第30讲 三角函数解答题7种常见题型总结-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第30讲 三角函数解答题7种常见题型总结
【题型目录】
题型一：三角恒等变换的应用
题型二：三角函数最值值域问题
题型三：三角函数的单调性问题
题型四：五点法作图问题
题型五：三角函数不等式恒成立问题
题型六：三角函数零点根的个数问题
题型七：三角函数的应用性问题
【典例例题】
题型一：三角恒等变换的应用
【例1】（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数.
(1)若函数的图象过点，且，求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解；
（2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号．
【详解】（1）因为.
所以.
因为函数的图象过点，
所以.
因为，所以，所以，解得.
（2）因为，所以.
因为，所以.
所以，
又，所以.
因为，所以，所以.
【例2】（2022·重庆八中高三开学考试）已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据及两角差的正弦公式计算可得；
（2）首先求出，再根据及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】（1）解：因为，均为锐角，所以.
又，
所以，.
所以
.
（2）解：根据第（1）问可知 ，
所以
.
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，
（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
【详解】（1）因为，，所以，，
所以，，
所以
.
（2）因为，，
所以，
所以，
所以.
【例4】（2022·江苏·高一开学考试）已知函数．
(1)，为锐角，，，求及的值；
(2)已知，，，求及的值．
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）由平方关系及商数关系即可求得；由结合平方关系求得，进而求得，同理求得，再由正切差角公式求出即可；
（2）由结合平方关系及余弦和角公式化简得，进而得到及，即可求出及的值．
【详解】（1），，，为锐角，即，，．，，，，，，．
综上，，；
（2），，
，
所以，即，
且，又，，当时，，；
当时，与相矛盾，不符合题意．综上所述，．
【题型专练】
1．（2022·江苏镇江·高一期末）已知，．
(1)求cos2α的值；
(2)若，且，求角β．
【答案】(1)，(2).
【分析】（1）根据条件由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式转化为正切化简求值；
（2）利用角的变换及两角差的正弦公式求解即可.
【详解】(1)由可得，即，
.
(2),,，又，，
由（1）知，，，

，
又，.
2．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知．
(1)求和；
(2)求．
【答案】(1)；，(2)
【分析】(1)由二倍角公式和同角三角函数基本关系式结合角的范围可直接计算出结果；
(2)拆分角，利用两角和的余弦公式可计算出结果.
【详解】(1)由二倍角公式得：；
因为且，所以，则，所以
.
(2)因为，所以，又因为，所以
，则
.
3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知，，且，．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用角的变换，由求解；
（2）先求得，再利用二倍角的正切公式求解.
【详解】(1)解：∵，，∴，．
∴．∴．

．
(2)∵，∴．，

4．（2022·四川自贡·高一期末）已知函数.
(1)求函数的周期和单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先根据三角函数的平移变换规则求出的解析式，根据，得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得；
(1)解：∵
，即，
所以函数的最小正周期，
令，解得.
故函数的单调递减区间为.
(2)解：由题意可得，
∵，∴，
∵，所以，则，
因此
.
5．（2023安徽·高三阶段练习（理））已知函数，满足.
(1)求的解析式；
(2)将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）化简解析式，根据的对称轴求得，进而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换求得，由求得，进而求得，从而求得.
(1)由题意得，，
由，得图象的一条对称轴为，
∴，，
∴，，又，解得，
∴.
(2)由题意得，.
∵，∴，即，
∵，∴，∴，
∴
.
题型二：三角函数最值值域问题
【例1】 函数且满足___________.
①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题.
（1）确定的值并求函数的单调区间；
（2）求函数在上的值域.
【答案】条件选择见解析；（1），单调增区为，单调减区间为；（2）.
【分析】化简.
（1）若选① ，根据周期公式可得；若选②，由，可得周期和，
再根据正弦函数的单调性可得单调区间；
（2）由的范围求出及的范围可得答案.
【详解】
.（1）若选① ，则有，，即，
若选②，则有，，即，
综上，于是由，
解得，即单调增区为，
由，解得，
所以单调减区间为.
（2），若，则，
则，所以值域为.
【点睛】本题考查了的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力.
【例2】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间［0，］上的最值.
【答案】(1)（kZ），(2)最大值为1，最小值为-.
【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
【详解】（1）=.
因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递增区间为（kZ）.
（2）因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为1，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-.
【例3】（2022·辽宁抚顺·高一期末）函数，函数的最小正周期为.
(1)求函数的递增区间：
(2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，求函数在上的值域.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换对原式进行化简，由最小正周期求得，得到函数的解析式，根据正弦型三角函数的单调性，整体代入求解函数的递增区间即可；
（2）根据题意结合三角函数图象的变换得到函数的解析式，整体代入求解正弦型函数在闭区间的值域即可.
【详解】(1)解：
，
因为函数的最小正周期为.
所以，所以.所以.
令即
所以函数的递增区间为.
(2)解：将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，

