湖北省黄石市黄石港区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份湖北省黄石市黄石港区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省黄石市黄石港区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列各数中，无理数是　　
A．3.14 B． C． D．
2．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列每对数值中，是方程的解的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）（2023春•潢川县期末）在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是　　
A．全面调查适用于所有的调查
B．为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
4．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，图中与是同位角的是　　

A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
5．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列说法错误的是　　
A．由，可得 B．由，可得
C．由，可得 D．由，可得
6．（3分）（2023春•黄石港区期末）长32米的绳子，做成以下四种图案，以下四种设计方案中，设计不合理的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2023春•黄石港区期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，根据题意，可列方程组为　　
A． B．
C． D．
8．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列语句正确的是　　
A．平行于轴的直线上所有点的横坐标都相同
B．点与点之间的距离为2
C．若点在轴上，则
D．若点，则到轴的距离为3
9．（3分）（2023春•黄石港区期末）以下四种沿折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是　　

A．如图，展开后测得
B．如图，展开后测得且
C．如图，测得
D．如图，测得
10．（3分）（2023春•黄石港区期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是（　　）

A．123 B．124 C．125 D．126
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11．（3分）（2023春•黄石港区期末）计算：　　．
12．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，在直线外取一点，经过点作的平行线，这种画法的依据是　　．

13．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，，，于，则的度数是　　度．

14．（3分）（2023春•潢川县期末）在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点；若将点向上平移可得到点，则点的坐标是　　．
15．（3分）（2023春•黄石港区期末）已知，为实数，且，则的绝对值为　　．
16．（3分）（2023春•黄石港区期末）已知关于的不等式组的所有整数解的和为，的取值范围是　　．
17．（3分）（2023春•黄石港区期末）已知关于和的方程组的解是，则关于和的方程组的解是　　．
18．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将纸片沿翻折，点，分别落在点，处，下列结论：
①；
②若的度数比大，则的度数为；
③；
④．
其中一定正确的有　　（填序号即可）．

三、计算题（本大题共7小题，共62.0分）
19．（16分）（2023春•黄石港区期末）计算：
（1）解下列二元一次方程组：
①；
②；
（2）解下列一元一次不等式（组
①；
②．
20．（7分）（2023春•黄石港区期末）如图，，．
（1）判断与的位置关系，并证明；
（2）若平分，于点，，求的度数．

21．（7分）（2023春•黄石港区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形，其中点、、分别与点、、对应．
（1）画出平移后的移后的三角形；
（2）直接写出的坐标；
（3）若点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为1，求点的坐标．

22．（6分）（2023春•黄石港区期末）为了满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，某校准备开展形式多样的特色课程．为了了解学生对部分课程的喜爱程度，学校对该校部分学生进行了一次“你最喜爱的特色课程”的问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一项），并将调查结果绘制成了两幅统计图（不完整）；

请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）此次被调查的学生共有　　人；
（2）请将上面统计图1补充完整并在图上标出数据；
（3）统计图2中，　　；“综合类”部分扇形的圆心角是　　；
（4）若该校共有学生1200人，根据调查结果估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有　　人．
23．（8分）（2019•海拉尔区模拟）国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买型和型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：

型
型
价格（万元台）


年载客量万人次
60
100
若购买型环保公交车1辆，型环保公交车2辆，共需400万元；若购买型环保公交车2辆，型环保公交车1辆，共需350万元．
（1）求、的值；
（2）如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
24．（8分）（2023春•黄石港区期末）已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
25．（10分）（2023春•黄石港区期末）已知射线射线于点，点，分别在射线，上，过点，作射线，，使，如图1所示．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，已知的角平分线与的角平分线相交于点．①当时，则　　；
②当时，的大小是否保持不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出的度数．
（3）当沿射线平移且时，请直接写出的角平分线与的角平分线所在直线相交形成的的度数．



