2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式中，最简二次根式的是(    )
A. 8 B. 26 C. 13 D. 2 6
3. 下列分解因式正确的是(    )
A. a3−a=a(a2−1) B. x2+1x2+2=(x+1x)2
C. −x2+4xy−4y2=−(x+2y)2 D. x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2
4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结果正确的是(    )
A. 当AB=BC时，它是矩形 B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当∠ABC=90°时，它是菱形 D. 当AC=BD时，它是正方形
5. 能使分式|x|−1x2−2x+1的值为零的所有x的值是(    )
A. x=1 B. x=−1 C. x=1或x=−1 D. x=2或x=1
6. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为(    )


A. 27° B. 53° C. 57° D. 63°
7. 若 (1−2a)2=2a−1则a的取值范围为(    )
A. a<12 B. a>12 C. a≤12 D. a≥12
8. 如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(    )


A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=BC
9. 如图，已知在▱ABCD中，点E是边AD上一点，将△ABE沿BE翻折，点A正好落在CD边上的点F处，若△DEF的周长为10cm，△BCF的周长为24cm，则CF的长为(    )


A. 6cm B. 7cm C. 10cm D. 12cm
10. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则B′E的长度为(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠BAD=120°，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值(    )


A. 2 B. 3 C. 4 3 D. 4
12. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN=NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式|a+b|− a2的结果是______ ．
14. 若关于x的分式方程3x−4+x+m4−x=1有增根，则m的值是______．
15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF.若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为______．


16. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF/​/BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD.若AE=3，PF=5.则图中阴影部分的面积为______ ．


17. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF=3，DG=4，FG=5，矩形ABCD的面积为______．


18. 如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A(−1,2)，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；…，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点A2023的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1) 8− 27−(4 12+ 12)．
(2)( 6+ 12)(2 3− 6)−3 32÷ 22．
20. (本小题8.0分)
(1)解方程：x2x−3+53−2x=4．
(2)化简：(a−2−4a−2)÷a−4a2−4．
21. (本小题8.0分)
2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲.“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：75≤x<80，B组：80≤x<85，C组：85≤x<90，D组：90≤x<95，E组：95≤2≤100，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题．

(1)本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中m= ______ ，所抽取学生成绩的中位数落在______ 组；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH/​/BC交BE的延长线于H，连接CH与DH．
(1)求证：△BCE≌△HOE；
(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．

23. (本小题8.0分)
某个体经营户了解到有一种盒装商品能畅销市场，就用4万元购进这种商品，面市后果然供不应求，他又用8.8万元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每盒单价涨了4元，他在销售这种盒装商品时每盒定价都是56元，最后剩下的150盒按八折销售，很快售完．
(1)该盒装商品两次的进价分别是多少元？
(2)在这两笔生意中，这位个体经营户共盈利多少元？
24. (本小题8.0分)
阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：3 5， 23，2 3+1，…这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如：3 5=3× 5 5× 5=3 55；(一)
23= 2×3 3×3= 63；(二)
2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−1= 3−1；(三)
以上这种化简的叫做分母有理化．
2 3+1还可以用以下方法化简：
2 3+1=3−1 3+1=( 3)2−1 3+1=( 3+1)( 3−1) 3+1= 3−1.(四)
请解答下列问题：
(1)化简：3 6+ 3．
(2)化简：3 4+ 1+3 7+ 4+3 10+ 7．
(3)猜想：3 4+ 1+3 7+ 4+3 10+ 7+…+3 3n+1+ 3n−2的值.(可直接写出结果)
25. (本小题8.0分)
如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
(1)∠EAF= ______ °(直接写出结果不写解答过程)；
(2)①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE=EC=3，求DF的长．
(3)如图(2)，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=5，QH=2，则HR的长度是______ (直接写出结果不写解答过程)．


26. (本小题8.0分)
我们学习了平面图形的镶嵌，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】B 
【解析】解：A、 8=2 2不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、 26是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、 13= 33，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、2 6=2 66= 63，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义解题即可．
本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

