第25讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式6种题型总结-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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知识点一：同角三角函数基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
知识点二：三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
，
【题型目录】
题型一：同角三角函数公式求值
题型二： 弦的齐次式问题
题型三： 知一求二问题
题型四：诱导公式化简求值
题型五： 诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用
题型六：换元法、角的拼凑
【典例例题】
题型一：同角三角函数公式求值
【例1】（2022·海南·模拟预测）已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求即可.
【详解】
因为是第二象限角，
所以，，
由，，可得：.
故选：A.
【例2】（2022全国）已知，是第三象限角，求，的值.
【答案】;;
【解析】因为，是第三象限角，
所以，.
【题型专练】
1.（2022上海黄浦·格致中学高一月考）已知，则___________．
【答案】
【解析】，
，
，
．
故答案为：．
2.（2022全国高一）下列四个命题中可能成立的一个是（ ）
A．且B．且
C．且D．（为第二象限角）
【答案】B
【解析】对于A选项，由同角三角函数关系，，不成立，故A错误；
对于B选项，当时成立，故B正确；
对于C选项，若且成立，则由与矛盾，故C错误；
对于D选项，由同角三角函数关系，，故D错误.
故选：B
3.（2022·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由及解出与即可求解.
【详解】
因为，且，，
所以，，
所以.
故选：A.
题型二： 弦的齐次式问题
【例1】（2022北京市昌平区实验学校高一期中）已知角的终边过点，求：
①；②；③
【答案】①；②；③.
【解析】①因为角的终边过点，所以，，
由三角函数的定义可得：
②，
③.
【例2】（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.
【详解】
解：．
故答案为：
【例3】（2022安徽蚌埠二中高一期中）已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）
A．0B．C．D．5
【答案】D
【解析】由条件可知，，所以，
解得：，
所以，
.
故选：D
【题型专练】
1.（2022江西省修水县英才高级中学高一月考）已知，则的值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】因，则有，
所以的值为.
故选：B
2.（2022河南焦作·高一期中）已知，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得
，
所以，
，
，
所以，，
解得或，
因为，所以，
所以，
故选：A
3.（2022甘肃张掖市第二中学高一期中）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
由同角三角函数基本关系可得，
解得：，
所以，
故选：B．
4.（2022·全国·高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得，从而同号，即，然后由平方关系求得，进而求得，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．
【详解】
因为，所以，所以同号，即，
，，从而，
，所以，
．
故选：C．
题型三： 知一求二问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，给出下列结论：
①；
② ；
③；
④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③④
C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】由 ，且，将等式两边平方可得，可判断，即可判断①②③；继而利用求得，判断④，可得答案.
【详解】∵, ，
等式两边平方得 ，
解得，故②正确；
∵，，
∴，,故①正确，③错误；
由可知， ，
且 ，
解得，故④正确，
故选：A
【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（理））已知，，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，则，
又，则，
由，可得；
（2）由可得，

【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由求出，再由，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因此.
故选:B
【例4】（2021·大连市第三十六中学高一期中）已知为三角形的内角，，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】是三角形的内角，，所以
又因为，
所以，即
所以，为锐角，且，所以，所以
所以
所以，
所以（舍去）或．
故选：C．
【题型专练】
1.（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于，所以，故，
所以.
故选：A
2.（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
【答案】
【分析】根据平方可得，结合立方差公式即可代入求值.
【详解】因为，平方得，所以，
所以．
故答案为：
3.（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则____.
【答案】##1.4
【分析】利用完全平方公式，建立、与和的等量关系，并利用所求值确定，的符号，从而可求.
【详解】解：，
两边平方，可得，可得，
，
可得，，可得，
．
故答案为：.
4.（2021·全国高一单元测试）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】①，
，即，
，
，，，
，故A正确；
，
②，故D正确；
①加②得，①减②得，故B正确；
，故C错误.
故选：ABD．
5.（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】
，，，，，
，所以.
故选：C
题型四：诱导公式化简求值
【例1】（2022·广西桂林·模拟预测（文））sin()的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据诱导公式即可得结果.
【详解】，
故选：B.
【例2】（2022·辽宁·沈阳市第三十中学高一期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式分别整理计算可得，，，再进行大小比较．
【详解】
∴
故选：C．
【例3】（2022绥德中学高一月考）
(1)计算：；
(2)化简：.
【答案】(1)2；(2)1.
【解析】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，
(2) 由诱导公式可得，
【例4】（2022·全国·高一课时练习）设，其中，若，则（ ）
A．4B．3C．－5D．5
【答案】C
【分析】使用诱导公式可以得到与的递推关系，从而得出结论
【详解】
．
故选：C.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____.
【答案】18
【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.
【详解】由，可得，
∴


.
故答案为：18.
【题型专练】
1．（2022·云南昆明·高一期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式：先根据，再根据运算求解．
【详解】
故选：B．
2.（2021·辽宁·大连二十四中高一期中）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值可得正确的选项.
【详解】,
故选：B.
3.（2022全国高一课时练习）化简：=（ ）
A．-sinθB．sinθ
C．csθD．-csθ
【答案】A
【解析】原式=，=，=-sinθ.故选：A
4.（2022陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：
（2）求值：
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式
.
5.（2022·全国·高一课时练习）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得，则答案可求；
（2）由，再由诱导公式求得求的值．
（1）
解：.
因为，所以，
又角是第三象限角，所以，
所以.
（2）
解：因为，所以.
题型五： 诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用
【例1】（2022上海市长征中学）已知，且是第二象限角，则的值等于_______
【答案】
【解析】，且是第二象限角，，
．故答案为：．
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案.
【详解】因为，所以，
所以,
故选:A.
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】C
【分析】由三角函数定义和诱导公式得到，再利用两角和的正切公式求得，然后利用弦化切可得答案.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
即，即，解得，
所以．
故选：C．
【例4】（2022·陕西渭南·高一期末）已知.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可.
(1)解：由题意得
(2)解：∵，∴.
∴为第一或第二象限角，
∴，
∴
【题型专练】
1.（2022海原县第一中学高一月考）已知，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
则故答案为：
2.（2022全国高一课时练习）已知，且，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，，
所以，，
所以．
故答案为：．
3.（2022全国）已知.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】，
（1）当时，；
（2）由，可得，
且，所以，所以，
所以.
4.（2022河南高一期中）已知，且，为方程的两根．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，
则，，
，得．
（2）
，
，且，
，则，，
，则，
故原式．
5.（2021·四川成都外国语学校高一期中（理））已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】因为，
所以，可得，
（1）；
（2）.
题型六：换元法、角的拼凑
【例1】（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，
故选：B.
【例2】（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解法一：∵，，
∴由诱导公式可得，，
故选：B.
解法二：换元法，设，则，，所以
【例3】（2021·陕西省洛南中学高一月考）若，则__________．
【答案】
【解析】因为，
故答案为：
【题型专练】
1.（2022富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当时，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵∴，∴，
∴．
故选：B
2.（2021·奉新县第一中学）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由则.故选：B
3.（2021·建平县实验中学高一期末）（多选）已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由，可得，
，
，
．
故选：BD
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限