专题03 立体几何中的动点问题和最值问题练）（高考真题专练）（解析版）

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专题03 立体几何中的动点和最值问题
题型一 立体几何中的动点问题
1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是　　

A．直线直线
B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为
C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为
D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是
【解答】解：对于，，，，、平面，
平面，平面，直线与直线不垂直，故错误；
对于，如图1，取，的中点、，连接、、．
因为，，由三垂线定理得，，所以平面，
所以截正方体所得的截面为，故周长为，故错误；

对于，如图过构造平面与平行，
即到直线的距离的最小值，，故正确；

对于，如图3，取的中点，因为，，
所以平面，故点轨迹为．
在正方形中，当与重合时，最大，当时，最小．所以
因为平面，所以为与平面所成角，
则与平面成角正切的取值范围是，故正确．

故选：．
2．如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是　　

A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线
B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线
C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变
D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大
【解答】解：对任意动点，在平面内只要与平行的直线，即可与平面平行，所以不正确；
对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线，不正确；因为二面角的大小不变是锐角，所以不正确；
当点从运动到的过程中，二面角的大小不变，由二面角的定义可知，命题是真命题，正确；
当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大，不正确；因为是定值，三角形的面积是定值，所以点到平面的距离不变，所以不正确；
故选：．
3．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有　　

A．当点运动时，总成立
B．当向运动时，二面角逐渐变小
C．二面角的最小值为
D．三棱锥的体积为定值
【解答】解：对于，易证平面，所以，同理可证，从而平面，
所以恒成立，正确；
对于，平面即平面，而平面即平面，所以当向运动时，二面角的大小不变，错误；
对于，当点从的中点向点运动时，平面逐渐向底面靠拢，
这个过程中，二面角越来越小，所以二面角的最小值为，正确；
对于，因为，点到平面的距离为，
所以体积为，即体积为定值，正确．
故选：．
4．如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，点是线段上的动点，则　　

A．无论点在线段上如何移动，都有异面直线，的夹角为
B．三棱锥的体积为108
C．直线与所成角的余弦值
D．直线与平面所成最大角的余弦值为
【解答】解：在正方体中，易证面，又平面，所以，所以异面直线，的夹角为，则正确；
，则错误；
在棱上取点，使，连结，，（如图），

则易知为直线与所成角或其补角，可得，，，
则，则直线与所成角的余弦值为，则正确；
由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面，为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，
所以，当点移动到的中点时，最短，如图，

此时最小，最大，此时，则正确．
故选：．
5．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有　　

A．存在点使得异面直线与所成角为
B．存在点使得异面直线与所成角为
C．存在点使得二面角的平面角为
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
【解答】解：对于，连接、，交于，连接，
取点为时，连接，因为、，
所以平面，又因为平面，
所以，所以对；
对于，因为，所以异面直线与所成角就是，
因为，所以错；
对于，因为二面角的平面角为，因为，
所以错；
对于，取中点，连接，过作，交于，交于，连接、，
，，，．
所以对．
故选：．

6．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是　　
A．与一定不垂直
B．二面角的正弦值是
C．的面积是
D．点到平面的距离是常量
【解答】解：对于，当与点重合时，，故选项错误；
对于，由于点是棱上的动点，是棱上的一条线段，所以平面即平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，4，，
所以，平面即平面，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
同理可求得平面的法向量为，设二面角为，
所以，
故，故选项正确；
对于，由于平面，又平面，
所以，所以，所以是的高，
所以，故选项正确；
对于，由于，且平面，平面，所以平面，
又点在上，所以点到平面的距离为常量，故选项正确．
故选：．

7．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则　　

A．平面
B．三棱锥的体积为4
C．存在点，使得
D．线段的长度的取值范围为，
【解答】解：平面平面，平面，平面，故正确；
，故错误；
连接，作交于，连接，
平面，为与平面所成的角，
平面，为与平面所成角．
直线，与平面所成角的大小相等，，
则，
又，，则点在的中垂线上，即点在线段上运动，
当点与点重合时，，故正确；

，为棱上靠近的三等分点，，，则，
，，当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，
最大值为，当点在点处时，线段的线段取得最小值，最小值为，
线段的长度的取值范围为，，故正确．
故选：．
8．已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是　　

A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知为中点，当的和最小时，为的中点
【解答】解：对于选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点，0，、，2，，
设点，2，，平面，则为平面的一个法向量，
且，，，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，选项正确；

对于选项，当与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面，

平面，，四边形是正方形，则，，平面，
平面，，同理可证，
，平面，
易知△是边长为的等边三角形，
其面积为，周长为．
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，选项错误；
对于选项，设平面交棱于点，0，，点，2，，，

平面，平面，，即，得，，0，，
所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，
则，1，，，而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，
，
所以，四边形为等腰梯形，选项正确；
对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，，，
，
所以，点不是棱的中点，选项错误．

故选：．
9．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为　　

A． B． C．2 D．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，3，，，
则，0，，，3，，，0，，
，3，，，，，平面的法向量，1，，
，，解得，
，3，，
与平面所成的角为，
，
当时，取最大值为．此时，
的最大值为：．
故选：．

10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则　　
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【解答】解：对于，当时，，即，所以，
故点在线段上，此时△的周长为，
当点为的中点时，△的周长为，
当点在点处时，△的周长为，
故周长不为定值，故选项错误；

对于，当时，，即，所以，
故点在线段上，
因为平面，
所以直线上的点到平面的距离相等，
又△的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；

对于，当时，取线段，的中点分别为，，连结，
因为，即，所以，
则点在线段上，
当点在处时，，，
又，所以平面，
又平面，所以，即，
同理，当点在处，，故选项错误；