再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，

因为

所以在上的值域为.
【例4】（2022·辽宁·高一期末）函数
（1）说明函数的图像是由函数经过怎样的变换得到的；
（2）函数，求函数的值域，并指出的最小正周期（不需要证明）.
【答案】（1）见解析；（2）；．
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式化简函数，并将函数先平移再伸缩可得；
（2）求出函数的解析式，利用正弦函数的有界性和周期性的定义可得答案．
【详解】
（1）图象向右平移个单位可得，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到；
（2）则函数的值域为；的最小正周期为．
【例5】（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入最小正周期运算求解，再以为整体结合正弦函数可得，运算求解的单调递减区间；（2）根据图像变换可得，以为整体结合正弦函数图像求值域．
(1)
∴的最小正周期为
∵，则
∴的单调递减区间为
(2)根据题意可得：将函数的图象向右平移个单位长度，得到
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则
∵，则
∴，则
即函数在区间上的值域为．
【例6】先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.
（1）求函数的解析式；
（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先对函数化简变形可得，再由三角函数图像变换规律可求出的解析式；
（2）由已知条件可得，，则可得，然后令，则，从而可求出其最值
【详解】（1）原函数化简得到，
将图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得，再将的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到，所以.
（2）由题意知，，因为，所以，
解得，则有：.



令，，
则对称轴为.所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由求出，再对两边取余弦化简可求出，从而可对化简可得，再利用换元法可求得结果，属于中档题
【题型专练】
1．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数的图象，求在区间上的值域．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据三角函数的恒等变换，将化为，根据正弦函数的周期公式，即可求得答案；
（2）根据三角函数图象的平移变换伸缩变换规律可得的解析式，根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案.
(1)由题意得：，
因为的最小正周期为，所以，所以；
(2)由（1）知，故由题意得 ，
，， 故，， ，的值域为．
2．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数相邻两个零点之间的距离为，且的图像关于点（，0）对称．
(1)求函数的解析式；
(2)将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在[0，m]上的值域为[－1，2]，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由相邻两个零点之间的距离为，可得，从而可求出，再由的图像关于点（，0）对称，可得，从而可求出的值，进而可求出的解析式；
（2）由三角函数的图象变换规律求出，然后由，得，再结合在[0，m]上的值域为[－1，2]，可得，从而可求出m的取值范围
(1)
由题得，则，
∵函数f（x）的图像关于点（，0）对称，
∴，即，
又，

故．
(2)
将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
再将所得的图像向右平移个单位长度，得，
所以，

，
，
在上的值域为[－1，2]，
∴，
解得，
故m的取值范围为．
3．（2022·福建·高二学业考试）已知函数，求：
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域．
(3)描述如何由的图象变换得到函数的图象．
【答案】(1)，(2)，(3)变换见解析
【分析】（1）根据同角三角函数的关系，降幂公式和辅助角公式化简求解即可；
（2）结合正弦函数在区间上的图象和取值范围求解即可；
（3）根据三角函数图象平移伸缩的变换分析即可
(1)由题，，故最小正周期
(2)由（1），当时，，故，故，即函数在区间上的值域为
(3)
的图象先向左平移个单位得到，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；再横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到；再往上平移2个单位得到的图象
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）已知，其中，给出三个条件：
①关于直线对称；②；③图象沿x轴向左平移个单位可以得到一个偶函数．
(1)在这三个条件中任选一个，求；
(2)根据（1）所求函数表达式，求在上的值域．
【答案】(1)任选一条件，都有
(2)[0，3]
【分析】（1），若选择①，则有，，然后求出即可；若选择②，可得，然后求出即可；若选择③，可得，然后求出即可；
（2）根据正弦函数的知识可得答案.
(1)

若选择①，则有，
即，，故，

若选择②，则有
即，，即，，故，

若选择③，f（x）图象沿x轴向左平移个单位得到
为偶函数可得，，即
即，，故，

(2)
由（1）可得，
，则
根据正弦函数图象可得
故在上的值域是[0，3]．
5．（2022·福建·莆田一中高一期中）已知函数，其中.函数图象的一个对称中心坐标为.
(1)求的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求的最大值以及取得最大值时所有的集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)通过三角恒等变换公式将f(x)化简为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，根据其对称中心可求出ω，再根据复合函数和正弦函数单调性即可求其增区间；
(2)根据图象变换求出g(x)的解析式，结合三角函数性质即可求其最大值及取得最大值时x的取值集合．
（1）∵．而函数图象的一个对称中心坐标为，∴，即．∵，∴，因此．由，解得，∴函数增区间为．
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到，当，即时，取得最大值为．此时．
6．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一期中）已知函数﹒
(1)求函数的最小正周期；
(2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求函数在上的值域.
【答案】(1)；(2)﹒
【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求解；
(2)利用图像变换求出g(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求g(x)值域﹒
(1)
(1)