2022-2023学年湖北省黄石市黄石港区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列各数中，无理数是　　
A．3.14 B． C． D．
【答案】
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：3.14是分数，它是有理数，则不符合题意；
是分数，它是有理数，则不符合题意；
，它是有理数，则不符合题意；
是无限不循环小数，它是无理数，则符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查无理数的识别，熟练掌握实数的相关概念是解题的基础．
2．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列每对数值中，是方程的解的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把解分别代入方程的左右两边，逐一代入验证．
【解答】解：把代入方程，得，解得，故，都错误．
把代入方程，得，解得，故是正确的．
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程的解的概念，理解概念是解题的关键．
3．（3分）（2023春•潢川县期末）在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是　　
A．全面调查适用于所有的调查
B．为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
【答案】
【分析】根据全面调查的特点判断与；根据样本容量的定义判断；根据样本具有的特点判断．
【解答】解：、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，符合题意；
、为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为100，故本选项说法错误，不符合题意；
、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员的身高普遍较高，这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了用样本估计总体，全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是解题的关键．
4．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，图中与是同位角的是　　

A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【分析】根据同位角的定义作答．
【解答】解：（1）（2）（4）中，与是同位角；图（3）中，与不是同位角，因为这两个角的边所在的直线没有一条公共边．
故选：．
【点评】两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．
5．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列说法错误的是　　
A．由，可得 B．由，可得
C．由，可得 D．由，可得
【答案】
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：．由，可得，结论正确，故本选项不符合题意；
．由，可得，结论正确，故本选项不符合题意；
．由，可得，原结论错误，故本选项符合题意；
．由，可得，结论正确，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）（2023春•黄石港区期末）长32米的绳子，做成以下四种图案，以下四种设计方案中，设计不合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质以及矩形的周长公式分别求出各图形的周长即可得解．
【解答】解：A、∵垂线段最短，
∴平行四边形的另一边一定大于6m，
∵2（10+6）＝32m，
∴周长一定大于32m，故符合题意；
B、周长＝2（10+6）＝32m，故不符合题意；
C、周长＝2（10+6）＝32m，故不符合题意；
D、周长＝2（10+6）＝32m，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，平移的性质，根据平移的性质第三个图形、第四个图形的周长相当于矩形的周长是解题的关键．
7．（3分）（2023春•黄石港区期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，根据题意，可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由绳索比竿长5尺，可得①，由将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，可得②．
【解答】解：根据题意得：．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化思想，属于基础题．
8．（3分）（2023春•黄石港区期末）下列语句正确的是　　
A．平行于轴的直线上所有点的横坐标都相同
B．点与点之间的距离为2
C．若点在轴上，则
D．若点，则到轴的距离为3
【答案】
【分析】根据直角坐标系中点的坐标的性质判断．
【解答】解：平行于轴的直线上所有点的纵坐标都相同，选项错误；
点与点之间的距离为2，选项正确；
若点在轴上，则，也有可能为0，选项错误；
若点，则到轴的距离为4，选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了直角坐标与图形性质，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的性质．
9．（3分）（2023春•黄石港区期末）以下四种沿折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是　　

A．如图，展开后测得
B．如图，展开后测得且
C．如图，测得
D．如图，测得
【答案】
【分析】根据平行线的判定定理，逐一进行分析，即可解答．
【解答】解：、，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
、且，由图可知，，
，
（内错角相等，两直线平行），
故正确，不符合题意；
、测得，
与既不是内错角也不是同位角，
不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；
、，根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．
10．（3分）（2023春•黄石港区期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是（　　）

A．123 B．124 C．125 D．126
【答案】C
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然即可解决问题．
【解答】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得：，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵123、124、125、126四个数中只有125是5的倍数，
∴m+n的值可能是125．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11．（3分）（2023春•黄石港区期末）计算：　2　．
【答案】2．
【分析】表示的立方根，表示9的算术平方根．
【解答】解：原式
．
故答案为：2
【点评】本题考查实数的运算，明确平方根与立方根的概念以及熟练掌握开方及开立方运算是解答本题的关键．
12．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，在直线外取一点，经过点作的平行线，这种画法的依据是　同位角相等，两直线平行　．

【答案】同位角相等，两直线平行．
【分析】根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点的直线与平行．
【解答】解：如图，由图形痕迹可得，
则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点的直线与平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．

【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
13．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，，，于，则的度数是　55　度．

