第23讲 函数的对称性和周期性专题训练-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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1.函数常见对称性结论
定理1 若函数关于直线对称，则．
关系式也可以写成 或．
若写成，则函数关于直线对称．
定理2 若函数关于点对称，则．
推论2 关系式也可以写成或．
2.函数常见周期性结论
若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且
定理1 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若函数满足，则．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若函数满足，则．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若函数满足，则．
④若函数满足，则．
定理2 若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．
定理3 函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周
定理4 函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．
推论1 周期为的奇函数一定关于点对称，周期为的偶函数关于直线对称．
定理5 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
证明 由函数
,
则，所以
，则是以为周期的周期函数．
定理6 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
证明 由函数满足得
，则函数是以为周期的周期函数．
定理7 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
证明 由，又，则．
【典型例题】
题型一：利用周期性求函数值
【例1】（2022·安徽·高三开学考试）已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质用已知等式确定函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求函数值．
【详解】是奇函数，则，
所以，函数是周期函数，是它的一个周期，
．
故选：A．
【例2】（2023山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知是R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3B．C．255D．
【答案】B
【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.
【详解】由可得，，故是以4为周期的周期函数，故，
故选：B
【例3】（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，化简得到，代入即可求解.
【详解】因为是定义在上的周期为3的函数，当时，，
则.
故选：D.
【例4】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．D．时，
【答案】AB
【分析】首先判断函数的奇偶性与周期性，根据奇偶性求出函数在上的解析式，最后根据周期性求出.
【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以是偶函数，故A正确；
又，所以是以为周期的周期函数，故B正确；
设，则，所以，又是偶函数，
则，即当时，故D错误；
，故C错误；
故选：AB
【例5】（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______．
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再根据对数的运算及奇函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，所以，即，
所以是以为周期的周期函数，
又
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，且当时，，
所以.
故答案为：
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．
【详解】解：，
，
函数是周期为的周期函数，
又当时，，
所以，，，
，
故选：B．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（ ）
A．0B．1
C．6D．216
【答案】C
【分析】由可得函数周期为6，进而，最后求出答案.
【详解】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，，则，故
故选：C
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知函数是周期为的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性的性质可求得结果.
【详解】因为，所以，
即，所以函数的周期为，
所以，
因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，
所以，所以.
故选：B.
4．（2023重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【分析】由函数满足，推得函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解.
【详解】因为在R上的函数满足，且，
令，有，
又，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以.
故答案为：．
5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.
【答案】1
【分析】由已知条件可得，函数的周期为4，再结合所给的解析式可求得答案
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的周期为4，
因为当时，，
所以
，
故答案为：1
题型二：函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用
【例1】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定义在上的偶函数满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意, 分析可得函数是周期为4的周期函数, 由此可得，，用赋值法求出的值, 由此计算即可得答案.
【详解】根据题意, 函数满足, 则,
又由为偶函数，则有,
则有,
即函数是周期为4的周期函数,
，令可得.
，，
所以
故选：B
【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数是上的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（ ）
①函数的最小正周期为2
②函数在内单调递增
③函数相邻两个对称中心的距离为
④函数在区间内有个零点
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据已知关系式通过赋值确定函数的周期，由此判断①；由周期性、奇偶性和函数在上的解析式可得图象，通过图象判断②③；将零点个数问题转化为与交点个数问题，通过数形结合判断④，由此确定正确命题的个数.
【详解】因为函数是上的奇函数，所以，，
当，，
所以，，
所以函数在和上都单调递增，
由取可得，
所以函数为周期函数，周期为2，
由以上条件可得大致图象如下图所示：
由图象可得最小正周期为，①正确；
函数在内不单调递增，②错误；
的对称中心为，则相邻的对称中心之间距离为，③错误；
在区间内的零点个数等价于与在内的交点个数，在平面直角坐标系中画出与大致图象如下图所示：
由图象可知：与在区间时的交点横坐标为1，在每个内都有个交点，且交点横坐标小于，故两个函数在内有个交点，即在区间内有个零点，④正确.
故选：B.
【例3】（2022·湖北·高三开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
【详解】因为当时，，所以，
又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，
由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.
故选：B.
【例4】（2022·福建·福州三中高二期末）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当，，若，则=（ ）
A．-B．-C．-D．
【答案】C
【分析】根据函数的图像变换以及奇偶性，可得函数的所有对称中心和对称轴，进而可得函数的周期，以及所过的点，求得部分解析式，可得答案.
【详解】根据函数的图像变换，由为偶函数，为奇函数，
则直线，分别为函数的对称轴与对称中心，
即函数的对称轴的方程为与对称中心坐标为，
易知，函数的周期，
由，则，即，且，
可得方程：，解得，即当，，
.
