2022-2023学年山东省淄博市周村区七（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

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2022-2023学年山东省淄博市周村区七（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列命题中，是假命题的是(    )
A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短
C. 互补的两个角不一定相等 D. 同位角相等
2. 投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，“掷得的点数是奇数”这一事件是(    )
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定事件 D. 随机事件
3. 如果关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为(    )
A. x≥−1 B. x<2 C. −1≤x≤2 D. −1≤x<2
4. 若a>b，则下列不等式中成立的是(    )
A. ac>bc B. ac2>bc2 C. |a|>|b| D. ac2≥bc2
5. 如图，已知∠1=∠2，补充下列条件后还不能使△ABD≌△ACD的是(    )
A. ∠ADB=∠ADC
B. ∠B=∠C
C. DB=DC
D. AB=AC
6. 不等式组3x+7≥22x−9<1的整数解的个数是(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于(    )
A. 90°
B. 180°
C. 360°
D. 270°
8. 小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值：
码数x
26
30
34
42
长度ycm
18
20
22
26
根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为(    )
A. 24cm B. 25cm C. 26cm D. 38cm
9. 如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为(    )

A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
10. 如图，在△ABC中，AC=BC，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且AE=BD.BF=AD，若∠EDF=42°，则∠C的度数为(    )


A. 44° B. 66° C. 96° D. 92°
11. 对有理数x，y定义运算：x※y=ax+by，其中a，b是常数．如果2※(−1)=−4，3※2>1，那么a，b的取值范围是(    )
A. a<−1，b>2 B. a>−1，b<2 C. a<−1，b<2 D. a>−1，b>2
12. 已知关于x、y的方程组x−y=62x+y=6a的解满足不等式x+y A. m=6 B. 2 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
13. 方程kx+3y=5有一组解是x=2y=1，则k=______．
14. 不等式组x<−1x<2的解集是______ ．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC= ______ °.


16. 如图，AB/​/CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB与CD之间，∠EPF=100°，则∠PEB−∠PFC= ______ °.


17. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，已知AB=5，BD=3，则CD的长是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
解方程组：
(1)3x+2y=76x−2y=11；
(2)x+13=2y2(x+1)−y=11．
19. (本小题8.0分)
解不等式(组)：
(1)5(x+3)>4x−1；
(2)x−3(x−2)≥41+2x3>x−1．
20. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)求证：AE=2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．

21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE=BD，AE与BC交于点F．
(1)求证：CE=AD；
(2)当AD=CF时，求证：BD平分∠ABC．





22. (本小题10.0分)
某学校要成立无人机兴趣小组，需要购买A型和B型两种无人机配件．据了解，购买1个A型配件和3个B型配件需要支付530元；购买3个A型配件和2个B型配件需要支付890元．
(1)求购买1个A型配件和1个B型配件各需要支付多少元？
(2)该学校决定购买A型配件和B型配件共30个，总费用不超过4180元，则最多可以购买多少个A型配件？
23. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx−1与直线l2：y=12x+2于点A(m,1)．
(1)求m，k的值；
(2)设直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；
(3)结合图象，直接写出不等式kx−1<12x+2的解集．

24. (本小题12.0分)
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．

(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD=2BF+DE．

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、两点之间，线段最短，是真命题；
C、互补的两个角不一定相等，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是假命题；
故选：D．
根据对顶角、线段公理、补角的概念、平行线的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

2.【答案】D 
【解析】解：投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，“掷得的点数是奇数”这一事件是随机事件，
故选：D．
根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义进行判断即可．
本题考查随机事件，理解随机事件发生的可能性是正确判断的前提．

3.【答案】D 
【解析】解：∵由图形可知：x<2且x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<2．
故选：D．
根据图形可知：x<2且x≥−1，故此可确定出不等式组的解集．
本题主要考查的是在数轴上表示不等式的解集，明确实心原点与空心圆圈的区别是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：当c=0时，
A、因为a>b，所以ac=bc，∴本选项错误；
B、因为a>b，所以ac2=bc2，∴本选项错误；
C、当a=−1，b=−2时，|a|<|b|，∴本选项错误；
D、不论c为何值，c2≥0，∴ac2≥bc2∴本选项正确．
故选D．
当c=0时，根据有理数的乘方，乘法法则即可判断A、B、D，根据两个负数绝对值大的反而小，即可判断C．
本题主要考查对不等式的性质，绝对值，有理数的乘方、乘法等知识点的理解和掌握，能熟练地利用这些性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型．