【答案】55．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求出，再根据垂直的定义，求出，然后根据，代入数据计算即可得解．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：55．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义的应用，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（3分）（2023春•潢川县期末）在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点；若将点向上平移可得到点，则点的坐标是　　．
【答案】．
【分析】根据平移的规律可以得到其坐标．
【解答】解：将点向左平移可得到点；若将点向上平移可得到点，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变换平移，解题的关键是利用坐标与图形变换的规律解决问题．
15．（3分）（2023春•黄石港区期末）已知，为实数，且，则的绝对值为　　．
【分析】根据非负数的性质，得出，的值，再代入计算即可．
【解答】解：，
，，
，，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．
16．（3分）（2023春•黄石港区期末）已知关于的不等式组的所有整数解的和为，的取值范围是　或．　．
【答案】或．
【分析】解不等式组得出，根据不等式的所有整数解的和为知不等式组的整数解为、、或、、，，0，1，据此可得或，解之即可得出答案．
【解答】解：解不等式，得：，
，
不等式组的解集为，
不等式的所有整数解的和为，
不等式组的整数解为、、，或、、，，0，
则或，
解得或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的能力，并根据不等式组的整数解情况得出关于的不等式组．
17．（3分）（2023春•黄石港区期末）已知关于和的方程组的解是，则关于和的方程组的解是　　．
【答案】．
【分析】将，代入方程组，得，可得，又，故，从而可得，
【解答】解：方程组的解是，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是观察得到关于、的方程组．
18．（3分）（2023春•黄石港区期末）如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将纸片沿翻折，点，分别落在点，处，下列结论：
①；
②若的度数比大，则的度数为；
③；
④．
其中一定正确的有　①③④　（填序号即可）．

【答案】①③④．
【分析】根据矩形的性质可得，从而可得，然后利用折叠的性质可得，即可判断①；根据已知设，则，再利用折叠的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而求出的值，即可判断②；设，根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，，然后进行计算即可判断③；根据折叠的性质可得，再利用③的结论进行计算即可解答．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠得：
，
，
故①正确；
的度数比大，
设，则，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
故②不正确；
设，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
故③正确；
由折叠得：
，
由③可得：，
，
，
，
故④正确；
所以，上列结论，其中一定正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．
三、计算题（本大题共7小题，共62.0分）
19．（16分）（2023春•黄石港区期末）计算：
（1）解下列二元一次方程组：
①；
②；
（2）解下列一元一次不等式（组
①；
②．
【答案】（1）①；
②；
（2）①；
②．
【分析】（1）①利用代入消元法求解即可；
②整理成一般式，再利用加减消元法求解即可；
（2）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；
②分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）①，
①代入②，得：，
解得，
将代入①得：，
则方程组的解为；
②整理成一般式，得：，
①②，得：，
解得，
将代入①，得：，
解得，
所以方程组的解为；
（2）①，
，
，
，
；
②由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（7分）（2023春•黄石港区期末）如图，，．
（1）判断与的位置关系，并证明；
（2）若平分，于点，，求的度数．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）由可得，从而得到，再结合，可得；
（2）由（1）可得，则有，可得，再结合平分，，可求得，则可求的度数．
【解答】解：（1），
证明：，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得，
，
，
，
平分，，
，
由（1）可知，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用．
21．（7分）（2023春•黄石港区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形，其中点、、分别与点、、对应．
（1）画出平移后的移后的三角形；
（2）直接写出的坐标；
（3）若点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为1，求点的坐标．

【答案】（1）见解答；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）（2）利用点平移的坐标变换规得到点、、的坐标，然后描点即可；
（3）设，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．
【解答】解：（1）如图，三角形为所作；

（2）的坐标为；
（3）设，
以、、为顶点的三角形面积为1，
，
解得或，
点坐标为或．
【点评】本题作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．（6分）（2023春•黄石港区期末）为了满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，某校准备开展形式多样的特色课程．为了了解学生对部分课程的喜爱程度，学校对该校部分学生进行了一次“你最喜爱的特色课程”的问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一项），并将调查结果绘制成了两幅统计图（不完整）；