故选：C.
【例5】（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（ ）
A．4B．C．0D．2
【答案】C
【分析】由，可得，再根据条件得到周期后即可求解.
【详解】由，可知函数关于点中心对称，即有；
由为偶函数，可知函数关于对称，即有.
于是有，从而可得，因此可得函数的周期为4.
所以，.
再由，令，有，即.
所以.
故选：C
【例6】（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令有，即可求出答案.
【详解】，用代换，有恒成立，
所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
令有，所以.
故选：A
【例7】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数的最小正周期为
C．当时，函数的最小值为D．方程有个根
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义判断A；利用函数周期的定义判断B；根据对称性以及二次函数的性质可判断C；利用数形结合的判断D.
【详解】因为是定义域为R的函数，
由，则，
又，
所以，即，
所以，所以函数是偶函数，故A正确；
由，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B正确；
当时，，
函数的最小值为，
由，所以为对称轴，
所以当时，函数的最小值为，故C不正确；
作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，
又与为偶函数，
由对称性可知方程有10个根，故D正确.
故选：C.
【例8】若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
【题型专练】
1.（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数性质可得，由偶函数性质可得，化简整理可得，即可求出周期.
【详解】因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，则，
则，即，
所以，即，则，
所以的周期是4.
故选：C.
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】D
【分析】根据奇偶性的性质化简可得是以4为周期的函数，即可求出.
【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，
又为偶函数，故可得，
则，故以4为周期，
故.
故选：D.
3．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-3
【答案】B
【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选:B．
4.（2022·广西梧州·高二期末（理））已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．是以4为周期的周期函数
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
【答案】B
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为，且为偶函数，
所以
，
故的周期为4，故A正确．
由的周期为4，则，，
所以，故B错误；
令，可得，
作函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；
当时，，则，故D正确．
故选：B．
5．（2022·吉林·长春十一高高二期末）已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】先判断出函数是周期为4的周期函数，利用周期性直接求解.
【详解】因为为偶函数，所以，用代换x，可得：①
对任意的，有，把①代入有：，即②
在②式中，用代换x，有③.
②③对照可得：，用代换x，有恒成立，
所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
在③中，令有，所以，
所以.
故选：A
6．（2022·山西长治·高二期末）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】C
【分析】对于A：根据题意结合奇函数可得，结合对称中心结论，则关于成中心对称理解判断；对于B：根据对称轴的结论：，则关于成轴对称，结合题意理解判断；对于C：根据题意可得：在内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判断；对于D：整理可得，则的周期为4，结合单调性整理分析．
【详解】，即，故关于成中心对称，不正确；
∵，则关于成轴对称，错误；
根据题意可得：在内单调递增
∵关于成轴对称，（2，0）中心对称，则在内单调递减；正确；
又∵，则
∴，可知的周期为4
则错误
故选：C．
7．（2022·广东湛江·高二期末）已知函数为上的奇函数，为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．的最小正周期为4
D．对任意的都有
【答案】C
【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.
【详解】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：C
8．（2022·海南·嘉积中学高二期末）的定义域为，且，，则（ ）
A．3B．2C．0D．1
【答案】C
【分析】令，则，由此可推出，则的周期为6，然后利用赋值法求出的值，可求出一个周期上的6个函数值的和，从而可求出
【详解】令，则，即，
所以，，
所以，
所以，
所以的周期为6，
令，则，得，
因为，
所以，
，
，
，
，
所以，
所以
故选：C
9．（2022·河北深州市中学高三练习多选题）已知函数对，都有，且，则（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点中心对称
C．
D．
【答案】ABC
【分析】A选项根据题目条件立即得出，BCD选项通过已知条件合理的进行“取代”，推出函数周期后便容易得出结果.
【详解】因为，所以关于对称，A选项正确；又，令去取代，所以，再令取代，所以，所以的周期为4，由可得：，所以的图像关于对称，结合的周期为4，所以的图像关于点中心对称，故B正确；定义在上的奇函数满足，令中，可得，所以，故C正确；，故D不正确.
故选：ABC.
10．（2022·江苏·苏州中学高二期末多选题）已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数在上单调递增
C．x=2是函数的对称轴D．函数的最小正周期是12
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;
【详解】因为定义在R上的函数 满足，即，
故函数是奇函数，故A错误；
因为，故，而，
所以，即的图象关于对称，
则x=2是函数的对称轴，故C正确；
因为，所以，
故12是函数的周期；
对任意的 ，当 时，都有 ，
即，
故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减，
又因为的图象关于对称，故时，单调递增，
因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同，
故函数在上单调递增，故B正确，
作出函数的大致图象如图示：
结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确；
故选：BCD