专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题（高考真题专练）（解析版）

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专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆的圆心的轨迹方程是　　．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得
则圆心坐标为，因为，得到，所以消去可得即
故答案为：
2．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．
（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）过作该圆的切线，求的方程．
【解答】解：（1）设动点坐标为，则，，
又知，则，得．
（2）当直线的斜率存在为时，则直线的方程为，与圆相切，
则，得，此时的方程为；
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为与．
3．已知在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之比等于．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）已知点为所求轨迹上任意一点，求的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知：，由点到直线的距离公式，可得：，
化简整理得：，即，
点的轨迹方程，轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；
（2）由（1）可知，为圆上任意一点，
，
由，
，
当时，时，
的最大值18．
4．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心半径为，则有，（1分）
又落在过且垂直于的直线上，（3分）
，解得，，从而（5分）
圆方程为：（6分）
（Ⅱ）设，，，则有，，（8分）
解得，，代入圆方程得：，（10分）
化简得（11分）
表示以为圆心，为半径的圆．（12分）
5．已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为　　（化为标准形式）
【解答】解：设，则
过、作两条互相垂直的直线和的交点，
，
，，，
，
化简整理可得．
故答案为：．
6．已知方程表示一个圆．
（1）求实数的取值范围；
（2）求该圆半径的取值范围；
（3）求圆心的轨迹方程．
【解答】解：（1）方程表示圆，
，

．（5分）
（2）

．（5分）
（3）设圆心坐标为，则，
由①得，代入②消去得，．
，，即轨迹为抛物线的一段，
圆心的轨迹方程为．（5分）
7．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为　　．
【解答】解：设，，线段的中点为．
则，，
端点在圆上运动，
．
线段的中点的轨迹方程是：．
故答案为：．
8．如图，已知矩形四点坐标为，，，．
（1）求对角线所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程．

【解答】解：由两点式可知，对角线所在直线的方程为，
整理得，
设为外接圆的圆心，则为的中点，，，即，
设为外接圆半径，则，，
，
外接圆方程为，
设点坐标，，线段中点坐标为，则，，
，，①，
为外接圆上一点，
，将①代入整理得：，
该轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为
9．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为　　．
【解答】解：如图，取点，连接、．
，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为的长，
，，

故答案为：．

10．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解答】解：设线段中点，，，
由题意知：，，
，，
点在圆上运动，
，
整理，得，
点的轨迹方程是：，表示以为圆心，1为半径的圆．

题型二 最值问题
11．已知实数，满足方程．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
【解答】解：（1）圆，圆心，半径为，
令，即，的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的的值，
，解得，的最大值为，最小值为．
（2）圆，圆心，半径为，
，
，
的最大值是，最小值是．
（3），
的最大值为，最小值为．

12．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：如图示：

半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结，在上且，此时距离最小，
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：．
13．圆为过点，的圆中最小的圆，则圆上的任意一点到原点距离的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：根据题意，圆为过点，的圆中最小的圆，
则圆是以为直径的圆，
则圆心为，半径为，圆的方程为，
且，则到原点距离的最小值为，
故选：．


14．已知实数，满足，则的最大值是　　
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：根据题意，，即，
则有，解可得，
即的最大值是，
故选：．
15．设圆与圆，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，圆，即，其圆的圆心，，
圆，即，其圆的圆心，，
如图所示：
对于直线上的任一点，有，
求的最小值即求的最小值，
即可看作直线上一点到两定点、距离之和的最小值减去7，
由平面几何的知识易知当关于直线对称的点为，
与、共线时，的最小值，其最小值为，
故的最小值为；故选：．

16．已知实数，满足，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设，为参数，，则
，
，
，
，
，
，．
故选：．
17．设是圆上任意一点，则的最大值为　　
A．6 B．25 C．26 D．36
【解答】解：表示圆上的点到点的距离的平方，
圆的圆心，半径为1，
圆心到点的距离为，
的最大值是．
故选：．
18．设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为　　
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：是圆圆，圆即，
由于圆心，半径等上的动点于，
是直线上的动点，则的最小值为，
故选：．
19．已知实数，满足方程，则的最大值为 　　．
【解答】解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
设，即，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，
即，得或，
得或，
则的最大值为，
故答案为：．
20．已知圆，则的最大值与最小值的和为　　
A．5 B．10 C．25 D．100
【解答】解：圆，即，表示圆心，半径为 5．
把转变为到圆上点到原点的距离的平方，
最大值为直径的平方为100，最小值为0，
故的最大值与最小值的和为100，
故选：．
21．已知的顶点坐标为，，．
（1）求边的中垂线所在直线的方程；
（2）试求半径最小的的外接圆的标准方程．
【解答】解：（1）的顶点坐标为，，，
所以的中点为，的斜率为，
所以的中垂线方程为，
整理可得，
所以边的中垂线所在直线的方程为；
（2）又的中点为，的斜率为，
所以的中垂线方程为，即，
联立与，
解得，
所以外接圆的圆心为，，
则半径为，
故当时，半径取得最小值为，此时圆心为，
故半径最小的的外接圆的标准方程为．
22．已知圆，圆，动点在轴上，动点，分别在圆和圆上，则的最小值是　　．
【解答】解：如图所示，

圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标，半径为2，
连接，故，
故的最小值是
故答案为：．


23．已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设点在圆上，求的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点，
中点为斜率为1，
垂直平分线方程为即（2分）
联立，解得，即圆心，
半径（6分）
所求圆方程为（7分）
（Ⅱ），（8分）
圆心到的距离为（9分）
到距离的最大值为（11分）
面积的最大值为（12分）
24．如果圆的方程为，则当圆面积最大时，圆心为　　．
【解答】解：将方程配方，得．
，，此时．
圆心为．
故答案为：．
25．已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．设的外接圆为．
（1）若，求的标准方程；
（2）求面积最小时的值．
【解答】解：（1），
又，，
中点，中点，，
线段的中垂线，
线段的中垂线，
得 即圆心，
而，
的标准方程：．
（2），，
中点，
线段的中垂线，
由（1）知线段的中垂线，
即 即圆心，
半径，
，
而，当且仅当时，等号成立，
，当时，有最小值，此时最小．
26．已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）若为圆上的一动点，求面积的最大值．
【解答】解：（1）设圆的方程为，，
由题意可得，解得，
则圆的方程为即；
（2），的方程：，且，
圆心到直线的距离为，
点到直线的距离的最大值为，
．
故面积的最大值为．
27．已知圆，点与，为圆上动点，当取最大值时点坐标是　，　．
【解答】解：设，则，
的几何意义是到原点的距离，
由已知，圆心，半径为1，到的距离，
的最大值是，
的最大值为，
由直线与圆，可得，
或，
当取最大值时点坐标是，．
故答案为：，．