第29讲 三角恒等变换5种常见题型-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第29讲 三角恒等变换5种常见题型
【知识点梳理】
知识点一．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
知识点二．二倍角公式
①；
②；
③；
知识点三：降次（幂）公式

知识点四：半角公式


知识点五．辅助角公式
（其中）．
【方法技巧与总结】
1．两角和与差正切公式变形
；
．
2．降幂公式与升幂公式
；
．
3．其他常用变式
．
3. 拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意 特殊的角也看成已知角，如．
【题型目录】
题型一：和差角公式的应用
题型二：二倍角公式的应用
题型三：凑角（换元法）
题型四：给值求角问题
题型五：求非特殊角三角函数值
【典例例题】
题型一：和差角公式的应用
【例1】（河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第一次学业质量联合检测）在平面直角坐标系中，角的终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则（       ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若，则的值为（       ）
A． B．2 C． D．
【例3】（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数．设，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【例4】（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知 ， 且 为第四象限角， 则 （       ）
A． B． C． D．
【例5】（2022·湖北·高三开学考试）（       ）
A． B． C． D．1

【例6】（2022·全国·高一课时练习）已知，则_______________．

【例7】（2022·全国·高一单元测试）化简：_____．

【题型专练】
1．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知，都是锐角，，，则（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·全国·高一课时练习）已知，则_______________．

3．（2022·全国·高一课时练习）已知均有意义，则的值为___________．

4．（2022·河南·高二开学考试）（       ）
A． B． C． D．

5．（2022·全国·高一课时练习）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则（       ）
A． B．1 C． D．2

6．（内蒙古包头市2022-2023学年高三上学期开学调研考试数学（文）试题）已知，且是第二象限角，则______．

7．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）求值：cos58°sin77°＋sin122°sin13°= _______．

8．（2022·全国·高一课时练习）____________．

题型二：二倍角公式运用
【例1】（2022·浙江·高三开学考试）若，且，则（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为（       ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2

【例3】（2022·甘肃临夏·高二期末（文））若为第二象限角，，则（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·湖南·高三开学考试）已知为三角形的内角，且，则___________.

【例5】（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））若，，则（       ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·全国·高一单元测试）设，，，则有（       ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022全国高一课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．

2．（2022全国高一课时练习）若，则_______，_______．

3．（2022·全国·高一课时练习）若，且，则下列各式中正确的是（       ）
A． B．
C． D．

4．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知为锐角，且，则___________.

5．（2022·全国·高一课时练习）若是第三象限角，且，则___________.

6.（2022·福建省福州第一中学三模）若，且，则（       ）
A． B． C．2 D．-2

7.（2022新高考2卷）若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sinβ，则
A． B． C． D．




题型三：凑角（换元法）
【例1】（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知，，则的值为（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）若，，，，则（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知 ， 则 （       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·贵州黔东南·一模（文））若，，则___________.

【例5】（2023全国）已知，，，求与的值．

【例6】（2022·全国·模拟预测）已知，则（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则的值为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（       ）
A．1 B．-1 C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，则的值为（       ）
A．或0 B．0 C． D．

4．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，则________.

5．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.

6.（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，则（       ）
A． B． C． D．

7.（2022·湖北·模拟预测）已知，且，则（       ）
A． B． C． D．

8．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，，，则（       ）
A． B．
C． D．

题型四：给值求角
【例1】（2022·江苏·金沙中学高一期末）已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·全国·模拟预测）已知，，则______．
【例3】（2022·全国·高一课时）在中，，，则角（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知，且，求的值为_____．

【例5】（2022湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）已知都是锐角，，则___________.

【题型专练】
1.（2022·河北石家庄·一模）已知角，，则______.

2.（2023全国高三）已知，求角的值．

3.（2022·上海市大同中学高三开学考试）若，且，则的值为___________.

4.（2022·全国·高三专题练习）若，，且，，则的值是______．

5.（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若，，且，，则（       ）
A． B． C． D．


6.（2022·上海交大附中高三开学考试）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（       ）
A． B．
C． D．

7．（2022全国高一课时练习）已知，其中，求角的值.

8．（2022全国高一课时练习）已知，且，求角的值．

9.（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知且，则=（     ）
A． B．
C． D．或

10．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测多选）已知，，，且，则（       ）
A．若，则
B．若，则
C．，可能是方程的两根
D．

11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习多选）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．

题型五：求非特殊角三角函数值
【例1】求值（1）；（2）

【例2】（2022重庆八中高三阶段练习）（       ）
A． B． C． D．

【例3】求值

【例4】（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若角的终边经过点，且，则实数的值为（       ）
A． B． C． D．

【例5】（2023重庆一中高三阶段练习）求值：（       ）
A．1 B． C． D．


【题型专练】
1.求值


2.（2022·全国·高三专题练习）___________.

3.（2022·江苏南通·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.
4.（2022上海高一课时练习）化简并求值.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.