专题14 圆锥曲线常考题型02——圆锥曲线中的范围、最值问题 （解析版)

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专题14 圆锥曲线中的范围、最值问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题．

对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用

题型一 转化为斜率
由代数式的结构特征联想县其斜率公式，将代数问题转化为斜率问题，利用图形的直见性使问题得到简化．
1．试求函数的最大值、最小值．
【解答】解：设，是椭圆的两条切线，如图所示，

点坐标为,由椭圆的参数方程可得
故的最大值为，的最小值为，
设过与椭圆相切的切线方程为．
由，
消去，得，
由△得，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以．
所以，
所以的最大值的最小值为．

题型二 转化为截距
利用直线在y轴上的截距的直观性，可求有关参数的取值范围，进而得到最值．
2．已知，满足，则的最大值为 　13　，最小值为 　　．
【解答】解：将所给的函数式改写为，则表示直线在轴上的截距，
，满足，
可行域为椭圆的边界及其内部，
画出图形，如图所示，

由图可知，的最大值，最小值在直线与椭圆相切时取得，
联立方程，消去得：，
由△得：，
解得，
的最大值为13，最小值为，
故答案为：13，．

题型三 转化为三角函数
利用椭圆的参数方程(θ为参数)
以及双曲线的参数方程(θ为参数)等，
将椭圆和双曲线上的点的坐标用三角函数表示出来，再利用三角函数知识来求其最值．
3．设、分别是椭圆的左顶点和上顶点，点在上，则点到直线的距离的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的焦点在轴上，
，，可得，．
椭圆的左顶点为，上顶点为，
则所在直线方程为，即．
在椭圆上，设，
到直线的距离
，
点到直线的距离的最大值为．
故选：．

4．过点作椭圆的弦，求这些弦长的最大值.
【解答】设椭圆上任意一点M的坐标为
则


因为a>b>0，所以
①当，即时，取
得
②当，即时，取
得

题型四 利用基本不等式
5．函数的图象恒过定点，若点在双曲线上，则的最大值为　　
A．6 B．4 C．2 D．1
【解答】解：由题意可知，函数的图象恒过定点，
又点在双曲线上，
，
，当且仅当时，即，时，等号成立．
故选：．
6．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的焦距为12，则面积的最大值为　　
A．72 B．36 C．18 D．9
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
的焦距为12，，即，
，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
不妨取，，
面积，当且仅当时，等号成立，
面积的最大值为18．
故选：．
7．设为坐标原点，点，动点在抛物线上，且位于第一象限，是线段的中点，则直线的斜率的取值范围为　　
A．， B． C． D．，
【解答】解：设点的坐标为，，
很明显直线的斜率为正数，
则：，
当且仅当 时等号成立
即直线的斜率的取值范围为，．
故选：．
8．椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且最大值取值范围为，（其中，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意的定义可得：，
再由均值不等式可得：，
的最大值为，
由题意可得可得，解得，
故选：．
9．已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　
A．12 B．10 C．9 D．8
【解答】解：对于函数，且的图象，令，求得，，
可得它的图象恒过定点．
因为点在椭圆，，上，则，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：．
10．抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，为上的动点．则的最小值为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意可得焦点，准线，
过点作准线，

所以，
因为，
所以，
求的最小值等价于求的最大值，
设，
，
所以，，
所以，．
当时，最小值为，
所以最小值为．
故选：．

题型五 构造二次函数
利用解析几何中的代数和识，把问题转化为关于某个变量的二次函数，利用二次函数的有关知识来求最值．
11．抛物线上的点到直线距离的最小值是　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：因为点在抛物线上，设，则点到直线的距离

