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2023年湖北省武汉市江岸区中考数学综合训练试卷（三）（含解析）
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这是一份2023年湖北省武汉市江岸区中考数学综合训练试卷（三）（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市江岸区中考数学综合训练试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−2的相反数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 下面的汉字或字母不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 打开电视机，正在播放电视剧《觉醒年代》
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子，点数六朝上
C. 随意翻到新华字典的某页，这一页的页码是奇数
D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
4. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 计算(−2a3)2的结果是( )
A. 4a6 B. 2a6 C. 4a5 D. 2a5
6. 若点(−6,y1)，(−1,y2)，(2,y3)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2
A. −5 B. −3 C. −13 D. −15
8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的关系如图所示．下列说法正确的是( )
A. 5s时，两架无人机都上升了40m
B. 10s时，两架无人机的高度差为20m
C. 乙无人机上升的速度为8m/s
D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
9. 小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加.重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到.则小王写下的四个整数的积可能是( )
A. 80 B. 90 C. 100 D. 120
10. 如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD=4，则AC为( )
A. 12 55
B. 16 55
C. 2 5
D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个大于−3的负无理数______．
12. 我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家.将数据160万用科学记数法表示为______ ．
13. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为______ ．
14. 如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D、B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG=20米，则楼顶C离地面的高度CE约是______ 米( 3取1.732， 2取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1)．
15. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)，(0,3)，对称轴在y轴右侧，则下列结论：
①a<0；
②a+b+c>0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=6一定没有实数根；
④关于x的一元二次不等式ax2+(b−3)x<3的解集为x<−1或x>0.正确的有______ (填写序号)．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，点E在线段AD上，且∠CAD=∠ABE，若CD=3，DB=DE=5，线段AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组2x+2>x+1①x+5≤4x−1;②请按以下步骤完成解答：
(Ⅰ)解不等式①，得______ ；
(Ⅱ)解不等式②，得______ ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，DE//BA，DF//CA．
(1)求证：∠FDE=∠A．
(2)若BD：DC=1：4，直接写出S△CDES△ABC的值．
19. (本小题8.0分)
推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长t(单位：小时)的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组(3≤t<4)，B组(4≤t<5)，C组(5≤t<6)，D组(6≤t<7)，E组(7≤t<8)进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是______，E组所在扇形的圆心角的大小是______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数．
20. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长．
21. (本小题8.0分)
在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(3,4)，B(8,4)，C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)在图1将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
(2)在图1在边OC上画点E，使tan∠CBE=25(保留画图过程的痕迹)；
(3)在图1连接AC，画点E关于直线AC的对称点F．
(4)如图2，点M是BC与竖网格线的一个交点，在AC上找一点N，使∠ABC=∠CNM．
22. (本小题10.0分)
如图所示是某游乐场“极速飞车”的一部分轨道示意图.它可以看成抛物线C1的一段：A→B→C，然后连接一段下坡线段CD，再连接缓冲抛物线C2的一段：D→E.其中C1与C2开口方向相反，形状相同，点B为C1的顶点，C2的顶点在x轴上.其中OA=754米，B点坐标为(252,50)，点C到x轴的距离为30米，D、E两点到x轴距离相等且为5米.(轨道厚度忽略不计)
(1)求抛物线C1的解析式，并求出自变量x的取值范围；
(2)现对轨道C1部分进行加固，在C1下方安装两根竖直支架PM、QN(P、Q都在C1上)，PM垂直于x轴于点M，QN垂直于x轴于点N，且要求OM=MN.求当OM为何值时，两根支架PM与QN的长度之和最大，并求出最大值；
(3)若线段CD与直线y=−12x平行，直接写出E点横坐标______ ．
23. (本小题10.0分)
问题背景
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，D是边AB的中点，延长CB至点E，使DE=DC，求证：BC=2BE；
变式迁移
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在边BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE，求BEBC的值；
问题拓展
(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，若点D在边AB上，点E在CB的延长线上，DE=DC，点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=nFE，当AB=1，∠ABC=a时，直接写出BE的值(用含n，a的式子表示)．
24. (本小题12.0分)
已知二次函数y=ax2+bx−3．
(1)若函数图象经过点(1,−4)，(−1,0)，求抛物线的解析式；
