2023-2024学年高一上学期第一次月考测试试题（范围：第一、二章）-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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高一上学期第一次月考测试试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·高一课时练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据集合中元素的互异性即可确定元素的个数.
【详解】解：由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留，
所以有5个元素．
故选：C
2．（2021·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
因此，.
故选：C.
3．（2022·全国·高一课时练习）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.
【详解】解：为假命题,为真命题，可得，
又为真命题，可得，所以，
故选：B.
4．（2022·北京·临川学校高二期中（文））集合，集合，全集为，则图中阴影部分表示的集合是（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合，则图中阴影部分表示的集合是，代入即可求出答案.
【详解】因为，，
图中阴影部分表示的集合是.
故选：B.
5．（2022·全国·高一单元测试）“”是“，是假命题”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出“，是假命题”的参数的范围（可通过其否定是真命题求解），然后判断充分必要条件．
【详解】由命题“，”是假命题，可得命题“，”是真命题，
即，解得.又“”是“”的充分不必要条件，
所以“”是“，是假命题”的充分不必要条件.
故选：A．
6．（2022·全国·高一课时练习）若不等式的解集为，则不等式的解集是（       ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而将不等式转化为，再解不等式即可.
【详解】解：由，整理得 ①．
又不等式的解集为，
所以，且，即②．
将①两边同除以得：③．
将②代入③得：，解得．
故选：A
7．（2021·广东·普宁市普师高级中学高一期中）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据条件求解出，然后根据不等式恒成立得到，由此求解出的取值范围.
【详解】，，即
即，解得：或（舍去）
即，当且仅当时，等号成立，所以，
因为不等式恒成立，，
即，解得：，
所以实数的取值范围是
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数，且，则 的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将变为，即可得，因此将变为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为正实数，，故，
所以，
故，
当且仅当时取得等号，
故选：C
二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2022·全国·高一课时练习）下列选项中的两个集合相等的是（       ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【分析】首先判断两集合的元素特征，即可判断.
【详解】解：对于A：，，集合与均为偶数集，故，即A正确．
对于B：，
，故，即B错误；
对于C：，当为偶数时，，
当为奇数时，，即，所以，故C正确；
对于D：，为点集，故，即D错误；
故选：AC
10．（2021·江苏·高一期中）“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用判别式求得的取值范围，从而确定正确选项.
【详解】关于x的不等式对恒成立，
则，即，
因此BD是必要不充分条件．
故选：BD
11．（2022·山东日照·高二期末）下列说法正确的是（       ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
【答案】BC
【分析】对A，根据全称命题的否定判断即可
对B，根据基本不等式求解即可；
对C，根据二次不等式根与系数的关系求解即可；
对D，根据分式不等式求解判断即可
【详解】对A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
对B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对C，由不等式的解集为，可知，，∴，，，故C正确；
对D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D错误.
故选：BC
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则（       ）
A．xy的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
【答案】BD
【分析】利用基本不等式判断选项A，利用基本不等式判断选项B，利用拼凑法和基本不等式的应用判断选项C、D.
【详解】因为，，所以，所以，
解得，即，则A错误.
因为，，所以，所以，
即，解得，当且时等号成立，
又由，所以的取值范围是，则B正确.
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.
，
当且仅当即时等号成立，则D正确.
故选：BD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·安徽·亳州二中高二期末）设集合，则集合的子集个数为________.
【答案】8##8个
【分析】根据集合中的，确定中的元素，根据元素的个数求子集的个数.
【详解】由，可得，因为，则或或；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
所以，集合含有3个元素，则集合的子集个数为个.
14．（2022·河北·石家庄二中高二期中）已知命题p：，命题q：，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可得：命题p：，命题q： ，若命题p是命题q的充分不必要条件，则命题p所表示得集合是命题q所表示集合的真子集．
【详解】∵则，
则，
若命题p是命题q的充分不必要条件，则可得：(等号不能同时成立)，可得：．
故答案为：．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
【答案】
【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
16．（2022·全国·高一课时练习）若，，，则当______时，取得最小值．
【答案】
【分析】由题知，进而分和两种情况，结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，，所以，即．
当时，，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；
当时，，
当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．
综上所述，当时，取得最小值．
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中含有两个元素，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)且．