，当时，．
故选：．
12．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
椭圆，
，
，，，
令，
求导，解得，
在，单调递减，单调递增，
在时最小，即最小值为，
，
．
故选：．
13．已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线于，两点，则的最小值　　
A． B． C． D．
【解答】设的方程为代入，得，
所以，，，
联立；
同理可得，
所以，
令，，
，
当时，，
当时，，
故最小值为，
故选：．
14．已知直线与抛物线交于，两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设，，，，直线方程为．
联立，消去，得，所以．
所以，
因为、中点横坐标为3，所以，
故，又，所以的取值范围，．
故选：．
15．为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为　　
A．3 B．4 C．5 D．9
【解答】解：设，且，则，设直线的方程为，
整理可得：，解得，
设，，，，
则，，
，
因为，所以，
所以可得，
当直线的斜率为0时，则设，，
这时，，，与上面类似，
综上所述：，
故选：．
16．在过动直线（其中与定直线的交点的等轴双曲线系：中，当取何值时，达到最大值与最小值？
【解答】解：由得交点，交点坐标代入双曲线，
，，，当，
又因为，，所以，
所以；
当时，，
故，达到最大值，时，达到最小值．
17．已知抛物线，为轴负半轴上的动点，，为抛物线的切线，，分别为切点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设切线的方程为，代入抛物线方程得，
由直线与抛物线相切可得△，
则，，，，
将点的坐标代入，得，
，，
，，，
则当，即时，的最小值为
故选：．

题型六 利用几何图形的性质
18．已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，点是含抛物线顶点的弧上一点，求的最大面积．
【解答】解：设，，，，所在的直线方程为，将其代入抛物线，
得，
，
，
当过的直线平行于且与抛物线相切时的面积有最大值．
设直线方程为，代入抛物线方程得，
由△，得，这时，
它到的距离为，
的最大面积为．
19．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，，，由平行四边形对角线互相平分可得与，与关于原点对称，
所以可得，，所以，
将，的坐标代入可得相减可得，
可得，
由题意可得：，即，
可得：，解得：，，
故选：．
20．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：代数式可化为，
表示点到点的距离与点到点的距离之差，
又双曲线的左右焦点左右焦点分别为，，
根据双曲线定义可得，
，
是双曲线的右支上的点，
，
故选：．
21．已知点是抛物线上的一个动点，点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：抛物线，抛物线的焦点坐标．
依题点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值，
就是到与到该抛物线准线的距离的和减去1．
由抛物线的定义，可得则点到点的距离与到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，
可得：．
故选：．
22．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于，两点，则线段的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由，可得，则，即，
易知直线过该抛物线的焦点，
因为过焦点的弦中通径最短，所以线段的最小值为，
故选：．
23．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为　　
A． B．9 C． D．4
【解答】解：如图，设的右焦点为，由题意可得，，
因为，所以，．
的周长为，
即当，，三点共线时，的周长最小，此时直线的方程为，
联立方程组，解得或，即此时的纵坐标为，
故的面积为．
故选：．


题型七 利用圆锥曲线的定义
24．已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：由椭圆的方程可得，焦点，
因为在椭圆内部，设右焦点，则，
则，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故选：．
25．已知抛物线的焦点为，设和是上的两点，且是线段的中点，若，则到轴的距离的最小值是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：因为的方程为，所以，
过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，
根据抛物线定义可得：，
则，
所以，线段的中点到的准线的距离最小值为3，
故点到轴的距离最小值为．
故选：．

26．双曲线，已知是坐标原点，是双曲线的斜率为正的渐近线与直线的交点，是双曲线的右焦点，是线段的中点，若是圆上的一点，则的面积的最小值为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：由双曲线的方程知，，
，，，
所以斜率为正的渐近线方程为，与直线的交点的坐标为，
点的坐标为，所以直线的方程为，
，
点是圆的动点，当点到直线的距离最小时的面积的最小，
又点到直线的距离的最小值为，
所以的面积的最小值为．
故选：．
27．已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题可得抛物线焦点，准线方程为，
过点作与准线垂直，交于点，
直线整理得，
联立可得，即该直线过定点，
设，连接，取中点，则，，
若，则在以为直径的圆上，该圆方程为，
又由，得，
如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，
过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点’，
则即为的最小值，
即的最小值为．
故选：．

28．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则，
可得双曲线，
焦点为，，
由双曲线的定义可得，
由圆可得圆心，半径，
，
连接，交双曲线于，圆于，
可得取得最小值，且为，
则的最小值为．
故选：．