(2)若2a−b=1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y=kx+t(k≠0)，始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；
(3)如图，在(2)的条件下，若a>0，M、A两点关于抛物线的对称轴对称，点P为A，B之间的抛物线上一动点，连接MP交AB于点Q，且PQMQ的最大值为13，求抛物线的函数解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：B．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、不是中心对称图形，所以符合题意；
B、是中心对称图形，所以不符合题意；
C、是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、打开电视机，正在播放电视剧《觉醒年代》，是随机事件，不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的骰子，点数六朝上，是随机事件，不符合题意；
C、随意翻到新华字典的某页，这一页的页码是奇数，是随机事件，不符合题意；
D、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】C
【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：C．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】A
【解析】解：原式=(−2)2(a3)2=4a6．
故选：A．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
6.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k<0)中，k<0，
∴此函数图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵−6<−1<0，
∴点(−6,y1)，(−1,y2)在第二象限，
∴y2>y1>0，
∵2>0，
∴点(2,y3)在第四象限，
∴y3<0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
7.【答案】A
【解析】解：根据根与系数的关系得a+b=13，ab=−13，
所以1a−1+1b−1=b−1+a−1(a−1)(b−1)=a+b−2ab−(a+b)+1=13−2−13−13+1=−5．
故选：A．
先根据根与系数的关系得a+b=13，ab=−13，再通分和进行同分母的加法运算得到原式b−1+a−1(a−1)(b−1)=a+b−2ab−(a+b)+1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
8.【答案】B
【解析】解：由图象可得，
5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40−20=20m，故选项A错误；
甲无人机的速度为：40÷5=8m/s，乙无人机的速度为：(40−20)÷5=4m/s，故选项C错误；
则10s时，两架无人机的高度差为：(8×10)−(20+4×10)=20m，故选项B正确；
10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10=80m，故选项D错误；
故选：B．
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】解：相加得5的两个整数可能为：1，4或2，3，
相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3，
相加得7的两个整数可能为：1，6或2，5或3，4，
相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4，
∵每次所得两个整数和最小是5，
∴最小两个数字为2，3，
∵每次所得两个整数和最大是8，
∴最大数字为4或5，
∴当最大数字为4的时，四个整数分别为2，3，4，4，
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5，
∴4张纸片上各写的数为：2，3，4，4或2，3，3，5，
∴2×3×4×4=96或2×3×4×5=120．
故选：D．
分别列出两数相加为5，6，7，8的所有可能性求解．
本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．
10.【答案】A
【解析】解：连接BD、CD、BI，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴BD=CD，
∴BD=CD=4，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI=∠DAB+∠ABI=∠BID，
∴ID=BD=4，
∵OI⊥AD，
∴AD=2ID=8，
∴AB= AD2+BD2= 82+42=4 5，
连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，
设DE=x，则OE=12AB−x=2 5−x，
∵OB2−OE2=BD2−DE2，
∴(2 5)2−(2 5−x)2=42−x2，
解得：x=4 55，
∴BE= BD2−DE2= 42−(4 55)2=8 55，
∴BC=2BE=16 55，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= AB2−BC2= (4 5)2−(16 55)2=12 55，
故选：A．
连接BD、CD、BI，由已知可得BD=CD=4，进而可证ID=BD=4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE=x，利用OB2−OE2=BD2−DE2求x，再利用勾股定理求AC即可．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD=2BD是解此题的关键，有一定的难度．
11.【答案】− 5(答案不唯一)
【解析】解：∵9>5
∴3> 5．
∴−3<− 5．
故答案为：− 5.(答案不唯一)
由两个负数绝对值的反而小从而可得出答案．
本题主要考查的是估算无理数的大小，明确被开方数越大对应算术平方根越大是解题的关键．
12.【答案】1.6×106
【解析】解：160万=1600000=1.6×106．
故答案为：1.6×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】14
【解析】解：将“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位分别记作A、B、C、D，列表如下：
A
B
C
D
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)
由表知，共有16种等可能结果，其中这两名同学恰好在同一岗位体验的有4种结果，
所以这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为416=14，
故答案为：14．
将“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位分别记作A、B、C、D，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
14.【答案】48.9
【解析】解：在直角△ABC中，∠CBA=60°，设AB=x，
∴AC= 3AB= 3x，
在直角△CDA中，∠CDA=45°，则CA=DA= 3x，
∴BD=AD−AB= 3x−x=20，
解得：x=10( 3+1)，
∴AC= 3x=30+10 3，
则CE=AC+1.6=30+17.32+1.6=48.92≈48.9(米)．
答：楼顶C离地面的高度CE约是48.9米．
故答案为：48.9．
根据锐角三角函数列式计算即可求出楼顶C离地面的高度CE．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
15.【答案】①②
【解析】解：根据题意画函数的图象如图所示：
由图1得：a<0，故①正确；
由图1得：当x=1时，y=a+b+c>0，故②正确；
由图2得：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y=6有交点，
∴ax2+bx+c=6有解，故③是错误的；
由图1得：当x>0时，ax2+(b−3)x与3的大小关系不确定，故④是错误的；