请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）此次被调查的学生共有　200　人；
（2）请将上面统计图1补充完整并在图上标出数据；
（3）统计图2中，　　；“综合类”部分扇形的圆心角是　　；
（4）若该校共有学生1200人，根据调查结果估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有　　人．
【答案】（1）200；
（2）40人，补图见解答；
（3）30，36；
（4）300．
【分析】（1）根据科技类的人数和所占的百分比求出调查的总人数；
（2）先求出艺术类的人数，再补全统计图即可；
（3）用体育类的人数除以总人数，求出，再用乘以“综合类”所占的百分比即可得出圆心角度数；
（4）用该校的总人数乘以喜欢“科技类”特色课程的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）此次被调查的学生共有：（人．
故答案为：200；

（2）艺术类的人数有：（人，补全统计图如下：


（3），即；
“综合类”部分扇形的圆心角是：．
故答案为：30，36；

（4）（人，
答：估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有300人．
故答案为：300．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（8分）（2019•海拉尔区模拟）国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买型和型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：

型
型
价格（万元台）


年载客量万人次
60
100
若购买型环保公交车1辆，型环保公交车2辆，共需400万元；若购买型环保公交车2辆，型环保公交车1辆，共需350万元．
（1）求、的值；
（2）如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【分析】（1）根据“购买型环保公交车1辆，型环保公交车2辆，共需400万元；若购买型环保公交车2辆，型环保公交车1辆，共需350万元”列出二元一次方程组求解可得；
（2）购买型环保公交车辆，则购买型环保公交车辆，根据“总费用不超过1200万元、年载客量总和不少于680万人次”列一元一次不等式组求解可得；
（3）设购车总费用为万元，根据总费用的数量关系得出，再进一步利用一次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得；

（2）设购买型环保公交车辆，则购买型环保公交车辆，
由题意，得，
解得，
为整数，
有三种购车方案
方案一：购买型公交车6辆，购买型公交车4辆；
方案二：购买型公交车7辆，购买型公交车3辆；
方案三：购买型公交车8辆，购买型公交车2辆．

（3）设购车总费用为万元
则，
，且为整数，
时，，
购车总费用最少的方案是购买型公交车8辆，购买型公交车2辆，购车总费用为1100万元．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组和二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系．
24．（8分）（2023春•黄石港区期末）已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
【分析】（1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解．
（2）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值；
（3）当含项为零时，取，代入可得固定的解；
（4）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，确定的值．
【解答】解：（1）方程，，
解得：，
当时，；当时，，
方程的所有正整数解为：，；
（2）由题意得：，解得，
把代入，解得；
（3），
，
当时，，
即固定的解为：，
（4），
①②得：，
，
，
恰为整数，也为整数，
是1的约数，
或，
或．
【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
25．（10分）（2023春•黄石港区期末）已知射线射线于点，点，分别在射线，上，过点，作射线，，使，如图1所示．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，已知的角平分线与的角平分线相交于点．①当时，则　　；
②当时，的大小是否保持不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出的度数．
（3）当沿射线平移且时，请直接写出的角平分线与的角平分线所在直线相交形成的的度数．


【答案】（1），理由见解答过程；
（2）①；
②的大小保持不变，理由见解答过程；
（3）的度数是或．
【分析】（1）过作，可得，而，，即有，故，从而；
（2）①过作，由，得，，而平分，平分，可得，，，，故；
②过作，由，与①类似方法可得，，即得；
（3）分两种情况：当在内部时，由（2）可知，此时；当在外部时，过作，可得．
【解答】解：（1），理由如下：
过作，如图：

，
，，
，
，
；
（2）①过作，如图：

，
，，
平分，平分，
，，
由（1）知，，
，
，，
；
故答案为：；
②的大小保持不变，理由如下：
过作，如图：

，
，，
平分，平分，
，，
由（1）知，，
，
，，
；
（3）当在内部时，如图：

由（2）可知，此时；
当在外部时，过作，如图：

，
设，
，，
平分，平分，
，
．
，
综上所述，的度数是或．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线及角的平移，解题的关键是作平行线，利用平行线性质解决问题．