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2023年浙江省杭州市滨江区江南实验学校中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2023年浙江省杭州市滨江区江南实验学校中考数学模拟试卷（4月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省杭州市滨江区江南实验学校中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. 4=±2 B. ± 52=−5 C. (−7)2=7 D. −3=− 3
2. 数据1.88亿用科学记数法表示为( )
A. 1.88×109 B. 1.88×108 C. 11.8×107 D. 0.188×1010
3. 如图所示，直线a//b，∠2=31°，∠A=28°，则∠1=( )
A. 61°
B. 60°
C. 59°
D. 58°
4. 已知实数a≤b≤c，则( )
A. a+c≤2b B. a+b≤3c C. a+b≥2c D. b≤a+c
5. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是( )
A. 4.2
B. 5.15
C. 3.69
D. 8
6. 已知公式u=S1−S2t−1(u≠0)，则公式变形后t等于( )
A. S1−S2−uu B. S1−S2+uu C. uS1−S2−u D. uS1−S2+u
7. 古代曾有人用如下的方法给大象称重：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤，则下列说法正确的是( )
A. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得20x−3×120=(20+1)x−120
B. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得20x+3×120=(20+1)x−120
C. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得y+3×12020=y+12020+1
D. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得y−3×12020=y−12020+1
8. 若点A(a,4)在第二象限，则点A关于直线m(直线m上各点的横坐标都是2)对称的点坐标是( )
A. (−a,4) B. (4−a,4) C. (−a−4,−4) D. (−a−2,−4)
9. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x−3)2+k与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，其中a
B. 当m>0时，a+b>c+d，b−a=d−c
C. 当m<0时，a+b=c+d，b−a>d−c
D. 当m<0时，a+b>c+d，b−a
A. r(2−sinθ)
B. r(2+sinθ)
C. r(2−cosθ)
D. r(2+cosθ)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：sin60°=______．
12. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为 ．
13. 已知一次函数y=2x−2与y=ax+b(a为常数，a≠0)的图象的交点的横坐标是2，则方程组2x−y=2y=ax+b的解为______ ．
14. 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2m，它的影子BC=1.5m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木杆PQ的长度为______m.
15. 某地2020年、2021年、2022年的森林面积(单位：km2)分别是a，b，c，若2022年与2021年森林面积增长率相同，则a，b，c满足的数量关系为______ ．
16. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边AC上，AD=BD，将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，连接AC′.若AP=9，AC=16，则△AC′D的面积为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 小辉在解一道分式方程1−x2−x−1=3x−4x−2的过程如下：
方程整理，得x−1x−2−1=3x−4x−2，
去分母，得x−1−1=3x−4，
移项，合并同类项，得x=1，
检验，经检验x=1是原来方程的根．
小辉的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
四、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组(每组10人)学生成绩如下(单位：分)
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
s乙2
(1)以上成绩统计分析表中a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是______ 组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中(AB
(2)若∠A=90°，AB=3，CD=5，求BD的长．
20. (本小题10.0分)
已知一次函数y1=kx+2的图象与x轴交于点B(−2,0)，与函数y2=mx的图象交于点A．
(1)若点点A坐标为(1,a)．
①求k和m的值．
②当−3
21. (本小题10.0分)
已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠DAB=2∠ABC；
(2)若tan∠ADC=12，BC=4，求⊙O的半径．
22. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上不同的两点．
①若y1=y2，求x1，x2之间的数量关系．