，
∴的最小正周期为；
(2)
(2)将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，
再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故，
由，得，∴，
∴在上的值域为﹒
7．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数为奇函数，对，恒成立，且.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为，，(2)
【分析】（1）由已知条件要得周期为，利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，可得，由函数为奇函数可求出的值，由周期可求出的值，从而可求出函数解析式，由可求出函数的增区间，
（2）由三角函数图象变换规律求出的解析式，由，得，再利用正弦函灵敏的性质可求出函数的值域
(1)，，
.
，
因为为奇函数，所以，，即，，
因为，所以，所以，因为，所以，
所以，由，得
所以的单调递增区间为，
(2)将函数的图象向右平移个单位，得，
再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，，
由，得，所以，
所以，所以的值域为.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)若的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，求函数在上的值域．
【答案】(1)，（）
(2)
【分析】（1）由2倍角及辅助角公式可得，从而可求解；
（2）由平移得，再通过整体思想求解即可.
(1)因为
，
所以的最小正周期．
令，，则，，
所以图象的对称轴方程是，．
(2)由题可知．
因为，所以，
所以，即，
故在上的值域是．
题型三：三角函数的单调性问题
【例1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若，求函数的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数定义，，化简可得.
（2）根据复合函数单调性，函数的单调递增区间,即为函数的单调递增区间.根据正切函数的图象和性质可得.
（1）
因为函数为奇函数，所以，
即，
所以，
所以，所以.
又因为，所以．
（2）
由（1）知，
则，
由且，得.
因为函数在其定义域内为增函数，
根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间,
即为函数的单调递增区间.
而函数的单调递增区间为，
所以函数的单调递增区间为．
【例2】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，，(2)
【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；
（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
（1）
，

，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）
将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.

【例3】（2022·陕西咸阳·高一期末）已知函数（），且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)先将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取最小值时，函数的单调递增区间.
【答案】(1)，(2)，.
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得解；
（2）利用三角函数的变换规则得到的解析式，再根据对称性求出，最后根据正弦函数的性质计算可得；
(1)解：因为


，
即，又函数的最小正周期为且，
所以，解得，所以.
(2)解：将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度得到，
再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
因为的图象关于直线对称，即，
解得，
因为，所以当时取得最小值，，
所以，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
【例4】（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数的最小值为.
(1)求函数的最大值；
(2)把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值.
【答案】(1)，(2)4
【分析】（1）化简函数为，再根据函数的最小值为求解；
（2）利用平移变换得到的图象，再由在上为增函数求解.
(1)解：，
函数的最小值为，，解得，
则，函数的最大值为2.
(2)由（1）可知：把函数向右平移个单位，
可得函数的图象.
在上为增函数，
函数的周期，所以，即的最大值为4.
【例5】（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
【分析】（1）根据的最小正周期为可得，再结合图象关于直线对称，代入到对称轴的表达式求解可得；
（2）根据为的零点，为图象的对称轴，可分别代入对称点与对称轴的表达式，进而求得的表达式，可得为正奇数，再根据在上单调，可得，进而分别代入讨论是否成立即可.
（1）因为的最小正周期为，所以.因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数，______．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)条件选择见解析，，(2)，
【分析】(1)根据所选条件，列方程解得即可.
(2)先求函数的单调增区间，找出满足条件的即可.
（1）选择条件①．∵为奇函数，
∴，解得，．
∵，∴，∴；
选条件②．，∴，
∴，或，，
∵，∴，∴
选条件③．
（1）∵是函数的一个零点，
∴，∴，．
∵，∴，∴.
（2）由，，得，，
令，得，令，得，
∴函数在上的单调递增区间为，．
2．（2022·山东滨州·高二期末）已知函数的最小值为1.
(1)求常数的值；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)3，(2)和
【分析】（1）先化简，得到，由最小值求出m；（2）利用复合函数的单调性法则直接求得.
(1)

因为的最小值为-1，所以的最小值为，
所以.
(2)令，解得：.
令得：；令得：.
与取交集，得到或.
即当时，函数的单调递增区间为和.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，当时，的最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数图象的对称中心及在上的单调减区间．
【答案】(1)，(2)，，
【分析】（1）由已知求得，结合的范围求得，再由已知求得得答案；（2）根据正弦函数的对称中心和单调性结论求解.
（1）角的终边经过点，∴，又∵，∴．
由当时，的最小值为，
得，则，即，∴
∴．
（2）令，，得，，∴函数图象的对称中心为，．
令，，得，，
又∵，∴在上的单调递减区间为．
4．（2021·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））已知函数，其中.
(1)求最小正周期；
(2)若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）化简函数的解析式，利用公式求解即可；
（2）构造函数，由单调性的定义得出在区间上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数的最大值.
（1）解：由题意得，，
所以，最小正周期
（2）解：根据题意， 令

，
因为对任意的，当时，均有成立，
所以对任意的，当时，均有成立，即
所以，在区间上为增函数，
因为，，所以，，
所以，函数包含原点的单调递增区间为，
所以，是的真子集，
所以，，即正实数的最大值为.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，函数的图象关于直线对称，求的值；
(2)在第一问的条件下，将的图像向右平移个单位得到函数，求在上的单调递增区间．
【答案】(1)，(2)和
【分析】（1）首先利用辅助角公式将化简，即可得到的解析式，根据正弦函数的性质及的取值范围，即可求出；
（2）由（1）可得，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
(1)解：因为，
所以