3.【答案】D 
【解析】解：a3−a
=a(a2−1)
=a(a−1)(a+1)，
故A不符合题意；
B选项不属于多项式的因式分解，
故B不符合题意；
−x2+4xy−4y2
=−(x2−4xy+4y2)
=−(x−2y)2，
故C不符合题意；
x3+4x2y+4xy2
=x(x2+4xy+4y2)
=x(x+2y)2，
故D符合题意，
故选：D．
根据提公因式法和公式法进行因式分解，分别判断即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：A、当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，所以A选项的结论错误；
B、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，所以B选项的结论正确；
C、当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，所以C选项的结论错误；
D、当AC=BD时，平行四边形ABCD为矩形，所以D选项的结论不正确．
故选：B．
根据矩形、菱形、正方形的判定方法判断即可．
本题考查了矩形和菱形，正方形的判定，掌握它们的判定方法是解本题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：由题意可得|x|−1=0且x2−2x+1≠0，
解得x=−1，
故选：B．
根据题意列方程和不等式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件(分子为零且分母不等于零)是解题关键．

6.【答案】D 
【解析】解：

∵AE/​/BF，
∴∠EAB=∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠ABC=90°，
∴∠ABF+27°=90°，
∴∠ABF=63°，
∴∠EAB=63°，
∵AB/​/CD，
∴∠AED=∠EAB=63°．
故选：D．
根据题意可知AE/​/BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：若 (1−2a)2=2a−1，
则1−2a≤0，
解得a≥12，
故选：D．
根据二次根式的性质得出1−2a≤0，从而求出a的取值范围．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟知：若 a2=a，则a≥0；若 a2=−a，则a≤0．

8.【答案】A 
【解析】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG=FH=12AB，EH=FG=12CD，
∵当EG=FH=GF=EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB=CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG=FH=12AB，EH=FG=12CD，又由当EG=FH=GF=EH时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案．
此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得EF=AE、BF=BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为24cm，求出FC的长，即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FCB的周长、△FDE的周长进行转化是解决问题的关键．
【解答】
解：由折叠的性质可得EF=AE、BF=AB，
∴▱ABCD的周长=DF+FC+CB+BA+AE+DE=△FDE的周长+△FCB的周长=10+24=34，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB+BC=17，
∵△FCB的周长=CF+BC+BF=CF+BC+AB=24，
即FC+17=24，
∴FC=7cm，
故选B．  
10.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB/​/CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，
∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，
∴∠AB′E=30°，
∴B′E=2AE，
设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，
∴2(3−x)=x，
解得x=2．
故选：D．
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

11.【答案】C 
【解析】解：连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°
∴BD垂直平分AC，∠ABC=60°
∴PA=PC，
∴PC+PM=PA+PM=AM，当A，P，M三点共线，且AM⊥BC时，PM+PC有最小值，
在Rt△ABM中，AB=8，∠ABC=60°，
∴∠BAM=90°−∠ABC=30°，
∴BM=12AB=4，
∴AM= AB2−BM2=4 3，
∴PM+PC的最小值是4 3，
故选：C．

连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，根据菱形的性质可得BD垂直平分AC，从而可得PA=PC，则PC+PM=PA+PM，当A，P，M三点共线，且AM⊥BC时，PC+PM有最小值，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，轴对称−最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴CD=2EF，EF//CD，AB=2BG，
∴BG=EF，AB/​/EF/​/CD，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GN=NE，故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AD=BC，
∵BD=2AD=2BC，
∴BO=BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴GF/​/BE，
∴GF⊥AC，
即GF⊥AE，故②正确；
∵BO=BC，
∴∠BOC=∠BCO，
∵∠BOC=∠ACD+∠BDC，
∴∠BOC>∠ACD，
∴∠BCO≠∠ACD，
∴AC不平分∠BCD，故③错误；
∵BO=BC，点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BOE<90°，
∴AC与BD不垂直，故④错误，
故选：B．
通过证明四边形BGFE是平行四边形，可得GN=NE，故①正确；由等腰三角形的性质可得BE⊥AC，由平行四边形的性质可证GF⊥AE，故②正确；由外角的性质可得∠BOC>∠ACD，由等腰三角形的性质可得∠BOC=∠BCO≠∠ACD，故③错误；由等腰三角形的性质可得BE⊥AE，可得∠BOE<90°，则AC与BD不垂直，故④错误，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

13.【答案】−b 
【解析】解：∵由图可知，b ∴|a+b|− a2
=−(a+b)−|a|
=−a−b+a
=−b．
故答案为：−b．
根据各点在坐标系中的位置判断出其符号，再根据绝对值的性质把原式进行化简即可．
本题考查的是实数与数轴和二次根式的性质，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．