故答案为：①②．
先根据题意画出函数的图象，再根据图象与系数的关系求解．
本题考查了函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：延长ED到F，使DF=DE，连接BF，过点F作FG//BD交AB的延长线于G，如图：
设AD=x，BF=a，AB=b，
∵BD=DE=5，CD=3，
∴DF=DE=BD=5，AE=AD−DE=x−5，BC=BD+CD=8，
∴∠DEB=∠DBE，∠DBF=∠DFB，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠DEB+∠DFB，
∵∠EBF+∠DEB+∠DFB=180°，
∴∠EBF=90°，
∵∠DEB=∠EAB+∠ABE，∠CAD=∠ABE，
∴∠DEB=∠EAB+∠CAD=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，∠EBF=90°，
∴∠ACB=∠EBF，
∴△ABC∽△EFB，
∴BC：BF=AB：EF，∠ABC=∠DFB，
即：BF⋅AB=BC⋅EF，
∴ab=80，
∵∠ABC=∠DFB，∠DBF=∠DFB，
∴∠ABC=∠DFB，
∵FG//BD，
∴∠G=∠ABC，∠GFB=∠DBF，
∴∠G=∠GFB，
∴BG=BF=a，
∵FG//BD，
∴BG：AB=DF：AD，
∴BG⋅AD=AB⋅DF，
即：ax=5b，
由ab=80，得：a=80b，
∴x⋅80b=5b，
即：b2=16x，
在Rt△ACD中，AD=x，CD=3，由勾股定理得：AC2=AD2−CD2=x2−9，
在Rt△ABC中，AB=b，BC=8，由勾股定理得：AC2=AB2−BC2=b2−64，
∴x2−9=b2−64，
即：b2=x2+55，
∴x2+55=16x，
即：x2−16x+55=0，解得：x1=5，x2=11，
当x=5时，AE=x−5=0，不合题意，舍去；
当x=11时，AE=x−5=6．
故答案为：6．
延长ED到F，使DF=DE，连接BF，过点F作FG//BD交AB的延长线于G，设AD=x，BF=a，AB=b，先证∠EBF=90°，再证∠DEB=∠CAB，从而得△ABC和△EFB相似，则BC：BF=AB：EF，∠ABC=∠DFB，进而得ab=80，再证∠ABC=∠DFB，进而得∠G=∠GFB，则BG=BF=a，由FG//BD得BG：AB=DF：AD，即ax=5b，再由ab=80可得b2=16x，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AD2−CD2=AB2−BC2=x2−9=b2−64，据此得b2=x2+55，由此可得出x2+55=16x，解此方程求出x即可得线段AE的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例、对应角相等；解答此题的难点是正确的作出辅助线构造相似三角形；设置适当的辅助未知数，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理构造方程组进行求解．
17.【答案】x>−1 x≥2 x≥2
【解析】解：(Ⅰ)解不等式①，得x>−1；
(Ⅱ)解不等式②，得x≥2；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为x≥2．
故答案为：x>−1；x≥2；x≥2．
先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵DE//BA，DF//CA，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴∠FDE=∠A；
(2)解：连接AD，设S△BDF=s，
∵DF//CA，
∴BD：CD=BF：AF=1：4，
∴S△BDF：S△ADF=BF：AF=1：4，
∴S△ADF=4S△BDF=4s，
∴S△ADF=S△DEA=4s，
又∵DE//BA，
∴BD：CD=AE：CE=1：4，
∴S△ADE：S△CDE=AE：CE=1：4，
∴4S△ADE=S△CDE=16s，
∵S△ABC=S△ADE+S△CDE+S△ADF+S△BDF，
∴S△ABC=4s+16s+4s+s=25s，
∴S△CDES△ABC=16s25s=1625．
【解析】(1)根据DE//BA，DF//CA得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论；
(2)根据平行线分线段成比例可得BD：CD=BF：AF=AE：CE=1：4，连接AD，根据等高的三角形面积之比等于底之比即可解决，设三角形BDF面积为s，表示出其余三角形的面积，
本题考查了平行线分线段成比例，高相等的两个三角形面积之比等于底边长之比，平行四边形的判定与性质．
19.【答案】500 28.8°
【解析】解：(1)这次抽样调查的样本容量是100÷20%=500，
所以E组所在扇形的圆心角的大小是360°×40500=28.8°，
故答案为：500、28.8°；
(2)D组人数为500−(50+100+160+40)=150(人)，
补全图形如下：
(3)估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数为50000×150+40500=19000(人)．
(1)由B组人数及其所占百分比可得样本容量，用360°乘以E组人数所占比例即可；
(2)根据各组人数之和等于样本容量求出D组人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数÷总数是正确解答的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM=90°，
∵∠CEA=90°，
∴AM//CD，
∴∠CDB=∠APB，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠APB．
(2)解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC=90°，
∵∠CAB+∠∠C=90°，∠CDB=∠CAB，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC=8，
∵AB=10，
∴BD=6，
∵∠BAD+∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，
∴∠APB=∠DAB，
∵∠BDA=∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴ABPB=BDAB，
∴PB=AB2BD=1006=503，
∴DP=503−6=323．
故答案为：323．
【解析】(1)根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
(2)通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1，线段CD为所求；
(2)如图1，取格点T，S，使DS=3，CT=2，连接ST交CD于R，连接BR并延长交x轴于E，则点E为所求，
∵将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，
∴∠DCB=90°，DC=BC，
∵DS//TC，
∴DSTC=DRRC=32，
∴CR=25DC=25CB，
∴tan∠CBE=25；
(3)设AC与BE的交点为K，连接OK并延长交BC于F，则点F为所求，
∵O(0,0)，A(3,4)，B(8,4)，C(5,0)，
∴OA=OC=BC=AB=5，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA//BC，
∴OACF=AKCK，
∵AB//OC，
∴ABCE=AKCK，
∴OACF=ABCE，
∴CE=FC，
∴点E与点F关于直线AC对称；
(4)如图2，取格点R，J，G，H，连接RC，OB交于点K，连接RG，JB交于点P，连接KP并延长交AC于点N，则∠ABC=∠CNM，
∵A(3,4)，B(8,4)，C(5,0)，
∴AB=5=BC，AC=2 5，
∵AB//OC，
∴BHCG=BMCM=21，
∴CM=53，
∴CMAC= 56，
∵AB//OC，
∴RBOC=RKCK=75，RBJG=RPPG=75，
∴RKCK=RPPG，
∴KP//OG，
∴KN//OG//AR，
∴ANCN=RKKC=75，
∴CN=5 56，
∴CNBC=5 565= 56，
∴CNBC=CMAC，
又∵∠ACB=∠MCN，
∴△ACB∽△MCN，
∴∠ABC=∠CNM．