，
由的图象关于直线对称，
所以，解得，
又因为，所以当时，.
(2)解：由（1）可得，则将的图像向右平移个单位得到，
即，因为，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上的单调递增区间为和.
6．（2022·山东省郯城第一中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象上的一个最高点.
(1)求函数的解析式；
(2)把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，在上是增函数，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由给定周期求出，根据最高点求得及的值，写出的解析式作答..
（2）由（1）及已知求出的解析式，并求出的单调递增区间，再根据给定区间列不等式组求解作答.
(1)依题意，，周期，解得，
因为函数的图象经过点，则，即，而，于是得，
所以函数的解析式是.
(2)由（1）及已知得：，
由，解得：，
于是得函数的增区间为，因函数在上是增函数，
于是得，，解得，又，
即，解得，又，则，，
所以的取值范围是.
题型四：五点法作图问题
【例1】（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据．
(1)求函数的解析式，并补全表中数据；


















(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【答案】(1)，表格见解析，(2)
【分析】（1）由表格数据可得和最小正周期，由此可得；利用可求得，从而得到解析式；根据五点作图法可补全表格数据；
（2）根据三角函数平移和伸缩变换原则可得解析式，利用代入检验法，根据对称中心坐标可构造方程求得，进而得到最小值.
（1）由表格数据知：，最小正周期，；
，，解得：；
又，，则；
补全表格如下：


















（2）由题意得：，
是的一个对称中心，，解得：；
又，.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．

0











0
5


0
(1)请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；
(2)若，求函数图象的对称中心及对称轴；
(3)若，求函数的单调区间．
【答案】(1)表格见解析，
(2)，，，
(3)增区间为，，减区间为，
【分析】（1）根据表格中的数据，可得方程组，可得答案；
（2）利用整体思想，去求解正弦型函数的单调性和对称轴及对称中心；
（3）根据三角函数的平移，可得函数解析式，再利用整体思想，可得答案.
（1）根据表中已知数据可得．
由得，所以．
数据补全如下表：

0











0
5
0

0

（2）．由，，得，，所以图象的对称中心为，．
由，，得，，
所以图象的对称轴方程为，．
（3）因为，
所以．
由，，得，．
由，，得，．
综上，函数的增区间为，，减区间为，．
【题型专练】
1．（2022·全国·高一单元测试）设，函数的最小正周期为，且．

(1)求和的值；
(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)作图见解析
(3)
【分析】（1）利用最小正周期和解即可；
（2）利用列表，描点画出图像即可；
（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.
（1）∵函数的最小正周期，∴．
∵，
且，∴．
（2）由（1）知，列表如下：

0







0






1
0
－1
0

在上的图像如图所示：

（3）∵，即，∴，
则，即．
∴的取值范围是

2．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x






0





0
1
0
-1
0

0

0

0

(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围？
(3)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上恰有10条对称轴，求的取值范围？
【答案】(1)表和图像见解析，，(2)，(3)
【分析】（1）根据表中已有数据完成表格即可，然后画出函数图像，再根据表格中的数据求出函数解析式即可；
（2）求出函数在区间上的值域，关于x的方程在区间上有解，则的取值范围即为函数在区间上的值域；
（3）根据平移变换和周期变换求出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性列出不等式，从而可得出答案.
(1)解：
x






0





0
1
0
-1
0

0

0

0
画出函数图像如图：

由表得：，则，，则，
将点代入得，所以，
所以；
(2)解：当时，，则，
所以，因为关于x的方程在区间上有解，
所以；
(3)解：将函数的图像向右平移个单位，得到函数，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数，
则，由，得，因为函数在区间上恰有10条对称轴，所以，解得.
题型五：三角函数不等式恒成立问题
【例1】（2022·全国·高一课时练习）设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；
（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.
（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，解得：，
则的解集为.
【例2】（2022·贵州黔东南·高一期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）先化简得出的解析式，由周期公式可得答案
（2）由图像的变换得到变换后的解析式，由题意只需的最小值大于等于即可，求出的最小值即可.
(1)由
所以
所以最小正周期为；
(2)将图像上所有点的横坐标缩短为到原来的，纵坐标不变得，
再向右平移个单位长度得到.
要使恒成立，只需，
只需的最小值大于等于即可，
由，则
. 所以的最小值为，
则，得，
所以实数m的取值范围是..
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象.