②若x1+x2=2(x1−x2)，求y1−y2的最小值．
23. (本小题12.0分)
如图1，正方形AEFG的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，AD与FG交于点H，连接DE．
(1)求∠DEC的度数．
(2)若点F是CD的中点，求证：点H是FG的中点．
(3)如图2，若正方形AEFG的顶点E在矩形ABCD的边BC上，顶点F在矩形ABCD的边CD的延长线上，点H为AD，GF的延长线的交点，设AB=a，BE=b，∠FED=α，求证：ab=1−tanα1+tanα．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 4=2，故该选项不正确，不符合题意；
B、± 52=±5，故该选项不正确，不符合题意；
C、 (−7)2=7，故该选项正确，符合题意；
D、 −3，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据平方根的定义以及算术平方根的性质逐项分析判断即可求解．
本题考查了求一个数的平方根，算术平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
2.【答案】B
【解析】解：1.88亿=188000000=1.88×108．
故选：B．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠DBC，
∵∠DBC=∠A+∠2，
=28°+31°
=59°．
故选：C．
根据三角形外角的性质∠DBC=∠A+∠2，欲求∠1，需求∠DBC.根据平行线的性质，由a//b，得∠1=∠DBC，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：当a=−12，b=0，c=1时，a+c>2b，故A选项错误；
当a=−12，b=0，c=1时，a+b<2c，故C选项错误；
当a=−2，b=0，c=1时，a+c
根据实数a≤b≤c，逐项给出a、b、c的值举例，看能否举出反例，即可得到答案．
本题考查不等式的性质，可以通过举反例来得到结论．
5.【答案】C
【解析】解：过D点作DH⊥OB于点H，如图所示：
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH=DE=4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2，
故选：C．
过D点作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短进行判断即可．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵u=S1−S2t−1(u≠0)，
∴ut−u=S1−S2，
∴ut=S1−S2+u，
则t=S1−S2+uu，
故选：B．
先两边都乘以t−1，再将左边的−u移到右边，最后两边都除以u即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
7.【答案】D
【解析】解：设每块条形石的重量为x斤，可列方程得20x+3×120=(20+1)x+120，故A、B均不正确；
设大象的重量为y斤，可列方程得y−3×12020=y−12020+1，故C不正确，D正确．
故选：D．
设每块条形石的重量为x斤和大象的重量为y斤，分别列出方程逐一对照解题即可．
本题考查一元一次方程的应用，找准等量列方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵直线m上各点的横坐标都是2，
∴直线为：x=2，
∵点A(a,4)在第二象限，
∴a到2的距离为：2−a，
∴点A关于直线m对称的点的横坐标是：2−a+2=4−a，
故A点对称的点的坐标是：(4−a,4)．
故选：B．
利用已知直线m上各点的横坐标都是1，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．
此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：当m>0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴a+b=c+d=6，且b−a>d−c；
当m<0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴a+b=c+d=6，且b−a
分m>0和m<0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．
10.【答案】A
【解析】解：作直径AP，连接BP，
∴∠ABP=90°，
∵∠P=∠C=θ，PA=2r，
∴sinP=sinθ=ABAP，
∴AB=2rsinθ，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB=rsinθ，
∵GE+FH=GH−EF，
∴当GH长最大时，GE+FH有最大值，
∴当GH是圆直径时，GH最大．
∴GE+FH最大值是2r−rsinθ=r(2−sinθ)．
故选：A．
作直径AP，连接BP，由锐角的正弦得到AB=2rsinθ，由三角形中位线定理得到FE=rsinθ，因此当GH是圆直径时，GE+FH有最大值，于是即可得到答案．
本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形，关键是作直径构造直角三角形，求出AB的长，并且明白当GH是直径时，GE+FH有最大值．
11.【答案】 32
【解析】
【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】
解：sin60°= 32．
故答案为： 32．
12.【答案】35
【解析】解：∵一只不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为：32+3=35．
故答案为：35．
由一只不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】x=2y=2
【解析】解：由题意，∵一次函数y=2x−2与y=ax+b(a为常数，a≠0)的图象的交点的横坐标是2，
∴交点的纵坐标为2×2−2=2．
∴方程组2x−y=2y=ax+b的解为x=2y=2．