【解析】(1)根据题意画出图形即可；
(2)取格点T，S，使DS=3，CT=2，连接ST交CD于R，连接BR并延长交x轴于E，则点E为所求；
(3)设AC与BE的交点为K，连接OK并延长交BC于F，则点F为所求；
(4)取格点R，J，G，H，连接RC，OB交于点K，连接RG，JB交于点P，连接KP并延长交AC于点N，则∠ABC=∠CNM；
本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】1652
【解析】解：(1)根据题意设C1的解析式为：y=a(x−252)2+50，
将A(0,754)代入可得：754=a⋅(0−252)2+50，
解得a=−15，
∴y=−15(x−252)2+50，
令y=30，即−15(x−252)2+50=30，
解得x1=10，x2=452，
又xC>252，
∴xC=452，
∴0≤x≤452．
∴抛物线C1的解析式为y=−15(x−252)2+50，自变量x的取值范围为0≤x≤452；
(2)设OM=m，则ON=2m，
PM+QN=yP+yQ=−15(m−252)2+50+[−15(2m−252)2+50]
=−m2+15m+752
=−(m−152)2+3754，
∵0≤m≤4520≤2m≤452，
∴0≤m≤454，
∵−1<0，开口向下，且0<152<454，
∴当m=152时，(PM+QN)max=3754，
∴当OM为152时，两根支架PM与QN的长度之和最大，最大值为3754；
(3)根据题意知，点C坐标为(452,30)，
∵线段CD与直线y=−12x平行，
∴设线段CD所在直线的解析式为y=−12x+b，
把C(452,30)代入解析式得：30=−12×452+b，
解得b=1654，
∴线段CD所在直线的解析式为y=−12x+1654，
∵点D到x轴距离为5米，
∴5=−12x+1654，
解得x=1452，
∴D(1452,5)
∵C1与C2开口方向相反，形状相同，
∴C2解析式为y=15(x−m)2，
把D(1452,5)代入解析式得：15(1452−m)2=5，
解得m1=1552，m2=1352(舍去)，
∴C2解析式为y=15(x−1552)2，
∵D、E两点到x轴距离相等且为5米，
∴E(1652,5)，
故答案为：1652．
(1)根据题意设出抛物线解析式的顶点式，由待定系数法求出函数解析式，再求出自变量x的取值范围；
(2)设OM=m，则ON=2m，然后根据PM+QN=yP+yQ关于m的解析式，再由函数的性质求最值；
(3)先根据线段CD与直线y=−12x平行，求出直线CD的解析式，然后求出D点的坐标，再根据C1与C2开口方向相反，形状相同求出C2的解析式，再求出E点坐标．
本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式．
23.【答案】(1)证明：如图1，
作AG⊥BC于G，作DF⊥CE于F，
∴DF//AG，
∴BFFG=BDAD，
∵D是AB的中点，
∴BD=AD，
∴BFFG=1，
设BF=FG=a，则BG=2a，
∵AB=AC，DE=CD，
∴CG=BG=2a，EF=CF，BC=2BG=4a，
∵CF=FG+CG=3a，
∴EF=CF=3a，
∴BE=EF−BF=2a，
∴BC=2BE；
(2)解：如图2，
作EH//AB，交AC于G，
∴∠B=∠CEG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠CEG=∠ACB，
∴CG=EG，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠DEC−∠CEG=∠DCE−∠ACB，
∴∠DEH=∠DCF，
∵∠CED=∠CED，
∴△DEH≌△DCF(ASA)，
∴DH=DF，
∵DF=EF=12DE=12CD，
∴DH=12CD，
∵EH//AB，
∴BEBC=DHCD=12；
(3)解：如图，
作BG//AB，交CA的延长线于G，交CD的延长线于H，
由(2)得：△GEF≌△GCH，
∴EF=CH，
∵DE=CD，
∴DH=DF，
∴DHCH=DFEF=n，
∴DHCD=n1−n，
∵BG//AB，
∴BEBC=DH CD=n1−n，
作AT⊥BC于T，
∵AB=AC，
∴BC=2BT，
∵BT=AB⋅cos∠ABC=cosα，
∴BC=2cosα，
∴BE2cosα=n1−n，
∴BE=2n⋅cosα1−n．
【解析】(1)作AG⊥BC于G，作DF⊥CE于F，由DF//AG，得BFFG=BDAD=1设BF=FG=a，则BG=2a，CG=BG=2a，EF=CF，BC=2BG=4a，CF=FG+CG=3a，EF=CF=3a，进一步得出结论；
(2)作EH//AB，交AC于G，可证得∠CEG=∠ACB，从而CG=EG，可证得∠DEH=∠DCF，进而得出△DEH≌△DCF，从而DH=DF，进而推出DH=12CD，进一步得出结果；
(3)作BG//AB，交CA的延长线于G，交CD的延长线于H，由(2)得EF=CH，进而得出DH=DF，从而DHCH=DFEF=n，从而推出DHCD=n1−n，从而得出BEBC=DH CD=n1−n，作AT⊥BC于T，可得出BC=2cosα，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平分线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24.【答案】解：(1)把(1,−4)，(−1,0)代入y=ax2+bx−3，得a+b−3=−4a−b−3=0，
解得，a=1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)∵2a−b=1，
∴b=2a−1，
把b=2a−1代入y=ax2+bx−3得，y=ax2+(2a−1)x−3=(x2+2x)a−x−3，
令x2+2x=0，则x1=0，x2=−2，
∴当x1=0时，y=0−0−3=−3，当x2=−2时，y=0−(−2)−3=−1，
∴对于任意不为零的实数a，二次函数y=ax2+bx−3的图象都经过两个定点(−2,−1)和(0,−3)，
把(−2,−1)和(0,−3)代入y=kx+t，得−2k+t=−1t=−3，
解得，k=−1t=−3，
∴该直线的表达式为y=−x−3；
(3)由(2)得y=ax2+2ax−x−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2a−1a=1a−2，
∵M、A两点关于抛物线的对称轴对称，由(2)得A(−2,−1)、B(0,−3)，
∴点M的坐标为(2a−2,−1)，
设P(x,ax2+2ax−x−3)，过点P作PH//y轴，PH交直线AB于点H，过点M作MN//y轴，MN交直线AB于点N，如图，
则H(x,−x−3)，N(2a−2,−2a−1)，
∴PH=−x−3−(ax2+2ax−x−3)=−ax2−2ax，MN=−1−(−2a−1)=2a，
∵PH//y轴，MN//y轴，
∴PH//MN，
∴△PQH∽△MQN，
∴PQMQ=PHMN，
∴当PQMQ=13时，有−ax2−2ax2a=13，
整理得，3a2x2+6a2x2+2=0，
∵点P为A，B之间的抛物线上一动点，
∴满足方程3a2x2+6a2x2+2=0的x值只有一个，
即方程3a2x2+6a2x2+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(6a2)2−4×3a2×2=0，
解得a2=0(舍去)或a=± 63，
∵a>0，故a= 63，
∴b=2 63−1，
∴抛物线的解析式为y= 63x2+(2 63−1)x−3．
【解析】(1)把(1,−4)，(−1,0)代入y=ax2+bx−3，得关于a和b的方程组，解方程组即可；
(2)二次函数的表达式转化为y=(x2+2x)a−x−3，令x2+2x=0，求出A、B的坐标，再把A、B的坐标代入y=kx+t，求出k、t的值即可；
(3)根据对称性求出点M的坐标为(2a−2,−1)，设P(x,ax2+2ax−x−3)，过点P作PH//y轴，PH交直线AB于点H，过点M作MN//y轴，MN交直线AB于点N，则H(x,−x−3)，N(2a−2,−2a−1)，求出PH、MN，再证△PQH∽△MQN推出PQMQ=PHMN，根据PQMQ=13时列出方程，由于点P为A，B之间的抛物线上一动点，所以满足方程的x值只有一个，所以Δ=0，由此求出a的值．