（i）若，当时，的值域为，求实数m的取值范围；
（ii）若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2);
【分析】(1)由图象的最小值求得，函数的最小正周期求得，再求得，即可求出函数的解析式；
(2) （i）利用三角函数的平移和伸缩变换，先求出，再由，求出的范围，即可得出的值域为， m的取值范围；
（ii）利用恒成立将不等式转化为对任意的恒成立，设，对其对称轴进行讨论即可得出答案.
(1)根据函数的部分图象可得：，
，又因为，所以，所以
.
(2)由（1）知，，先将函数的图象向右平移个单位长度，可得：，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 .
（i），，，所以 ，所以.
（ii）不等式对任意的恒成立，令，所以，所以上式：不等式对任意的恒成立，令
，对称轴为，
①， ，则，所以.
②，，则，所以.
故实数t的取值范围为：.
【题型专练】
1．（2022·湖南·湘潭一中高一期末）已知函数，.
(1)求函数的最小值；
(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求不等式的解集.
【答案】(1)，(2)，
【分析】（1）用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最值．
（2）利用函数伸缩变换后的表达式解三角不等式．
(1)，
所以当时，取得最小值.
(2)由已知可得，∴，
∴，
∴的解集为，.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据题意得到，求得，结合，即可求解；
（2）根据，求得，根据，求得，结合题意，得到，即可求解.
（1）解：因为函数图象的一个对称中心为，
可得，解得，
又因为，解得，所以.
（2）解：由，可得，
所以，即，
由，可得，所以，
所以，
因为对任意的，均有，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
3．（2022·北京延庆·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间和图像的对称中心；
(2)当时，求的值域；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)函数的单调递增区间为，函数图像的对称中心为；(2)；(3).
【分析】（1）利用三角函数变换可得，然后利用正弦函数的性质即得；
（2）利用正弦函数的图象及性质即得；
（3）由题可得，然后利用正弦函数的图象及性质即得.
(1)∵，
由，可得，
由，可得，
∴函数的单调递增区间为，函数图像的对称中心为；
(2)当时，，
∴，
即函数的值域为；
(3)由，可得，
∴，即，
∴不等式的解集为.
4．（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）请从“①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③对任意实数，恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，且______．
(1)求的解析式
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由已知得函数的最小正值周期为,由此求得.
若选①：得，继而有，求解即可得，求得的解析式；
若选②：得，继而有，求解即可得，求得的解析式；
若选③：得，继而有，求解即可得，求得的解析式；
（2）根据图象的平移得的图象，由已知得，从而根据正弦函数的性质可求得答案.
(1)解：因为函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，
所以函数的最小正值周期为∶,故.
若选①：函数的图象关于直线对称，
则，所以，解得，
由于，所以，
故；
若选②：函数的图象关于点对称，则，所以，整理得，
由于，所以，
故；
若选③：对任意实数，恒成立，则，所以，整理得，
由于，所以，
故；
(2)解：将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
由，得，所以，
所以.
5．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数，．
(1)求函数的最小正周期以及函数在区间上的最大值和最小值；
(2)将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；最大值为，最小值；(2).
【分析】（1）由题可得，再利用正弦函数的性质即求；
（2）由题可得，利用正弦函数的性质可知在上单调递增，进而可得，即得.
(1)∵，，
∴
，
∴函数的最小正周期为，
当时，，，
∴，
故函数在区间上的最大值为，最小值；
(2)由题可得，
由，可得，故在上单调递增，
又，，
由可得，
，解得，
∴实数的取值范围为.
题型六：三角函数零点根的个数问题
【例1】（2022·陕西西安·高一期末）已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度后，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据三角函数的性质可知，，再结合，即可解出；
（2）由（1）知，，根据三角变换法则可得，原方程在有两个不同的根，等价于函数与的图象在上有两个交点，即可根据数形结合思想解出．
（1）是偶函数，，，，．
（2）由（1）知，，由题意，，，，即.有两个不同的根，与的图象在上有两个交点，画出在上的图象，如图所示：由图可知，，解得，的取值范围是.
【例2】（2022·重庆八中高一期末）函数的一段图象如下图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象.求直线与函数的图象在内所有交点的横坐标之和.
【答案】(1)，(2)
【分析】(1)由图象可计算得 ；
(2)由题意可求，进而可以求出在给定区间内与已知直线的交点的横坐标，问题得解.
(1)由题图知，，于是，
将的图象向左平移个单位长度，得的图象.
于是
所以，
(2)由题意得
故
由，得
因为，所以
所以或或或，
所以，在给定区间内，所有交点的横坐标之和为.
【例3】（2022·广东梅州·高一期末）已知函数最小正周期为.
(1)求的值：
(2)将函数的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数，若在上至少含有4个零点，求b的最小值.
【答案】(1)1，(2)
【分析】（1）利用平方关系、二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，然后根据周期公式即可求解；
（2）利用三角函数的图象变换求出的解析式，然后借助三角函数的图象即可求解.
(1)解：，
因为函数的最小正周期为，即，所以；
(2)解：由（1）知，由题意，函数，
令，即，因为在上至少含有4个零点，
所以，即，所以的最小值为.
【例4】（2022·河南驻马店·高一期末）已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．
(1)求函数与的解析式；
(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；，(2)
【分析】（1）先化简得到，根据性质求出和得到和．
（2）记，即，.利用换元法，则的值域求解问题等价于，的值域，把原命题“若方程在区间有解”转化为在内有解，即可求得.
(1)由条件则
且的最小正周期为，则
即，将的图像沿轴方向向左平移个单位，
得到函数
且为的一条对称轴，即
由可得
从而可得
．
(2)由（1）可知
记
即，
再记，
，
代入中，则的值域求解问题等价于
，的值域，
当时，；当时，
因此的值域为，也即为
原命题“若方程在区间有解”
即等价于在内有解
只需即可，解得即为所求．
【例5】（2022·全国·高一）已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，已知关于x的方程在上有两个不同的解.
①求实数m的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)，函数的单调递增区间，(2)①；②证明见详解
【分析】（1）由三角恒等变换可得，再由三角函数的性质即可得解；
（2）①由函数图象变换可得，再由三角函数的性质即可得解；
②由三角恒等变换即可得证.
(1)
∴函数的最小正周期
又∵，即
函数的单调递增区间；
(2)①由题意可得且方程在上有两个不同的解，∵，则，∴
结合正弦函数图象可得
②结合正弦函数对称性可得且，
即，，
∴

