初中数学2.2 圆的对称性精品习题

这是一份初中数学2.2 圆的对称性精品习题，共15页。
专题2.4 圆的对称性（垂径定理）（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】垂径定理1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
    2.推论
　　平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
  特别指出：
　(1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
　　
　(2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.【知识点2】垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分线，并且平分弦所对的另一条弧.特别指出：
     在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在  这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【考点一】与圆相关的概念【例1】垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ）A．B．C． D．【答案】C【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．故选：C．【点拨】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【举一返三】【变式1】．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（    ）A．两人说的都对B．小铭说的对，小熹说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式2】如图，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝．当EO＝BE且∠OEC＝45°时，弦BC的长为（　　）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，可知△OEH是等腰直角三角形，设EH＝OH＝a，则OE＝，  BE＝a，利用勾股定理得OB＝，从而解决问题．解：作OH⊥BC于H，连接OB，  ∵∠OEC＝45°，∠OHE＝90°，∴∠OEC＝∠EOH＝45°，∴EH＝OH，设EH＝OH＝a，则OE＝，∵EO＝BE，∴BE＝a，∴BH＝2a，由勾股定理得，OB＝＝OA=，∴a＝1， ∴BH＝2，∵OH⊥BC，∴BC＝2BH＝4，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出BH=2OH是解题的关键．【考点二】垂径定理➼➻求值★★证明【例2】弦心距：圆心到     的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．在直角三角形中，由勾股定理得：         2＋半弦2＝半径2  【答案】     弦     弦心距【分析】由垂径定理和勾股定理求解即可．解：弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）．由题意得：，，在中，由勾股定理得：，即弦心距半弦半径．故答案为：弦，弦心距．  【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．【举一返三】【变式1】如图，已知中，弦，点是弦上一点，，．(1)  求的长；(2)  过点作弦与弦垂直，求证：．【答案】(1)；(2)见分析【分析】（1）过点作于，根据，在直角三角中，求得，勾股定理求得即可求解；（2）过点作于，则，根据已知得出，进而根据角平分线的性质得出，连接，证明，得出，即可得证．（1）解：如图，过点作于，         则，∵，∴，∴；（2）证明：过点作于，∵，            ∴，∵，        ∴，∴，    ∴平分，∵，∴，连接，如图，  在与中，∴，∴∴∴．【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．【变式2】已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．  （1）求证：；（2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．解：证明：（1）连结，∵M、N分别是和的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，，在中，， ，在Rt△OMG和Rt△ONG中，，，∴，;  （2）设OG交MN于E，，∴，∴，即，，在△CMN和△ANM中，，，∵CN∥OG，，，，∴AM∥CN，是平行四边形，，∴四边形ACNM是矩形．【点拨】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．【考点三】垂径定理的推论➼➻求值★★证明【例3】如图，是的弦，根据下列条件填空： （1）如果是的直径，且于点，那么有________，________，________；（2）如果是的直径，且，那么有________，________，________；（3）如果，且，那么有________，________，________． 【答案】（1）    ；（2）    ；（3）是 的直径    【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；（2）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；（3）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．解：（1）∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点E，∴，    ，；（2）AB是⊙O的直径，且CE=DE，∴，    ，；（3）∵AB⊥CD，且CE=DE，∴AB是⊙O的直径，，．【点拨】本题主要考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【举一返三】【变式1】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝＝＝3．【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．【变式2】如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP=5，  ①求过点P的弦的长度m范围；   ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 【答案】（1）见分析；（2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案；②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示：   ∵OP⊥AB，∴AP=BP===12，∴AB=2AP=24，∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有两条，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．【考点四】垂径定理及其推论➼➻应用【例4】如图，已知弓形的弦长AB＝12，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径的长．  【答案】⊙O的半径的长为10．【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AD＝6，由于OD＝r−2，则利用勾股定理得到62＋（r−2）2＝r2，然后解方程即可．解：设⊙O的半径为r，∵CD⊥AB并经过圆心O，∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，OD＝OC﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAD中，62+（r﹣2）2＝r2，解得r＝10，即⊙O的半径的长为10．【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．【举一返三】【变式1】如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米．(1)  求此下水管横截面的半径：(2)  随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】(1)米；(2)米【分析】（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，根据垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，可得米，在中，由勾股定理，即可求解；（2）过点O作于点H，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，∴米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，∴米，在中，，∴，解得：，即此下水管横截面的半径为米；（2）解：如图，过点O作于点H，∴，根据题意得：米，米，∴米，∴米，∴米，∴此时水面的宽度增加了米．【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键．【变式2】赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）．(1)在图2中画出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？【答案】(1)见分析；(2)能顺利通过【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；（2）设圆O的半径为，画出草图，结合勾股定理，即可求解．解：（1）分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接交于C，交于D，如图所示，线段即为所求， （2）在上方作一个矩形，其中点在上，在上，交于，且∵∴设圆心为，连接，设半径为，在中，，，∴解得：∴在中，∴∴∴一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能顺利通过【点拨】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定理计算是解题的关键．