5.【答案】C 
【解析】解：A、根据ASA可以判断△ABD≌△ACD；
B、根据AAS即可判断△ABD≌△ACD；
C、SSA不可以判断△ABD≌△ACD；
D、根据ASA即可判断△ABD≌△ACD；
故选：C．
根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．

6.【答案】C 
【解析】解：不等式组整理得：x≥−53x<5，
解得：−53≤x<5，
则不等式组的整数解为−1，0，1，2，3，4，共6个，
故选：C．
不等式组两不等式分别求出解集，找出公共部分，即可确定出整数解．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．
根据三角形外角的性质可知∠B+∠A=∠1，∠D+∠E=∠2，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】
解：如图，

∵∠B+∠A=∠1，∠D+∠E=∠2，
∵∠1+∠2+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故选B．
  
8.【答案】A 
【解析】解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，
∵点(26,18)，(30,20)在该函数图象上，
∴26k+b=1830k+b=20，
解得k=0.5b=5，
即y与x的函数解析式为y=0.5x+5，
当x=38时，y=0.5×38+5=24cm，
故选：A．
根据待定系数法先求出函数解析式，然后将x=38代入函数解析式求出相应的y的值，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．

9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=12∠ABC，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABF=∠EBF，∠AFB=∠EFB=90°，
在△ABF和△EBF中，
∠ABF=∠EBFBF=BF∠AFB=∠EFB，
∴△ABF≌△EBF(ASA)，
∴AB=EB，AF=EF，
∴∠BAE=∠BEA，
在△ABD和△EBD中，
AB=EB∠ABD=∠EBDBD=BD
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴DA=DE，∠DAE=∠DEA，
∴∠BAE+∠DAE=∠BEA+∠DEA，
∴∠DEB=∠DAB=180°−35°−50°=95°，
∴∠CDE=∠DEB−∠C=95°−50°=45°，
故选C．  
10.【答案】C 
【解析】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
在△ADE和△BFD中，
AD=BF ∠A=∠B AE=BD ，
∴△ADE≌△BFD(SAS)，
∴∠AED=∠BDF，∠ADE=∠BFD，
∵∠EDF=42°，∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，
∴∠ADE+∠BDF=138°，
∴∠AED+∠BFD=∠ADE+∠BDF=138°，
∴∠CED+∠CFD=180°+180°−(∠AED+∠BFD)=222°，
∴∠C=360°−42°−222°=96°，
故选：C．
利用SAS证明△ADE≌△BFD，根据全等三角形的性质得出∠AED=∠BDF，∠ADE=∠BFD，再根据平角的定义求出∠CED+∠CFD，再根据四边形内角和定理可求∠C的度数．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ADE≌△BFD是解题的关键．

11.【答案】D 
【解析】解：根据题意得：2a−b=−4①，3a+2b>1②
由①得：b=2a+4③
∴3a+2(2a+4)>1，
解得a>−1，
把a>−1代入得，b>2，
∴a>−1，b>2
故选：D．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
此题考查了解一元一次不等式，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义计算即可得到结果．

12.【答案】D 
【解析】解：x−y=6①2x+y=6a②，
①+②得：x=2a+2，
把x=2a+2代入①得：y=2a−4，
∴x+y=4a−2，
∴4a−2 ∴a ∵满足条件的正整数a仅有2个，
∴2 解得：6 故选：D．
首先解关于x，y的方程组，求得x，y的值，代入x+y 考查了一元一次不等式的整数解和解二元一次方程组，方程组的解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

13.【答案】1 
【解析】解：把x=2y=1代入方程kx+3y=5，得
2k+3=5，
解得k=1．
根据二元一次方程解的定义直接把x=2y=1代入方程kx+3y=5，得到2k+3=5，即可求解．
解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程，再求解．

14.【答案】x<−1 
【解析】解：不等式组x<−1x<2的解集是x<−1．
故答案为：x<−1．
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题主要考查了不等式组的解集，掌握确定不等式组的解集的口诀是解答本题的关键．

15.【答案】30 
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=12(180°−∠A)=12×(180°−40°)=70°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70°−40°=30°．
故答案为：30．
根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

16.【答案】80 
【解析】解：如图，过点P作PM/​/AB，

∵AB/​/CD，
∴AB//PM//CD，
∴∠PEB+∠EPM=180°，∠PFC=∠FPM，
∴∠EPM=180°−∠PEB，
∵∠EPF=∠EPM+∠FPM=100°，
∴180°−∠PEB+∠PFC=100°，
∴∠PEB−∠PFC=80°，
故答案为：80．
根据“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”及角的和差求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．