本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点，用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识，(2)中把二次函数的表达式转化为y=(x2+2x)a−x−3是解题的关键，(3)中添加辅助线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2023年湖北省武汉市江岸区中考数学综合训练试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−2的相反数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 下面的汉字或字母不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 打开电视机，正在播放电视剧《觉醒年代》
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子，点数六朝上
C. 随意翻到新华字典的某页，这一页的页码是奇数
D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
4. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 计算(−2a3)2的结果是( )
A. 4a6 B. 2a6 C. 4a5 D. 2a5
6. 若点(−6,y1)，(−1,y2)，(2,y3)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2
A. −5 B. −3 C. −13 D. −15
8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的关系如图所示．下列说法正确的是( )
A. 5s时，两架无人机都上升了40m
B. 10s时，两架无人机的高度差为20m
C. 乙无人机上升的速度为8m/s
D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
9. 小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加.重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到.则小王写下的四个整数的积可能是( )
A. 80 B. 90 C. 100 D. 120
10. 如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD=4，则AC为( )
A. 12 55
B. 16 55
C. 2 5
D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个大于−3的负无理数______．
12. 我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家.将数据160万用科学记数法表示为______ ．
13. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为______ ．
14. 如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D、B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG=20米，则楼顶C离地面的高度CE约是______ 米( 3取1.732， 2取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1)．
15. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,0)，(0,3)，对称轴在y轴右侧，则下列结论：
①a<0；
②a+b+c>0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=6一定没有实数根；
④关于x的一元二次不等式ax2+(b−3)x<3的解集为x<−1或x>0.正确的有______ (填写序号)．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，点E在线段AD上，且∠CAD=∠ABE，若CD=3，DB=DE=5，线段AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组2x+2>x+1①x+5≤4x−1;②请按以下步骤完成解答：
(Ⅰ)解不等式①，得______ ；
(Ⅱ)解不等式②，得______ ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，DE//BA，DF//CA．
(1)求证：∠FDE=∠A．
(2)若BD：DC=1：4，直接写出S△CDES△ABC的值．
19. (本小题8.0分)
推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长t(单位：小时)的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组(3≤t<4)，B组(4≤t<5)，C组(5≤t<6)，D组(6≤t<7)，E组(7≤t<8)进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是______，E组所在扇形的圆心角的大小是______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数．
20. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长．
21. (本小题8.0分)
在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(3,4)，B(8,4)，C(5,0).仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)在图1将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
(2)在图1在边OC上画点E，使tan∠CBE=25(保留画图过程的痕迹)；
(3)在图1连接AC，画点E关于直线AC的对称点F．
(4)如图2，点M是BC与竖网格线的一个交点，在AC上找一点N，使∠ABC=∠CNM．
22. (本小题10.0分)
如图所示是某游乐场“极速飞车”的一部分轨道示意图.它可以看成抛物线C1的一段：A→B→C，然后连接一段下坡线段CD，再连接缓冲抛物线C2的一段：D→E.其中C1与C2开口方向相反，形状相同，点B为C1的顶点，C2的顶点在x轴上.其中OA=754米，B点坐标为(252,50)，点C到x轴的距离为30米，D、E两点到x轴距离相等且为5米.(轨道厚度忽略不计)
(1)求抛物线C1的解析式，并求出自变量x的取值范围；
(2)现对轨道C1部分进行加固，在C1下方安装两根竖直支架PM、QN(P、Q都在C1上)，PM垂直于x轴于点M，QN垂直于x轴于点N，且要求OM=MN.求当OM为何值时，两根支架PM与QN的长度之和最大，并求出最大值；
(3)若线段CD与直线y=−12x平行，直接写出E点横坐标______ ．
23. (本小题10.0分)
问题背景
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，D是边AB的中点，延长CB至点E，使DE=DC，求证：BC=2BE；
变式迁移
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在边BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE，求BEBC的值；
问题拓展
(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，若点D在边AB上，点E在CB的延长线上，DE=DC，点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=nFE，当AB=1，∠ABC=a时，直接写出BE的值(用含n，a的式子表示)．
24. (本小题12.0分)
已知二次函数y=ax2+bx−3．
(1)若函数图象经过点(1,−4)，(−1,0)，求抛物线的解析式；
(2)若2a−b=1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y=kx+t(k≠0)，始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；