【例6】（2022·湖北恩施·高一期中）已知函数的最小正周期为．
(1)求f（x）的单调增区间；
(2)将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在[0，b]（）上至少含有2022个零点，求b的最小值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用正余弦的倍角公式，结合辅助角公式化简为标准正弦型三角函数，根据周期求得参数，再求其单调区间即可；
（2）根据函数图像的平移求得的解析式，根据零点个数，即可求得参数的范围.
(1)由题得．
因为f（x）的最小正周期为，所以，则．
令，解得，
所以f（x）的单调增区间为．
(2)将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，
可得到函数的图象，
所以．
令，得，
可得或，
解得或，
所以g（x）在每个周期上恰有2个零点，若在[0，上至少含有2022个零点，
则b不小于第2022个零点的横坐标即可，即b的最小值为．
【例7】已知函数
（1）当时，求的单增区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位后得到函数，若关于的方程在上有解，那么当取某一确定值时，方程所有解的和记为，求所有可能值及相应的取值范围.
【答案】（1）单增区间为，；（2）答案见解析.
【分析】
（1）首先利用两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，辅助角公式将化简，再利用正弦的单调区间即可求解；
（2）首先求出的解析式，再作出，的图象，数形结合即可求出取某一确定值时方程的根的情况，分情况讨论即可求解.
详解】（1）
=
则由，可得，
因为，所以时，；时，
所以的单增区间为，.
（2）由题意可得
故，图象如下：

由图可知，当时，有三个解：，
此时；
当时，有两个解：，，
此时；
当时，有四个解：，，，，
此时.
【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间
先将解析式化为或的形式，然后将看成一个整体，根据与的单调区间列不等式求解.
【例8】（2022·山东潍坊·高二开学考试）已知数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；
（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；
（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.
（1）由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
故
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.
再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图象.
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即，   
其中，
即
解得
所以.
综上，
【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；



【题型专练】
1．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．


(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由图象结合五点法求出函数解析式；
（2）由三角函数图象变换得，换元后结合在上的图象可得参数范围．
（1）根据图象，可得，，∴∴，将代入f（x），得，即，，又，∴，∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，由题得，∵在[0，]上有两个不同的实数解，∴在[0，]上有两个不同的实数解．∵，令，∴，则需直线与的图象在有两个不同的公共点．画出在时的简图如下：∴实数m的取值范围是．
2．（2022·福建福州·高一期末）已知函数为奇函数，且当时，.
(1)求f（x）的解析式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值.
【答案】(1)，(2)，
【分析】（1）由求出最小正周期，求出，，根据为奇函数求出，求出的解析式；
（2）求出，得到，换元后结合函数图象得到，利用函数对称性得到，从而得到的值.
(1)

因为时，
∴，
∴，
又为奇函数，
∴，即，
∵，∴，
∴，
(2)由题意可得，，
令，则，
∵，∴，
令，则
函数在上的图象如下图所示，

由图可知，与共有5个交点，
∴在上共有5个根，即，
∵
∴
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由函数图像求出、，再根据周期求出，最后根据函数过点，求出，即可得到函数解析式；
（2）根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围，由正弦函数的性质取出函数的值域，即可求出参数的取值范围.
(1)解：由图可得：，，又，，，
，又因为过点，
，，
，，解得，，
又，，
.
(2)解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，
最后将图象上的每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变）得到，
即，
因为，所以，所以，
则，
因为方程在上有实数根，即与在上有交点，
所以.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有2个不同实数解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)4；(2).
【分析】（1）求出函数在上的最大、最小值，再利用恒成立的不等式求解作答.
（2）根据给定变换求出函数，再探讨在上的性质，结合图象求解作答.
(1)当时，，则当，即时，，
当，即时，，
，于是得，，
依题意，任意，，因此有，
所以整数m的最大值是4.
(2)依题意，，则，
当时，，当，即时，
函数在上单调递增，函数值从递增到1，
当，即时，函数在上单调递减，函数值从1递减到，如图，

