第16讲 指数及指数运算-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第16讲 指数及指数运算
【知识点梳理】
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂； ②零指数幂；
③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
(6)注意事项：对于根式记号，要注意以下几点：
①，且； ②当是奇数，则；当是偶数，则；
③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零．
⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：
例：；．
⑥指数的逆运算过程：．
2.指数运算中的平方差、立方和差公式
,




【典型例题】
题型一：根式指数式的运算
【例1】化简求值:
（1）；
【答案】
【解析】
（2）．
【答案】
【解析】
=
【例2】 .

【答案】
【解析】
【例3】（多选题）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】A选项，B选项，C选项对，D选项

【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）已知，，，且，则______．
【答案】4
【分析】由题设可得、，根据指数幂运算，代入目标式求值即可.
【详解】因为，，
所以两式相乘得，则．
将代入，得，
所以．
故答案为：4
2.（2022·全国·高一课时练习）计算：
（1）______；
（2）______．
【答案】     1     3
【分析】根据指数幂的运算性质可得（1）（2）计算结果.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
3.设，，求的值．
【答案】27
【分析】将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于的方程组，求出的值，从而可求得的值
【详解】因为，所以，即．又，所以，即，
由，解得，
故的值为27．
4．（2022·全国·高一专题练习）求值.
【答案】
【分析】根据指数幂的运算性质可求出结果.
【详解】原式


.
5．（2022·全国·高一课时练习）化简：
（1）______；
（2）______．
【答案】          1
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可求解；
（2）先将根式转化为分数指数幂，然后根据分数指数幂的运算性质即可求解；
【详解】解：（1）原式．
（2）因为有意义，所以，
所以原式．
故答案为：（1）；（2）1.
题型二：平方差、立方差（和）公式运用
【例1】已知求的值．
【答案】2
【详解】因为，所以，所以，所以，所以
【例2】若则 .
【答案】
【详解】
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知，且，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
（注：立方和公式）
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案.
（2）结合指数运算求得正确答案.
（3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.
（1）因为，且，所以.
.
（2）.
（3）.
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则＝（       ）
A．12 B．14 C．16 D．20
【答案】B
【分析】根据指数式的运算即可求解.
【详解】因为，所以，则，
故选:B．
2.（2022·全国·高一单元测试）（1）已知，计算：；
【答案】4
【分析】对两边平方，求出，再对此式两边平方，化简可得，从而代入可求结果，
【详解】因为，所以，所以，所以，                                        
所以，即，所以，所以．                        
题型三：指数式运算应用题
【例1】（2022·河南开封·高二阶段练习（文））企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（       ）
A．40% B．50% C．64% D．81%
【答案】C
【分析】由，得污染物含量的初始值为，根据得，得，代入，即可求出答案.
【详解】当时，；当时，，
即，得，所以；
当时，.
故选：C
【例2】（2021·安徽宣城·高一期中）某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（       ）
A．15h B．30h C．40h D．60h
【答案】C
【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果.
【详解】由题意知，，所以，
所以，所以，所以.
故选：C．
【例3】（2022·北京房山·高一期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（       ）
A． 小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】D
【分析】根据题意建立方程组，进而解出，然后将22代入即可求得答案.
【详解】由题意，，所以该食品在的保鲜时间是.
故选：D.
【例4】（2021·四川省南充市白塔中学高一期中）Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（       ）
A．60 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数的运算直接代入求值.
【详解】由，且，
得，
解得，
故选：A.
【例5】（2021·全国·高一课时练习）一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（       ）
A．5 B．9 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由分裂的定义可知，后一天的细胞数应为前一天的二倍，则可表示经过10天的细胞的数量，逆推可知，前一天时应为此时的一半，则可知需要9天即可充满容器一半.
【详解】根据题意可得，经过10天细胞数量为，
细胞充满容器一半时，细胞数量为，
当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天，
故选：B.
【题型专练】
1.（2022·浙江·杭十四中高二期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（       ）
A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】构造指数函数模型，计算即可.
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为，则，
经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故选：C.
2.（2020·全国·高三专题练习）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（       ）
A．125天 B．100天 C．75天 D．50天
【答案】C
【分析】根据题意将当时代入计算出，然后再代入计算即可求出结果.
【详解】解析：由题意知，当时，有．
即，得．
所以当时，有．
即，得．
所以．
故选：C
3.（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（       ）小时.

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果.
【详解】由题意可得，可得，设，
可得，解得.
因此，污染物消除至最初的还需要小时.
故选：C.
4．（2021·四川·成都外国语学校高一期中）国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，进而可求得，代值计算即可得解.
【详解】由已知可得，可得，
所以，我战机在高空处的大气压强为.
故选：B.
5．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（       ）
A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时
【答案】B
【分析】根据保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，并结合食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，可求出，然后再将代入，即可得出答案.
【详解】解：由题可知，保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，
则，即，所以，
于是当时，＝18(小时).
故选：B.
6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（       ）
A．50 B．53 C．60 D．66
【答案】A
【分析】根据题意得，进而根据指数方程求解即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，整理得
所以，由于为非零常数，
所以.
故选：A
7．（2021·江苏省镇江中学高一期中）核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（       ），（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值.
【详解】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，
所以，所以，可得，，
故选：C.