故答案为：x=2y=2．
依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为2，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
14.【答案】2.4
【解析】解：过N点作ND⊥PQ于D，
则BCAB=DNQD，
又∵AB=2m，BC=1.5m，PM=1.2m，NM=0.8m，则DN=1.2m，
∴QD=AB⋅DNBC=1.6，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4(m)．
故答案为：2.4．
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．
此题主要考查了相似三角形的应用，能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解题关键．
15.【答案】ac=b2
【解析】解：设2022年与2021年森林面积增长率为x，则b=a(1+x)，c=a(1+x)2，
∴ac=a2(1+x)2=b2，
∴a，b，c满足的数量关系为ac=b2．
故答案为：ac=b2．
设2022年与2021年森林面积增长率为x，利用该地2021年的森林面积=该地2020年的森林面积×(1+森林面积增长率)及该地2022年的森林面积=该地2020年的森林面积×(1+森林面积增长率)2，可用含a，x的代数式表示出b，c，进而可得出ac=b2．
本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，找出ac=b2是解题的关键．
16.【答案】12 3
【解析】解：过点A作AM⊥DC′于点M，
∵将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，
∴∠PBD=∠DBC，∠BDC=∠BDC′，
∵∠BAC=60°，AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠ABP+∠PBD=∠C+∠DBC，
∴∠C=∠ABP，
∵∠PAB=∠BAC，
∴△APB∽△ABC，
∴APAB=ABAC，
∴AB2=AP⋅AC=9×16=144，
∴AB=AD=12，
∴PD=AD−AP=12−9=3，CD=C′D=AC−AD=16−12=4，
∵∠BDC=∠BDC′，∠ADB=60°，∠BDC+∠ADB=180°，
∴∠BDC′=120°，
∴∠ADC′=60°，
∵AM⊥DC′，
∴cos∠ADC′=sin60°= 32=AMAD，
∴AM=6 3，
∴S△ACD=12CD⋅AM=12×4×6 3=12 3．
故答案为：12 3．
过点A作AM⊥射线DC′于点M，先证△ABD是等边三角形，再证△APB∽△ABC，得AB2=AP⋅AC=4×9=36，得AB=12，故PD=4，CD=C′D=6，由折叠的性质可知∠ADC′=60°，利用三角函数求得DM的长，进而得点C′与点M重合，从而求得AC′的长，然后进一步解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
17.【答案】解：有错误，
正确的解答如下：
整理，得：x−1x−2−1=3x−4x−2，
去分母，得：x−1−(x−2)=3x−4，
解得：x=53，
检验：当x=53时，x−2≠0，
∴x=53是原分式方程的解．
【解析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
18.【答案】6 7 7 甲
【解析】解：(1)把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是6+62=6，则中位数a=6；
b=110×(5+6+6+6+7+7+7+7+9+10)=7，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c=7．
故答案为：6，7，7；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
(3)选乙组参加决赛．理由如下：
S乙2=110[(5−7)2+(6−7)2+⋅⋅⋅+(10−7)2]=110(4+1+⋅⋅⋅+9)=110×20=2，
∵甲、乙两组学生平均数相同，而S甲2=3.76>S乙2=2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
(2)根据中位数的意义即可得出答案；
(3)根据平均数与方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵CD//AB，CD=CB，CE=AB，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
CB=CD∠ABC=∠DCEAB=EC，
∴△ABC≌△ECD(SAS)．
(2)解：∵∠A=90°，
∴∠CED=∠A=90°，
∴∠BED=180°−∠CED=90°，
∵△ABC≌△ECD，
∴EC=AB=3，CD=BC=5，
∴DE=AC= BC2−AB2= 52−32=4，
∴BE=BC−CE=2，
∴BD= DE2+BE2= 42+22=2 5．
【解析】(1)由CD//AB得∠ABC=∠ECD，而CD=CB，CE=AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；
(2))由∠A=90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED=∠CED=∠A=90°，然后利用勾股定理即可解决问题．
此题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)①将点B(−2,0)代入y1=kx+2，得：0=−2k+2，
∴k=1，
∴一次函数为：y1=x+2，
将A(1,a)代入y1=x+2得：a=1+2=3，
∴A(1,3)，
将A(1,3)代入y2=mx得；m=3，
②当x+2=3x时，解得：x1=−3，x2=1，
由图象可知：当−3y2，
(2)由题意可知D(1,n−4)，
∵C、D都在y2上，
∴n=m3n−4=m，
解得：m=−6．
【解析】(1)①将点B(−2,0)代入y1=kx+2可求k，将A(1,3)代入y2=mx可求m；