方程在上有2个不同实数解，等价于函数在上的图象与直线有两个公共点，
观察图象知，当时，函数在上的图象与直线有两个公共点，
所以实数k的取值范围是.
【点睛】易错点睛：由的图象，利用图象变换作函数(A>0，>0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式．
(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个长度单位，得到函数的图象关于y轴对称，求的最小值．
(3)设函数在区间上有两个不同的零点，求．
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（1）根据图像性质求解即可；
（2）由题知，再结合正弦函数的对称性求得，再结合范围求得答案；
（3）将问题转化为在区间上有两个不同的根，再结合正弦型函数图象求解即可.
(1)解：根据函数图象可得：，，可得，∴．
又图象过点，∴，解得，．
由，∴，∴．
(2)解：的图象关于y轴对称，
∴，∴，∴
∵，
∴时最小值为．
(3)解：因为函数在区间上有两个不同的零点，
所以在区间上有两个不同的根，即在区间上有两个不同的根
∵，∴，
∴，即，单调递增，
，即，单调递减，
因为，
所以，当时，在区间上有两个不同的根，且
所以，
6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知函数.
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且）上恰好有10个零点，求的最小值；
【答案】(1)或，(2)
【分析】（1）分析已知可得周期，然后可得，然后由正弦函数对称性可得；
（2）由平移变换和零点可得解析式，考察的零点可得的最小值.
(1)∵的最小正周期为，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
当时，，
由，
的对称中心为；
当时，，
由，
的对称中心为；
综上所述，的对称中心为或.
(2)∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
∴.
又∵是的一个零点，
，即，
∴或，，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，则
即或，，解得或，；
若函数在（）上恰好有10个零点，故
要使最小，须m､n恰好为的零点，故.
7．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数．
(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围．
（参考公式：．）
【答案】(1)4，(2)
【分析】（1）通过，得，再根据不等式恒成立建立不等式可求解；
（2）先通过变换得，再通过换元转化为二次方程有解问题，最后通过分离及函数的单调性可求解.
(1)因为，所以，所以，
所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，
所以．
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，
所以整数m的最大值为4．
(2)由题意知，，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得，
再向右平移个单位得，
因为关于x的方程在区间上有解，
整理得：，
即（*）在区间上有解，
令，
由
从而（*）式可转化为：在内有解，
所以，，又因为和在为增函数，
所以在为增函数，所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值，所以，
综上所述：k的取值范围为．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像关于直线对称，且在区间上单调递增；
(1)求解析式．
(2)若，将函数的图象所有的点向右平移个单位长度，再把所得图像上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象；若在上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)或，(2)
【分析】（1）根据对称轴与单调性求解
（2）根据三角函数图象变换得到解析式，结合范围求解取值，有两个取值时对应的取值范围
(1)图像关于直线对称，且在区间上单调递增；
，即，
，则有，又，则或．
时，，，所以，则
时，，所以，则；
综上，或
(2)，
则，
，，，，
作出图像如图所示，可知

9．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）已知函数．
(1)将函数形式化简为的形式，写出其振幅、初相与最小正周期；
(2)求函数的最小值与此时所有的取值；
(3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，如果在区间上至少有100个最大值，那么求的取值范围．
【答案】(1)；振幅为2，初相，最小正周期.
(2)；
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简后直接由定义求振幅、初相与最小正周期；
（2）直接令求最小值；
（3）先平移变换后，求出在轴左右两侧的第50个最大值点，列出不等式即可.
(1)，振幅为2，初相，最小正周期.
(2)由，可得当时，取得最小值，此时.
(3)向右移动个单位得到，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到，，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，故，解得，所以.
10．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；
（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；
②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.
(1)解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)解①：由已知得，当时，，
所以，所以，所以，
所以函数的值域为；
②当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，

由图象得有三个不同的实数根，则，，
所以，即，
所以，所以，
故.
题型七：三角函数的应用性问题
【例1】（2022·全国·高一课时练习）某旅游景区每年都会接待大批游客，为了控制经营成本，减少浪费，某酒店计划适时调整投入．为此他们统计了历年中每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征，并且具有以下规律：①每年相同的月份，入住酒店的游客人数基本相同；②入住酒店的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住酒店的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多．
(1)函数模型和中用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数与月份之间的关系更合适，为什么?并求出的解析式；
(2)在（1）中选择的基础上，试确定酒店在哪几个月份要准备至少400份（每人一份）食物．
【答案】(1)选择合适，理由见解析，
(2)酒店在6，7，8，9，10月份要准备至少400份（每人一份）食物.
【分析】（1）根据题意选择第一个函数模型，利用三角函数的图像性质，分别求出A，，，和B即可.
（2）根据函数特点，利用正弦函数的单调性即可求解.
（1）
因为入住酒店的游客人数呈周期性变化，且在第一季度内有对称性特征，
所以选择合适，
根据①可知这个函数的周期是12，即，故．
由②可知最小，最大，且，故该函数的振幅为200，
由③可知在上是增函数，且，所以，
所以解得
因为当时，的值最小，
所以，可得，，由，得．
所以入住酒店的游客人数与月份之间的函数关系式为.
（2）
令，
化简得，
所以，，
即，，
所以可取的值有6，7，8，9，10，
即酒店在6，7，8，9，10月份要准备至少400份（每人一份）食物．
【例2】（2022·江苏省如皋中学高一期末）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．

(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【答案】(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.