对于，当时，取的中点，的中点，
因为，即，所以，
则点在线的上，
当点在点处时，取的中点，连结，，
因为平面，又平面，所以，
在正方形中，，
又，，平面，
故平面，又平面，所以，
在正方体形中，，
又，，平面，所以平面，
因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点，使得平面，故选项正确．

故选：．
11．如图，已知四边形为直角梯形，为矩形，平面平面，，，，．
（1）若点为中点，求证：平面；
（2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围．

【解答】证明：（1）平面平面，平面平面，
面且，面．
建立空间直角坐标系如图，则
，0，，，1，，，0，，，1，，
，0，，，1，，，，．
，，，
故，．
，，又，，面，
故面；
解：（2）由（1）知，，
设，则，，，
，
设平面的法向量为，
由，取，则，
故平面的一个法向量为．
设与平面所成角为，
．
当时取最大值，当时取最小值．
故与平面所成角的取值范围为，．

12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．
（1）求证：；
（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系，
设，，
则，0，，，2，，，2，，，，，
，2，，，，，
，
．
（2）由（1）得，
，当或时，取得最大值为2，
当时，点与点重合，即，0，，点与点重合，即，2，，
，2，，，0，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
设平面的一个法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则，
二面角的余弦值为．
当时，点与点重合，点与点重合，
同理可得二面角的余弦值为．
综上，当取得最大值时，二面角的余弦值为．


题型二 立体几何中的最值问题
13．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是　　
A．
B．四面体的体积的最大值为
C．棱的长的最小值为
D．四面体的外接球的表面积为
【解答】解：对于，假设，设的中点为，
因为三角形为正三角形，则，
又，，平面，故平面，
又平面，故，
而题中并不能得到，故假设不成立，
所以不垂直，故选项错误；
对于，要使的最大，只需高最大，
故的最大值为，故选项正确；
对于，由选项中可知，此时也最小，
故的最小值为，故选项正确；
对于，设的外心为，为的中点，，
设过与平面垂直的直线为，过作于点，
则外接球球心在上，只需，
又，，
设，由，可得，解得，
所以，
所以四面体的外接球的表面积为，故选项正确．
故选：．

14．已知长方体的高，，，，则当最大时，二面角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：长方体的高，，，，
当最大时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，0，，，，，
，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
平面的法向量，0，，
设二面角的平面角为，结合图形得为钝角，
则．
二面角的余弦值为．
故选：．

15．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点．当平面与底面所成的锐二面角最小时，　　．

【解答】解：以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，0，，，4，，，3，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
平面的一个法向量为，
设平面与底面所成的锐二面角为，
则，
锐二面角越小，则越大，
所以求的最小值，
令，
所以当时，有最小值，此时．
故答案为：．

16．四棱锥的底面是边长为的菱形，面，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：底面是边长为的菱形，，
故，，，
由，
所以，故，，
又，所以，
又平面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
故平面平面；
（2）连接，则由（1）知，平面，
则为直线与平面所成的角，
在中，，
当最小时，即时，取得最大值，此时，
设，则由得，
，解得，
根据题意，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，，，，0，，，
，，
设平面的法向量为，
由，得，
又平面的法向量为，
由，
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．

17．如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值．

【解答】解：依题意可得，，两两垂直，故以为原点建立空间直角坐标系（如图），
，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，
（1），0，，，0，，，，，
，，
，，且，
面．
（2）设，，
，0，，4，，，，
，，0，，
设面的法向量为，，，
由，可取，3，，
则直线与平面所成角正弦值为
，
当时，取得最小值1，此时的值最大为．
即直线与平面所成角正弦的最大值为．

18．如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，，，是上异于，的动点．
（1）证明：平面平面；
（2）设和平面所成角为，求的最大值．

【解答】（1）证明：由题意可知，平面平面，且平面平面，
又，平面，故平面，
又平面，所以，
因为是上异于，的动点，且为直径，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
故平面平面；
（2）解：过点作，交于点，连接，，
由平面平面，且平面平面，
所以平面，
则为与平面所成角，即，
不妨设，，
所以，则由射影定理可得，，
又，
所以，
故，
令，
故，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为．

19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

【解答】（1）证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，

，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，
设，则，0，，
，2，，，1，，
，即．

（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，，
由（1）知，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
，，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小．

20．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：在半圆中，，
正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，
平面，则，
，
平面，
平面，
平面平面．
（2）的面积为定值，
要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，
此时为圆弧的中点，
建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
正方形的边长为2，
，，，，1，，，0，，
则平面的法向量，0，，
设平面的法向量为，，
则，2，，，1，，
由，，
令，
则，，即，0，，
则，，
则面与面所成二面角的正弦值．

21．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为，为上一点且．
（1）证明：；
（2）设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面所成二面角的余弦值的最大值．

【解答】解：（1）证明：四边形为矩形，，
平面，，
，，平面，
平面，
平面，，
，，，平面，
平面，
平面，．
（2）平面，为与平面所成角，
与平面所成角为，，
，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
令，则，0，，，0，，，1，，，0，，
，1，，，，，
设，，是平面的一个法向量，
则，取，得，，，
平面的一个法向量为，0，，
，
，当时，的最大值，
平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为．

22．如图，四边形为直角梯形，其中，，，为腰上的一个动点．为等腰直角三角形，，平面平面．
（1）求证：；
（2）当直线与平面所成角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：为等腰直角三角形，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，；
（2）解：连接，由（1）知平面，
直线与平面成角为，，
当最小时，与平面所成角最大，此时，
过作于，过作于，连接，
则为二面角的平面角，
在上取得，使，连接，则，
在中，由，，可得，
由，可得，
则，，
由，可得，
由，得，即，
，
．