【分析】（1）分和两种情况求解，
（2）根据题意可得，且，从而可求出实数a的取值范围．
（1）
当时，，符合题意；
当时，，得．
综上，或．
（2）
集合A中含有两个元素，即关于x的方程有两个不相等的实数根，
所以，且，解得且，
所以实数a的取值范围为且．
18．（2022·新疆喀什·高一期末）设全集U是实数集，集合，集合.
(1)求集合A，集合B；
(2)求.
【答案】(1)，；
(2)，.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出集合A，根据分式不等式解出结合B；
（2）由交集、并集的概念和运算即可得出结果.
(1)
由题意知，
，
且
(2)
由（1）知，，，
所以，
.
19．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知集合：；集合（m为常数）．
(1)定义且，当时，求；
(2)设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)求出集合A，B再由定义求A-B即可；
(2)由题意可解得，又由因为若p是q成立的必要不充分条件，得，求解即可.
(1)
解：因为，若，即时，即，解得；若，则，无解，所以的解集为．
故．由可得 即，解得，
故，
则．
(2)
由，即，
解得．
因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以或，
解得，
故m的取值范围为．
20．（2022·全国·高一课时练习）（1）设，求的最大值；
（2）已知，，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；
（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
（2）因为，，所以，．
又，所以，



当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
21．（2022·湖南常德·高一期末）已知二次函数（为实数）
(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；
(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；
(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．
【答案】(1)
(2)1
(3)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.
（2）根据二次函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解.
（3）取得，根据判别式小于0可得，进而可得的关系，根据基本不等式即可求解
（1）依题意知，，且方程的两根为1，2由根与系数间的关系得，则．故不等式解得：，即原不等式的解集为．
（2）因为时，恒成立，故得，那，即，所以（当且仅当时等号成立）
（3）令，则，所以．对任意，恒成立，所以恒成立．所以且所以，此时，因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）验证，成立故ab的最大值为．
22．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.
(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.
(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
(3)求.
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)存在，；
(3)

【分析】（1）根据理想集的定义，分3元子集、4元子集分别说明判断作答.
（2）根据理想集的定义，结合（1）中信息，说明判断5元子集，6元子集作答.
（3）根据理想集的定义，结合（1）（2）中信息，判断的所有6元子集都符合理想集的定义作答.
(1)
解：依题意，要为理想集，，
当时，，显然，有，而不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，
而，在中任取3个数，有4种结果，；；；，它们都不符合理想集定义，
所以当时，不存在理想集.
(2)
解：当时，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定义，
5元子集，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有与两种，但这3数和不为偶数，
即存在5元子集不符合理想集定义，
而的6元子集是，是偶数，是偶数，
即的6元子集符合理想集定义，是理想集，
所以当时，存在理想子集，满足条件的可分别为或，
即.
(3)
解：当时，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，
要为理想集，，显然符合理想集的定义，满足条件的分别为或，
的6元子集中含有的共有个，这10个集合都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为，
显然有为偶数，即的6元子集中含有不含6的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含5的有5个，它们是，，
它们对应的可依次为：；；；；，
即的6元子集中含有不含5的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含3的有5个，它们是，，
它们对应的可依次为：；；；；，
即的6元子集中含有不含3的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有之一的有3个，它们是，对应的可依次为：；；，
即的6元子集中含有之一的3个都符合理想集的定义，
因此，的所有个6元子集都符合理想集的定义，是理想集，
的7元子集有个，其中含有的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含的有3个，
它们是，对应的可依次为：；；，
即的所有8个7元子集都符合理想集的定义，是理想集，
的8元子集是，对应的可以为：，因此，是理想集，
因此，的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，所以，
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.