14.【答案】−1 
【解析】解：方程两边都乘x−4，
得3−(x+m)=x−4，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−4=0，
解得x=4，
当x=4时，3−(4+m)=4−4，
m=−1，
故答案为：−1．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−4=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

15.【答案】2 5 
【解析】解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，AO=CO=4，BO=DO，
所以AE= AO2+EO2= 9+16=5，
所以BE=AE=5，
所以BO=8，
所以BC= BO2+CO2= 64+16=4 5，
因为点F为CD的中点，BO=DO，
所以OF=12BC=2 5，
故答案为：2 5．
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，BO=DO，由勾股定理可求AE的长，BC的长，由三角形中位线定理可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等，掌握菱形的性质是解题的关键．

16.【答案】15 
【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE=12×3×5=7.5，
∴S阴=7.5+7.5=15，
故答案为：15．
由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．

17.【答案】48 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=∠CDE=90°，AD//BC，
∵F，G分别是BE，CE的中点，AF=3，DG=4，FG=5，
∴BE=2AF=6，CE=2DG=8，BC=2FG=10，
∴BE2+CE2=BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，
∴S△BCE=12⋅BE⋅CE=12×6×8=24，
∵AD/​/BC，
∴S矩形ABCD=2S△BCE=2×24=48，
故答案为：48．
由矩形的性质得出∠BAE=∠CDE=90°，AD//BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE=6，CE=8，BC=10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，进而求出S△BCE=12⋅BE⋅CE=24，即可求出矩形ABCD的面积．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理的逆定理等知识是解决问题的关键．

18.【答案】(3032,0) 
【解析】解：如图所示：

观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
2023÷4=505……3，
∵点A(−1,2)，长方形的周长为：2(1+2)=6，
∴经过2023次翻滚后点A对应点A2023的坐标为(6×505−1+3,0)，即(3032,0)．
故答案为：(3032,0)．
观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出2023÷4的商，从而解答本题．
本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．

19.【答案】解：(1)原式=2 2−3 3−(2 2+2 3)
=2 2−3 3−2 2−2 3
=−5 3；
(2)原式=( 6+2 3)(2 3− 6)−12 2÷ 22
=12−6−24
=−18． 
【解析】(1)先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
(2)根据二次根式的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

20.【答案】解：(1)x2x−3+53−2x=4
去分母得：x−5=4(2x−3)，
去括号得：x−5=8x−12，
移项得：x−8x=−12+5，
合并同类项得：−7x=−7，
系数化为1得：x=1，
检验，当x=1时，2x−3≠0，
∴原方程的解为x=1；
(2)(a−2−4a−2)÷a−4a2−4
=(a2−4a+4a−2−4a−2)÷a−4(a+2)(a−2)
=a2−4aa−2⋅(a+2)(a−2)a−4
=a(a−4)a−2⋅(a+2)(a−2)a−4
=a(a+2)
=a2+2a． 
【解析】(1)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
(2)根据分式的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了解分式方程，分式的混合计算，正确计算是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验．

21.【答案】400  60  D 
【解析】解：(1)本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%=400(名)，
∴B组的人数为：400×15%=60(名)，
∴m=60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，A，B，C组的人数和为：20+96+60=176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
(2)E组的人数为：400−20−60−96−144=80(人)，
补全学生成绩频数分布直方图如下：

(3)3000×144+80400=1680(人)，
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人．
(1)由C组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，进而求得B组人数，根据中位数的定义，即可求解；
(2)求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
(3)由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可．
本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，中位数的定义，补全频数分布直方图，根据统计图获取信息是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵OH/​/BC，
∴∠BCE=∠HOE，
∵E是OC的中点，
∴CE=OE，
在△BCE和△HOE中，
∠BCE=∠HOECE=OE∠BEC=∠HEO，
∴△BCE≌△HOE(ASA)；
(2)解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形，理由如下：
由(1)可知，△BCE≌△HOE，
∴BE=HE，
∵CE=OE，
∴四边形BCHO是平行四边形，
∴CH=OB，CH//OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴CH=OD，OC=OD，
∴四边形OCHD是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴平行四边形OCHD是菱形． 
【解析】(1)由ASA证明△BCE≌△HOE即可；
(2)先证四边形BCHO是平行四边形，得CH=OB，CH//OB，再证四边形OCHD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为(x+4)元，依题意有
40000x×2=88000x+4，
解得：x=40，
经检验x=40是原分式方程的解，且符合题意，
则第一次进货1000件，
答：第一批进货的单价为40元，则第二批进货的单价为44元；
(2)第二次进货的单价为44元，第二次进货2000件，
总盈利为：(56−40)×1000+(56−44)×(2000−150)+150×(56×0.8−44)
=16000+22200+120
=38320(元)．
答：这位个体经营户盈利38320元． 
【解析】(1)设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为(x+4)元，根据第二批进货是第一批购进数量的2倍，列方程求出x的值；
(2)利用x的值，然后求出盈利．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