(3)如图，在(2)的条件下，若a>0，M、A两点关于抛物线的对称轴对称，点P为A，B之间的抛物线上一动点，连接MP交AB于点Q，且PQMQ的最大值为13，求抛物线的函数解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：B．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、不是中心对称图形，所以符合题意；
B、是中心对称图形，所以不符合题意；
C、是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、打开电视机，正在播放电视剧《觉醒年代》，是随机事件，不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的骰子，点数六朝上，是随机事件，不符合题意；
C、随意翻到新华字典的某页，这一页的页码是奇数，是随机事件，不符合题意；
D、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】C
【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：C．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】A
【解析】解：原式=(−2)2(a3)2=4a6．
故选：A．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
6.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k<0)中，k<0，
∴此函数图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵−6<−1<0，
∴点(−6,y1)，(−1,y2)在第二象限，
∴y2>y1>0，
∵2>0，
∴点(2,y3)在第四象限，
∴y3<0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
7.【答案】A
【解析】解：根据根与系数的关系得a+b=13，ab=−13，
所以1a−1+1b−1=b−1+a−1(a−1)(b−1)=a+b−2ab−(a+b)+1=13−2−13−13+1=−5．
故选：A．
先根据根与系数的关系得a+b=13，ab=−13，再通分和进行同分母的加法运算得到原式b−1+a−1(a−1)(b−1)=a+b−2ab−(a+b)+1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
8.【答案】B
【解析】解：由图象可得，
5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40−20=20m，故选项A错误；
甲无人机的速度为：40÷5=8m/s，乙无人机的速度为：(40−20)÷5=4m/s，故选项C错误；
则10s时，两架无人机的高度差为：(8×10)−(20+4×10)=20m，故选项B正确；
10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10=80m，故选项D错误；
故选：B．
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】解：相加得5的两个整数可能为：1，4或2，3，
相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3，
相加得7的两个整数可能为：1，6或2，5或3，4，
相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4，
∵每次所得两个整数和最小是5，
∴最小两个数字为2，3，
∵每次所得两个整数和最大是8，
∴最大数字为4或5，
∴当最大数字为4的时，四个整数分别为2，3，4，4，
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5，
∴4张纸片上各写的数为：2，3，4，4或2，3，3，5，
∴2×3×4×4=96或2×3×4×5=120．
故选：D．
分别列出两数相加为5，6，7，8的所有可能性求解．
本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．
10.【答案】A
【解析】解：连接BD、CD、BI，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴BD=CD，
∴BD=CD=4，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI=∠DAB+∠ABI=∠BID，
∴ID=BD=4，
∵OI⊥AD，
∴AD=2ID=8，
∴AB= AD2+BD2= 82+42=4 5，
连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，
设DE=x，则OE=12AB−x=2 5−x，
∵OB2−OE2=BD2−DE2，
∴(2 5)2−(2 5−x)2=42−x2，
解得：x=4 55，
∴BE= BD2−DE2= 42−(4 55)2=8 55，
∴BC=2BE=16 55，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= AB2−BC2= (4 5)2−(16 55)2=12 55，
故选：A．
连接BD、CD、BI，由已知可得BD=CD=4，进而可证ID=BD=4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE=x，利用OB2−OE2=BD2−DE2求x，再利用勾股定理求AC即可．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD=2BD是解此题的关键，有一定的难度．
11.【答案】− 5(答案不唯一)
【解析】解：∵9>5
∴3> 5．
∴−3<− 5．
故答案为：− 5.(答案不唯一)
由两个负数绝对值的反而小从而可得出答案．
本题主要考查的是估算无理数的大小，明确被开方数越大对应算术平方根越大是解题的关键．
12.【答案】1.6×106
【解析】解：160万=1600000=1.6×106．
故答案为：1.6×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】14
【解析】解：将“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位分别记作A、B、C、D，列表如下：
A
B
C
D
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)
由表知，共有16种等可能结果，其中这两名同学恰好在同一岗位体验的有4种结果，
所以这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为416=14，
故答案为：14．
将“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位分别记作A、B、C、D，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
14.【答案】48.9
【解析】解：在直角△ABC中，∠CBA=60°，设AB=x，
∴AC= 3AB= 3x，
在直角△CDA中，∠CDA=45°，则CA=DA= 3x，
∴BD=AD−AB= 3x−x=20，
解得：x=10( 3+1)，
∴AC= 3x=30+10 3，
则CE=AC+1.6=30+17.32+1.6=48.92≈48.9(米)．
答：楼顶C离地面的高度CE约是48.9米．
故答案为：48.9．
根据锐角三角函数列式计算即可求出楼顶C离地面的高度CE．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
15.【答案】①②
【解析】解：根据题意画函数的图象如图所示：
由图1得：a<0，故①正确；
由图1得：当x=1时，y=a+b+c>0，故②正确；
由图2得：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y=6有交点，
∴ax2+bx+c=6有解，故③是错误的；
由图1得：当x>0时，ax2+(b−3)x与3的大小关系不确定，故④是错误的；
故答案为：①②．
先根据题意画出函数的图象，再根据图象与系数的关系求解．
本题考查了函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：延长ED到F，使DF=DE，连接BF，过点F作FG//BD交AB的延长线于G，如图：