17.【答案】8 
【解析】解：在DC上截取DE=BD=3，连接AE，

∵AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB=AE=5，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠C，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=5，
∴CD=DE+CE=3+5=8，
故答案为：8．
在DC上截取DE=BD=3，连接AE，从而可得AD是BE的垂直平分线，进而可得AB=AE=5，然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠AEB，从而可得∠AEB=2∠C，再利用三角形的外角性质可得∠AEB=∠EAC+∠C，从而可得∠EAC=∠C，进而可得AE=CE=5，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

18.【答案】解：3x+2y=7①6x−2y=11②，
①+②得：9x+18，
解得：x=2，
把x=2代入①得：6+2y=7，
解得：y=12，
故原方程组的解是：x=2y=12；
(2)x+13=2y2(x+1)−y=11，
整理得：x−6y=−1①2x−y=9②，
①×2得：2x−12y=−2③，
②−③得：11y=11，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x−6=−1，
解得：x=5，
故原方程组的解是：x=5y=1． 
【解析】(1)利用加减消元法进行求解即可；
(2)利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

19.【答案】解：(1)5(x+3)>4x−1，
5x+15>4x−1，
x>−16；
(2)x−3(x−2)≥41+2x3>x−1，
解不等式x−3(x−2)≥4得：x≤1，
解不等式1+2x3>x−1得：x<4，
∴不等式组的解集为x≤1． 
【解析】(1)去括号，移向，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集；
(2)分别按照解一元一次不等式的步骤求解不等式，再求两个不等式解集的交集．
本题考查了解一元一次不等式和不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式和不等式组的步骤．

20.【答案】(1)证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°，
在Rt△BEC中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
(2)解：△BCD是等边三角形，
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形． 
【解析】(1)连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可证得结论；
(2)由垂直平分线的性质可求得CD=BD，且∠ABC=60°，可证明△BCD为等边三角形．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

21.【答案】证明：(1)∵EC⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠ACE=∠BAC=90°，
在Rt△CAE与Rt△ABD中，
AE=BD,CA=AB,
∴Rt△CAE≌Rt△ABD(HL)，
∴CE=AD．
(2)设BD与AE交于G点，

由(1)得Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴∠EAC=∠DBA，∠E=∠ADB，
由(1)得CE=AD，
∵AD=CF，
∴CE=CF，
∴∠CFE=∠E，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFB=∠E，
∵∠E=∠ADB，
∴∠AFB=∠ADB，
∵∠AGB=∠EAC+∠ADB，∠AGB=∠DBC+∠AFB，
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠EAC=∠DBA，
∴∠DBA=∠DBC，
∴BD平分∠ABC． 
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
(1)根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；
(2)根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．

22.【答案】解：(1)设购买每个A型配件需要x元，购买每个B型配件需要y元，
依题意，得：x+3y=5303x+2y=890，
解得：x=230y=100，
答：购买每个A型配件需要230元，购买每个B型配件需要100元；
(2)设可以购买m个A型配件，则购买(30−m)个B型配件，
依题意，得：230m+100(30−m)≤4180，
解得：m≤9113，
∵m为正整数，
∴m最大值为9．
答：最多可以购买9个A型配件． 
【解析】(1)设购买每个A型配件需要x元，购买每个B型配件需要y元，根据题意，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设可以购买m个A型配件，则购买(30−m)个B型配件，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4180元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】解：(1)∵直线l2：y=12x+2交于点A(m,1)，
∴1=12m+2，
解得m=−2，
∴A(−2,1)．
∵直线l1：y=kx−1过点A(−2,1)，
∴1=−2k−1，
解得k=−1，
∴直线l1的表达式为y=−x−1；
(2)∵直线l1：y=−x−1，直线l2：y=12x+2，
∴B(0,−1)，C(0,2)，
∴BC=3，
∴S△ABC=12×3×2=3；
(3)观察图象可知，在A点右侧，直线l1落在直线l2下方，
∴不等式kx−1<12x+2的解集是x>−2． 
【解析】(1)先把A(m,1)代入y=12x+2，求出m的值，再把A点坐标代入y=kx−1，求出k，即可得到直线l1的表达式；
(2)先求出B、C两点坐标，再根据三角形的面积个数即可求解；
(3)找出直线l1落在直线l2下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，三角形的面积，一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合思想．

24.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
即△ABC≌△ADE；
(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
(3)延长BF到G，使得FG=FB，

∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，
∴△AFB≌△AFG(SAS)，
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE． 
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据题意和题目中的条件可以找出△BAC≌△DAE的条件；
(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
(3)根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．