24.【答案】解：(1)3 6+ 3=3( 6− 3)( 6+ 3)( 6− 3)= 6− 3；
(2)3 4+ 1+3 7+ 4+3 10+ 7
=3( 4− 1)( 4+ 1)( 4− 1)+3( 7− 4)( 7+ 4)( 7− 4)+3( 10− 7)( 10+ 7)( 10− 7)
= 4−1+ 7− 4+ 10− 7
= 10−1；
(3)3 4+ 1+3 7+ 4+3 10+ 7+…+3 3n+1+ 3n−2=3( 4− 1)( 4+ 1)( 4− 1)+3( 7− 4)( 7+ 4)( 7− 4)+⋅⋅⋅+3( 3n+1− 3n−2)( 3n+1+ 3n−2)( 3n+1− 3n−2)
= 4−1+ 7− 4+⋅⋅⋅+ 3n+1− 3n−2
= 3n+1−1． 
【解析】(1)参照阅读材料的(三)式化简即可；
(2)参照阅读材料的(三)式化简，然后合并同类二次根式即可；
(3)即可参照阅读材料的(三)式化简，再合并同类二次根式即可．
本题考查了分母有理化在二次根式加减运算中的应用，读懂阅读材料所展示的方法，是解题的关键．本题考查了分母有理化在二次根式加减运算中的应用，读懂阅读材料所展示的方法，是解题的关键．

25.【答案】(1)45； 
(2)证明：①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE=∠AGF=90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B=∠D=90°=∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF=x，
∵BE=EC=3，
∴BC=6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
AB=AGAE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，
∴BE=EG=3，
同理，GF=DF=x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2=EF2，
即32+(6−x)2=(x+3)2，
解得：x=2，
∴DF的长为2；
(3)157． 
【解析】解：(1)∵∠C=90°，
∴∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠DFE+∠BEF=360°−90°=270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，
∴∠AEF+∠AFE=12(∠DFE+∠BEF)=12×270°=135°，
∴∠EAF=180°−∠AEF−∠AFE=45°，
故答案为：45；
(2)①见答案；
②见答案；
(3)解：如图2所示：

把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由(1)(2)得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ=QR，MR=HR，DQ=HQ=2，
∴MG=DG=MP=PH=5，
∴GQ=3，
设MR=HR=a，则GR=5−a，QR=a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：(5−a)2+32=(2+a)2，
解得：a=157，即HR=157；
故答案为：157．
(1)根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF=360°−90°=270°，根据角平分线的定义得到∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，求得∠AEF+∠AFE=12(∠DFE+∠BEF)，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
(2)①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE=∠AGF=90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB=AD，即可得出四边形ABCD是正方形；
②设DF=x，根据已知条件得到BC=6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC=CD=6，根据全等三角形的性质得到BE=EG=3，同理，GF=DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论；
(3)把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由(1)(2)得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ=QR，MR=HR，DQ=HQ=2，得出MG=DG=MP=PH=5，GQ=3，设MR=HR=a，则GR=5−a，QR=a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．

26.【答案】解：设图中小等边三角形的高为2h，则等边三角形ABC的高为15h，正六边形的高为2h，
∴每个小正六边形的面积=6×12×2×h 3×h=2 3h2，
∴阴影部分的面积为13×2 3h2=26 3h2，
∵△ABC的面积为75，
∴12×2×15h 3×15h=75，
∴h2= 33，
∴阴影部分的面积=26 3× 33=26， 
【解析】设图中小等边三角形的高为2h，则等边三角形ABC的高为15h，正六边形的高为2h，推出每个小正六边形的面积=6×12×2×h 3×h=2 3h2，推出阴影部分的面积为13×2 3h2=26 3h2，再利用△ABC的面积，求出h2可得结论．
本题考查平面镶嵌，等边三角形的面积，正多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．