设AD=x，BF=a，AB=b，
∵BD=DE=5，CD=3，
∴DF=DE=BD=5，AE=AD−DE=x−5，BC=BD+CD=8，
∴∠DEB=∠DBE，∠DBF=∠DFB，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠DEB+∠DFB，
∵∠EBF+∠DEB+∠DFB=180°，
∴∠EBF=90°，
∵∠DEB=∠EAB+∠ABE，∠CAD=∠ABE，
∴∠DEB=∠EAB+∠CAD=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，∠EBF=90°，
∴∠ACB=∠EBF，
∴△ABC∽△EFB，
∴BC：BF=AB：EF，∠ABC=∠DFB，
即：BF⋅AB=BC⋅EF，
∴ab=80，
∵∠ABC=∠DFB，∠DBF=∠DFB，
∴∠ABC=∠DFB，
∵FG//BD，
∴∠G=∠ABC，∠GFB=∠DBF，
∴∠G=∠GFB，
∴BG=BF=a，
∵FG//BD，
∴BG：AB=DF：AD，
∴BG⋅AD=AB⋅DF，
即：ax=5b，
由ab=80，得：a=80b，
∴x⋅80b=5b，
即：b2=16x，
在Rt△ACD中，AD=x，CD=3，由勾股定理得：AC2=AD2−CD2=x2−9，
在Rt△ABC中，AB=b，BC=8，由勾股定理得：AC2=AB2−BC2=b2−64，
∴x2−9=b2−64，
即：b2=x2+55，
∴x2+55=16x，
即：x2−16x+55=0，解得：x1=5，x2=11，
当x=5时，AE=x−5=0，不合题意，舍去；
当x=11时，AE=x−5=6．
故答案为：6．
延长ED到F，使DF=DE，连接BF，过点F作FG//BD交AB的延长线于G，设AD=x，BF=a，AB=b，先证∠EBF=90°，再证∠DEB=∠CAB，从而得△ABC和△EFB相似，则BC：BF=AB：EF，∠ABC=∠DFB，进而得ab=80，再证∠ABC=∠DFB，进而得∠G=∠GFB，则BG=BF=a，由FG//BD得BG：AB=DF：AD，即ax=5b，再由ab=80可得b2=16x，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AD2−CD2=AB2−BC2=x2−9=b2−64，据此得b2=x2+55，由此可得出x2+55=16x，解此方程求出x即可得线段AE的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例、对应角相等；解答此题的难点是正确的作出辅助线构造相似三角形；设置适当的辅助未知数，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理构造方程组进行求解．
17.【答案】x>−1 x≥2 x≥2
【解析】解：(Ⅰ)解不等式①，得x>−1；
(Ⅱ)解不等式②，得x≥2；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为x≥2．
故答案为：x>−1；x≥2；x≥2．
先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵DE//BA，DF//CA，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴∠FDE=∠A；
(2)解：连接AD，设S△BDF=s，
∵DF//CA，
∴BD：CD=BF：AF=1：4，
∴S△BDF：S△ADF=BF：AF=1：4，
∴S△ADF=4S△BDF=4s，
∴S△ADF=S△DEA=4s，
又∵DE//BA，
∴BD：CD=AE：CE=1：4，
∴S△ADE：S△CDE=AE：CE=1：4，
∴4S△ADE=S△CDE=16s，
∵S△ABC=S△ADE+S△CDE+S△ADF+S△BDF，
∴S△ABC=4s+16s+4s+s=25s，
∴S△CDES△ABC=16s25s=1625．
【解析】(1)根据DE//BA，DF//CA得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论；
(2)根据平行线分线段成比例可得BD：CD=BF：AF=AE：CE=1：4，连接AD，根据等高的三角形面积之比等于底之比即可解决，设三角形BDF面积为s，表示出其余三角形的面积，
本题考查了平行线分线段成比例，高相等的两个三角形面积之比等于底边长之比，平行四边形的判定与性质．
19.【答案】500 28.8°
【解析】解：(1)这次抽样调查的样本容量是100÷20%=500，
所以E组所在扇形的圆心角的大小是360°×40500=28.8°，
故答案为：500、28.8°；
(2)D组人数为500−(50+100+160+40)=150(人)，
补全图形如下：
(3)估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数为50000×150+40500=19000(人)．
(1)由B组人数及其所占百分比可得样本容量，用360°乘以E组人数所占比例即可；
(2)根据各组人数之和等于样本容量求出D组人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数÷总数是正确解答的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM=90°，
∵∠CEA=90°，
∴AM//CD，
∴∠CDB=∠APB，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠APB．
(2)解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC=90°，
∵∠CAB+∠∠C=90°，∠CDB=∠CAB，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC=8，
∵AB=10，
∴BD=6，
∵∠BAD+∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，
∴∠APB=∠DAB，
∵∠BDA=∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴ABPB=BDAB，
∴PB=AB2BD=1006=503，
∴DP=503−6=323．
故答案为：323．
【解析】(1)根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
(2)通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1，线段CD为所求；
(2)如图1，取格点T，S，使DS=3，CT=2，连接ST交CD于R，连接BR并延长交x轴于E，则点E为所求，
∵将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，
∴∠DCB=90°，DC=BC，
∵DS//TC，
∴DSTC=DRRC=32，
∴CR=25DC=25CB，
∴tan∠CBE=25；
(3)设AC与BE的交点为K，连接OK并延长交BC于F，则点F为所求，
∵O(0,0)，A(3,4)，B(8,4)，C(5,0)，
∴OA=OC=BC=AB=5，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA//BC，
∴OACF=AKCK，
∵AB//OC，
∴ABCE=AKCK，
∴OACF=ABCE，
∴CE=FC，
∴点E与点F关于直线AC对称；
(4)如图2，取格点R，J，G，H，连接RC，OB交于点K，连接RG，JB交于点P，连接KP并延长交AC于点N，则∠ABC=∠CNM，
∵A(3,4)，B(8,4)，C(5,0)，
∴AB=5=BC，AC=2 5，
∵AB//OC，
∴BHCG=BMCM=21，
∴CM=53，
∴CMAC= 56，
∵AB//OC，
∴RBOC=RKCK=75，RBJG=RPPG=75，
∴RKCK=RPPG，
∴KP//OG，
∴KN//OG//AR，
∴ANCN=RKKC=75，
∴CN=5 56，
∴CNBC=5 565= 56，
∴CNBC=CMAC，
又∵∠ACB=∠MCN，
∴△ACB∽△MCN，
∴∠ABC=∠CNM．
【解析】(1)根据题意画出图形即可；
(2)取格点T，S，使DS=3，CT=2，连接ST交CD于R，连接BR并延长交x轴于E，则点E为所求；
(3)设AC与BE的交点为K，连接OK并延长交BC于F，则点F为所求；