(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设，再求解析式即可；
（2）令，解得，，进而当时，P第一次到达最高点，求得对应值即可.
（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，，∵，∴，∴，∵时，，∴，∴，∵，∴，∴.
（2）解：令，得，∴，，∴，，∴当时，P第一次到达最高点，∴点P第一次到达最高点大约要.
【例4】（2022·广西桂林·高一期末）某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：

0
3
6
9
12
15
18
21
24

10
13
9.9
7
10
13
9.9
7
10
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
【答案】(1)函数模型更好，函数解析式为
(2)当与时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h.
【分析】(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型更好，再由图像点坐标代入函数，求出函数解析式为
(2) 根据题意已知可求出水深范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.
(1)函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像.
从拟合曲线可知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，
函数的最小正周期为12，因此.
又当时，；当时，
，
所求函数的表达式为
(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令,
可得

取 ，则 ；取，则；
取时，（不符合题意，舍去).
当与时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.
【例5】（2022·浙江省杭州学军中学高二开学考试）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
【答案】(1)，(2)，(3)最大值为米
【分析】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.
对于小问2，令，解出即得答案.
对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，
写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.
(1)由题意，（其中）
摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，得，又函数周期为分钟，所以，
，又，
所以，又，所以，
所以.
(2)，
所以，整理，因为，所以，
所以,解得（分钟）.
(3)经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差

当或时，即或分钟时，取最大值为米.
【题型专练】
1．（2022·江苏苏州·高一期中）某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下：
t（时）
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

9.5
12.5
14
12.5
9.5
8.0
9.5
12.5
14.0
12.5
9.5
8.0
9.5
经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象.
(1)根据以上数据，求出函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
【答案】(1)，(2)16小时
【分析】（1）根据表中数据可判断出周期以及最值，即可代入求解；（2）假设能滞留的的情形，进而根据正弦型不等式求解范围，即可求解.
(1)由题设的数据可得，故，，
周期，故，故，
因为时，所以，，
因为，所以，
.
(2)令，则，得.
所以，，即，
因为，所以故或，
故船舶至多能在港内停留16小时.
2．（2022·全国·高一）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)当时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
【答案】(1)，(2)或，(3)
【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式，再令代入计算可得；
（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；
(1)解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，
则，，所以，依题意，所以，
当时，所以，故，所以，
即当时，求1号座舱与地面的距离为；
(2)解：令，即，所以，又，所以，
所以或，解得或，
即或时1号座舱与地面的距离为17米；
(3)解：依题意，，
所以




令，解，
所以当时取得最大值，
依题意可得
3．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天（24小时）之内呈周期性变化，且符合函数，其中为水深（单位：米）t为时间（单位：小时）.研究小组绘制了水深图，部分信息如下：

(1)求解析式
(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底距离），问：
（i）该船满载时一天之内何时能进出港口？
（ii）该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港;为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，问最迟在几点之前离港才能确保安全？
【答案】(1)
(2)（i）该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口；（ii）最多滞留到五点半可确保安全离港
【分析】（1）由图象求出A，k，由最小正周期求出，进而利用特殊点求出，从而求出解析式；（2）由题意列出正弦不等式，解不等式，得到答案.
(1)由题意得：A=，，
当x=2时最大，，又；
(2)（i）由题意得：得：
∴，解得：∵
∴或或，
答：该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口；
（ii）空载时水深至少要4米，由得： 又或或，因为6-0.5=5.5，所以最多滞留到五点半可确保安全离港.
4．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知表示电流强度与安培时间的函数关系式﹒

(1)若电流强度与时间的函数关系图象如图所示，试根据图象写出的解析式；
(2)为了使中任意一段秒的时间内电流强度能同时取得最大值A与最小值，那么正整数的最小值是多少？
(3)在(1)中其他条件不变的情况下，当秒时的电流强度应为多少？
【答案】(1)；(2)629；(3)安培.
【分析】(1)根据图像最高点可知A，根据周期可知ω，根据最高点坐标可知φ；
(2)根据正弦函数的周期即可求解；
(3)将t＝10代入即可求得I的值.
(1)由图知，，，，
，由图可知是该函数图象的第一个最高点，
∴，
．
(2)问题等价于，即，
．正整数的最小值为．
(3)由(1)可得，将秒代入可得，安培．
5．（2022·河南·高一阶段练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用来刻画．
t
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
y


10.3
20.0
10.3




(1)试确定位移关于时间的函数关系式；
(2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）
【答案】(1)，(2)弹簧振子的位移是，路程为
【分析】（1）根据最值确定，由周期求，代入一个最高点或最低点坐标求出；
（2）经过秒，该弹簧振子的位移即为时的函数值，而计算该弹簧振子经过的路程则要先计算周期，再乘以一个周期弹簧振子经过的路程.
(1)由数据表可知，．振子的周期为0.60s，所以，解得．
所以，因为时，．所以，，，
因为，所以．所以位移y关于时间t的函数解析式为．
(2)当时，
，
所以该弹簧振子的位移是10mm．
因为10秒内，该弹簧振子经过了个周期，
所以该弹簧振子经过的路程为．
6．（2022·湖北·高一期中）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）.

(1)求这一天6~14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的解析式；
(3)预测当天12时的温度（，结果保留整数）.
【答案】(1)20℃；(2)()；(3)27℃.
【分析】（1）观察图象求出函数的最大、最小值即可计算作答；
（2）根据给定图象求出解析式中相关参数，即可代入作答；
（3）求出当时的y值作答.
(1)观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃，
所以这一天6~14时的最大温差为20℃.
(2)观察图象，由解得：，周期，，即，则，
而当时，，则，又，有，
所以这段曲线的解析式为：，.
(3)由（2）知，当时，，
预测当天12时的温度为27℃.