单调递减,C正确,
故选:C
4.(2022·全国·高一专题练习)已知幂函数 的图像关于y轴对称,且在上是减函数,实数满足,则的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质求出的值,根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.
【详解】幂函数在上是减函数,
,解得,
,或.
当时,为偶函数满足条件,
当时,为奇函数不满足条件,
则不等式等价为,即,
在R上为增函数,
,解得:.
故答案为:.
5.(2022·辽宁丹东·高一期末)写出一个具有性质①②③的函数______.
①定义域为;②在单调递增;③.
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据函数的定义域、单调性、运算求得符合题意的函数.
【详解】的定义域为,在区间递增,
且,
所以符合题意.
故答案为:(答案不唯一)
题型四:幂函数的图象
【例1】(2022·全国·高一专题练习)幂函数在第一象限的图像如图所示,则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质,在第一象限内,的右侧部分的图像,图像由下至上,幂指数增大,即可判断;
【详解】根据幂函数的性质,
在第一象限内,的右侧部分的图像,图像由下至上,幂指数增大,
所以由图像得:,
故选:D
【例2】(2021·北京八十中高三阶段练习)已知幂函数的图象为曲线,有下列四个性质:
①为偶函数;
②曲线不过原点;
③曲线C在第一象限呈上升趋势;
④当时,.
写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数___________.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质可得函数只能同时满足性质①③④,可取,证明即可.
【详解】解:设幂函数的解析式为,
若曲线不过原点,则,
此时函数在,故②不成立,
则当时,,故③不成立,
所以幂函数不能满足②性质,
不妨取,
函数为偶函数,曲线C在第一象限呈上升趋势,当时,,
所以幂函数满足性质①③④.
故答案为:.(答案不唯一)
【例3】(2022·全国·高一专题练习)如图所示是函数(且互质)的图象,则( )
A.是奇数且 B.是偶数,是奇数,且
C.是偶数,是奇数,且 D.是偶数,且
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可;
【详解】解:函数的图象关于轴对称,故为奇数,为偶数,
在第一象限内,函数是凸函数,故,
故选:C.
【题型专练】
1.(2022·全国·高一课时练习)图中,,分别为幂函数,,在第一象限内的图象,则,,依次可以是( )
A.,3, B.,3, C.,,3 D.,,3
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象,结合幂函数的性质判断参数的大小关系,即可得答案.
【详解】由题图知:,,,
所以,,依次可以是,,3.
故选:D
2.(2021·上海高一期末)幂函数,及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限: (如图所示),那么,而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于幂函数,因为 ,所以在第一象限单调递减,
根据幂函数的性质可知:在直线的左侧,幂函数的指数越大越接近轴 ,
因为,所以的图象比的图象更接近轴 ,所以进过第卦限,
在直线的右侧,幂函数的指数越小越接近轴,因为,
所以的图象位于和之间,所以经过卦限,
所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是,
故选:B
3.(2021·上海高一期末)在同一直角坐标系中,二次函数与幂函数图像的关系可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A,二次函数开口向上,则,其对称轴,则,即幂函数为减函数,符合题意;
对于B, 二次函数开口向下,则,其对称轴,则,即幂函数为减函数,不符合题意;
对于C,二次函数开口向上,则,其对称轴,则,即幂函数为增函数,且其增加的越来越快,不符合题意;
对于D, 二次函数开口向下,则,其对称轴,则,即幂函数为增函数,且其增加的越来越慢快,不符合题意;
故选:A
题型五: 幂函数的综合运用
【例1】(2021·湖南高一月考)已知幂函数在区间上单调递增.
(1)求的解析式;
(2)用定义法证明函数在区间上单调递减.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)解:由题可知:,解得或.
若,则在区间上单调递增,符合条件;
若,则在区间上单调递减,不符合条件.
故.
(2)证明:由(1)可知,.
任取,,且,
则.
因为,
所以,,,
所以,
即,故在区间上单调递减.
【例2】(2022上海市大同中学高一期中)已知幂函数经过点.
(1)求此幂函数的表达式和定义域;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1),定义域为;(2).
【分析】(1)设,由,求出的值,可得出函数的解析式,进一步可求得该函数的定义域;
(2)分析可知函数是定义在上的减函数,根据所求不等式可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.
(1)解:设,则,可得,解得,
所以,,由可得,所以,函数的定义域为.
(2)解:由幂函数的性质可知,函数的定义域为,且在定义域上为减函数,
由可得,可得.
【题型专练】
1.(2021·福建仙游一中高一开学考试)若幂函数在其定义域上是增函数.
(1)求的解析式;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】(1)因为是幂函数,所以,解得或,
又是增函数,即,,则;
(2)因为为增函数,所以由可得,解得或
的取值范围是或.
2.(2021·平罗中学高一期末)已知幂函数在上是增函数
(1)求的解析式
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1),(2)
【解析】(1)因为是幂函数,所以,解得或
因为在上是增函数,所以,解得,则,
故
(2)因为为上的增函数,
因为
所以,解得:,
故的取值范围是.
3.(2021·湖南高一月考)已知幂函数()是偶函数,且在上单调递增.
(1)求函数的解析式;
(2)若,求的取值范围;
(3)若实数,(,)满足,求的最小值.
【答案】(1);(2);(3)2.
【解析】(1).,
,
()
即或
在上单调递增,为偶函数
即
(2)
,,,
∴
(3)由题可知,
,
当且仅当,即,时等号成立.
所以的最小值是2.
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