(4)取格点R，J，G，H，连接RC，OB交于点K，连接RG，JB交于点P，连接KP并延长交AC于点N，则∠ABC=∠CNM；
本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】1652
【解析】解：(1)根据题意设C1的解析式为：y=a(x−252)2+50，
将A(0,754)代入可得：754=a⋅(0−252)2+50，
解得a=−15，
∴y=−15(x−252)2+50，
令y=30，即−15(x−252)2+50=30，
解得x1=10，x2=452，
又xC>252，
∴xC=452，
∴0≤x≤452．
∴抛物线C1的解析式为y=−15(x−252)2+50，自变量x的取值范围为0≤x≤452；
(2)设OM=m，则ON=2m，
PM+QN=yP+yQ=−15(m−252)2+50+[−15(2m−252)2+50]
=−m2+15m+752
=−(m−152)2+3754，
∵0≤m≤4520≤2m≤452，
∴0≤m≤454，
∵−1<0，开口向下，且0<152<454，
∴当m=152时，(PM+QN)max=3754，
∴当OM为152时，两根支架PM与QN的长度之和最大，最大值为3754；
(3)根据题意知，点C坐标为(452,30)，
∵线段CD与直线y=−12x平行，
∴设线段CD所在直线的解析式为y=−12x+b，
把C(452,30)代入解析式得：30=−12×452+b，
解得b=1654，
∴线段CD所在直线的解析式为y=−12x+1654，
∵点D到x轴距离为5米，
∴5=−12x+1654，
解得x=1452，
∴D(1452,5)
∵C1与C2开口方向相反，形状相同，
∴C2解析式为y=15(x−m)2，
把D(1452,5)代入解析式得：15(1452−m)2=5，
解得m1=1552，m2=1352(舍去)，
∴C2解析式为y=15(x−1552)2，
∵D、E两点到x轴距离相等且为5米，
∴E(1652,5)，
故答案为：1652．
(1)根据题意设出抛物线解析式的顶点式，由待定系数法求出函数解析式，再求出自变量x的取值范围；
(2)设OM=m，则ON=2m，然后根据PM+QN=yP+yQ关于m的解析式，再由函数的性质求最值；
(3)先根据线段CD与直线y=−12x平行，求出直线CD的解析式，然后求出D点的坐标，再根据C1与C2开口方向相反，形状相同求出C2的解析式，再求出E点坐标．
本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式．
23.【答案】(1)证明：如图1，
作AG⊥BC于G，作DF⊥CE于F，
∴DF//AG，
∴BFFG=BDAD，
∵D是AB的中点，
∴BD=AD，
∴BFFG=1，
设BF=FG=a，则BG=2a，
∵AB=AC，DE=CD，
∴CG=BG=2a，EF=CF，BC=2BG=4a，
∵CF=FG+CG=3a，
∴EF=CF=3a，
∴BE=EF−BF=2a，
∴BC=2BE；
(2)解：如图2，
作EH//AB，交AC于G，
∴∠B=∠CEG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠CEG=∠ACB，
∴CG=EG，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠DEC−∠CEG=∠DCE−∠ACB，
∴∠DEH=∠DCF，
∵∠CED=∠CED，
∴△DEH≌△DCF(ASA)，
∴DH=DF，
∵DF=EF=12DE=12CD，
∴DH=12CD，
∵EH//AB，
∴BEBC=DHCD=12；
(3)解：如图，
作BG//AB，交CA的延长线于G，交CD的延长线于H，
由(2)得：△GEF≌△GCH，
∴EF=CH，
∵DE=CD，
∴DH=DF，
∴DHCH=DFEF=n，
∴DHCD=n1−n，
∵BG//AB，
∴BEBC=DH CD=n1−n，
作AT⊥BC于T，
∵AB=AC，
∴BC=2BT，
∵BT=AB⋅cos∠ABC=cosα，
∴BC=2cosα，
∴BE2cosα=n1−n，
∴BE=2n⋅cosα1−n．
【解析】(1)作AG⊥BC于G，作DF⊥CE于F，由DF//AG，得BFFG=BDAD=1设BF=FG=a，则BG=2a，CG=BG=2a，EF=CF，BC=2BG=4a，CF=FG+CG=3a，EF=CF=3a，进一步得出结论；
(2)作EH//AB，交AC于G，可证得∠CEG=∠ACB，从而CG=EG，可证得∠DEH=∠DCF，进而得出△DEH≌△DCF，从而DH=DF，进而推出DH=12CD，进一步得出结果；
(3)作BG//AB，交CA的延长线于G，交CD的延长线于H，由(2)得EF=CH，进而得出DH=DF，从而DHCH=DFEF=n，从而推出DHCD=n1−n，从而得出BEBC=DH CD=n1−n，作AT⊥BC于T，可得出BC=2cosα，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平分线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24.【答案】解：(1)把(1,−4)，(−1,0)代入y=ax2+bx−3，得a+b−3=−4a−b−3=0，
解得，a=1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)∵2a−b=1，
∴b=2a−1，
把b=2a−1代入y=ax2+bx−3得，y=ax2+(2a−1)x−3=(x2+2x)a−x−3，
令x2+2x=0，则x1=0，x2=−2，
∴当x1=0时，y=0−0−3=−3，当x2=−2时，y=0−(−2)−3=−1，
∴对于任意不为零的实数a，二次函数y=ax2+bx−3的图象都经过两个定点(−2,−1)和(0,−3)，
把(−2,−1)和(0,−3)代入y=kx+t，得−2k+t=−1t=−3，
解得，k=−1t=−3，
∴该直线的表达式为y=−x−3；
(3)由(2)得y=ax2+2ax−x−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2a−1a=1a−2，
∵M、A两点关于抛物线的对称轴对称，由(2)得A(−2,−1)、B(0,−3)，
∴点M的坐标为(2a−2,−1)，
设P(x,ax2+2ax−x−3)，过点P作PH//y轴，PH交直线AB于点H，过点M作MN//y轴，MN交直线AB于点N，如图，
则H(x,−x−3)，N(2a−2,−2a−1)，
∴PH=−x−3−(ax2+2ax−x−3)=−ax2−2ax，MN=−1−(−2a−1)=2a，
∵PH//y轴，MN//y轴，
∴PH//MN，
∴△PQH∽△MQN，
∴PQMQ=PHMN，
∴当PQMQ=13时，有−ax2−2ax2a=13，
整理得，3a2x2+6a2x2+2=0，
∵点P为A，B之间的抛物线上一动点，
∴满足方程3a2x2+6a2x2+2=0的x值只有一个，
即方程3a2x2+6a2x2+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(6a2)2−4×3a2×2=0，
解得a2=0(舍去)或a=± 63，
∵a>0，故a= 63，
∴b=2 63−1，
∴抛物线的解析式为y= 63x2+(2 63−1)x−3．
【解析】(1)把(1,−4)，(−1,0)代入y=ax2+bx−3，得关于a和b的方程组，解方程组即可；
(2)二次函数的表达式转化为y=(x2+2x)a−x−3，令x2+2x=0，求出A、B的坐标，再把A、B的坐标代入y=kx+t，求出k、t的值即可；
(3)根据对称性求出点M的坐标为(2a−2,−1)，设P(x,ax2+2ax−x−3)，过点P作PH//y轴，PH交直线AB于点H，过点M作MN//y轴，MN交直线AB于点N，则H(x,−x−3)，N(2a−2,−2a−1)，求出PH、MN，再证△PQH∽△MQN推出PQMQ=PHMN，根据PQMQ=13时列出方程，由于点P为A，B之间的抛物线上一动点，所以满足方程的x值只有一个，所以Δ=0，由此求出a的值．
本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点，用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识，(2)中把二次函数的表达式转化为y=(x2+2x)a−x−3是解题的关键，(3)中添加辅助线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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