②求出两个函数的交点，根据图象可得结果；
(2)写出点D的坐标，将C、D两点分别代入y2即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的相关知识是解决本题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC//DE，
∴∠DAB=∠AOC，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB=2∠ABC；
(2)解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由圆周角定理得：∠ABC=∠ADC，
∴tan∠ABC=tan∠ADC=12，即ACBC=12，
∵BC=4，
∴AC=2，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 22+42=2 5，
∴⊙O的半径为 5．
【解析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
(1)连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，进而证明OC//DE，根据平行线的性质得到∠DAB=∠AOC，根据圆周角定理证明结论；
(2)连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据正切的定义求出AC，根据勾股定理求出AB，得到答案．
22.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
即y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)，
即3a=3，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−4x+3；
(2)由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x=−2，
①若y1=y2，则M、N关于抛物线对称轴对称，
即x=−2=12(x1+x2)，
即x1+x2=−4；
②y1−y2=(x12−4x1+3)−(x22−4x2+3)=(x1+x2)(x1−x2)+4(x1−x2)，
∵x1+x2=2(x1−x2)，
∴y1−y2=(x1+x2)(x1−x2)+4(x1−x2)=2(x1−x2)(x1−x2)+4(x1−x2)
=2(x1−x2−1)2−2≥−2，
即y1−y2的最小值为−2．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①若y1=y2，则M、N关于抛物线对称轴对称，即可求解；
②y1−y2=(x12−4x1+3)−(x22−4x2+3)=(x1+x2)(x1−x2)+4(x1−x2)，而x1+x2=2(x1−x2)，得到y1−y2的函数表达式，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数函数表达式的求解、函数的对称性、配方法求函数的最值等，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】(1)解：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
又∵∠B=∠C，AE=EF，
∴△ABE≌△ECF(ASA)，
∴AB=EC，
∵AB=CD，
∴EC=CD，
∴∠DEC=45°；
(2)证明：∵∠EFC+∠HFD=180°−∠GFE=90°，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠HFD=∠FEC，
又∵∠C=∠HDF=90°，
∴△ECF∽△FDH，
∴ECDF=CFDH=EFFH，
∵EC=CD，F为CD中点，
∴EC=2DF，
∴EFHF=ECDF=2，
∴EF=2FH，
∵EF=GF，
∴GF=2FH，即点H是FG的中点．
(3)解：∵CDDF=32，DC=EC，
∴CEDF=32，
∵∠EFC+∠HFD=90°，∠HFD+∠H=90°，
∴∠EFC=∠H，
又∵∠C=∠FDH=90°，
∴△ECF∽△FDH，
∴ECDF=EFFH=32，
∵EF=GF，
∴FGFH=32，即FHFG=23．
ABBE=1−FMFE1+FMFE=FE−FMFE+FM=FHHG=23．
【解析】(1)根据AAS证明△ABE≌△ECF可得AB=EC，再证明EC=CD即可解答；
(2)证明△ECF∽△FDH，利用相似三角形的判定和性质以及相似比的之间关系式解答即可；
(3)根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查相似三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答．
2023年浙江省杭州市滨江区江南实验学校中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. 4=±2 B. ± 52=−5 C. (−7)2=7 D. −3=− 3
2. 数据1.88亿用科学记数法表示为( )
A. 1.88×109 B. 1.88×108 C. 11.8×107 D. 0.188×1010
3. 如图所示，直线a//b，∠2=31°，∠A=28°，则∠1=( )
A. 61°
B. 60°
C. 59°
D. 58°
4. 已知实数a≤b≤c，则( )
A. a+c≤2b B. a+b≤3c C. a+b≥2c D. b≤a+c
5. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是( )
A. 4.2
B. 5.15
C. 3.69
D. 8
6. 已知公式u=S1−S2t−1(u≠0)，则公式变形后t等于( )
A. S1−S2−uu B. S1−S2+uu C. uS1−S2−u D. uS1−S2+u
7. 古代曾有人用如下的方法给大象称重：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤，则下列说法正确的是( )
A. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得20x−3×120=(20+1)x−120
B. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得20x+3×120=(20+1)x−120
C. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得y+3×12020=y+12020+1
D. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得y−3×12020=y−12020+1
8. 若点A(a,4)在第二象限，则点A关于直线m(直线m上各点的横坐标都是2)对称的点坐标是( )
A. (−a,4) B. (4−a,4) C. (−a−4,−4) D. (−a−2,−4)
9. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x−3)2+k与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，其中a
B. 当m>0时，a+b>c+d，b−a=d−c
C. 当m<0时，a+b=c+d，b−a>d−c
D. 当m<0时，a+b>c+d，b−a
A. r(2−sinθ)
B. r(2+sinθ)
C. r(2−cosθ)
D. r(2+cosθ)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：sin60°=______．
12. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为 ．
13. 已知一次函数y=2x−2与y=ax+b(a为常数，a≠0)的图象的交点的横坐标是2，则方程组2x−y=2y=ax+b的解为______ ．
14. 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2m，它的影子BC=1.5m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木杆PQ的长度为______m.
15. 某地2020年、2021年、2022年的森林面积(单位：km2)分别是a，b，c，若2022年与2021年森林面积增长率相同，则a，b，c满足的数量关系为______ ．
16. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边AC上，AD=BD，将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，连接AC′.若AP=9，AC=16，则△AC′D的面积为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 小辉在解一道分式方程1−x2−x−1=3x−4x−2的过程如下：
方程整理，得x−1x−2−1=3x−4x−2，
去分母，得x−1−1=3x−4，
移项，合并同类项，得x=1，
检验，经检验x=1是原来方程的根．
小辉的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
四、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组(每组10人)学生成绩如下(单位：分)
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
s乙2
(1)以上成绩统计分析表中a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是______ 组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中(AB
(2)若∠A=90°，AB=3，CD=5，求BD的长．
20. (本小题10.0分)
已知一次函数y1=kx+2的图象与x轴交于点B(−2,0)，与函数y2=mx的图象交于点A．
(1)若点点A坐标为(1,a)．
①求k和m的值．
②当−3
21. (本小题10.0分)
已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠DAB=2∠ABC；
(2)若tan∠ADC=12，BC=4，求⊙O的半径．
22. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上不同的两点．
①若y1=y2，求x1，x2之间的数量关系．
②若x1+x2=2(x1−x2)，求y1−y2的最小值．
23. (本小题12.0分)
如图1，正方形AEFG的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，AD与FG交于点H，连接DE．
(1)求∠DEC的度数．
(2)若点F是CD的中点，求证：点H是FG的中点．
(3)如图2，若正方形AEFG的顶点E在矩形ABCD的边BC上，顶点F在矩形ABCD的边CD的延长线上，点H为AD，GF的延长线的交点，设AB=a，BE=b，∠FED=α，求证：ab=1−tanα1+tanα．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 4=2，故该选项不正确，不符合题意；
B、± 52=±5，故该选项不正确，不符合题意；
C、 (−7)2=7，故该选项正确，符合题意；
D、 −3，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据平方根的定义以及算术平方根的性质逐项分析判断即可求解．
本题考查了求一个数的平方根，算术平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
2.【答案】B
【解析】解：1.88亿=188000000=1.88×108．
故选：B．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠DBC，
∵∠DBC=∠A+∠2，
=28°+31°
=59°．
故选：C．
根据三角形外角的性质∠DBC=∠A+∠2，欲求∠1，需求∠DBC.根据平行线的性质，由a//b，得∠1=∠DBC，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：当a=−12，b=0，c=1时，a+c>2b，故A选项错误；
当a=−12，b=0，c=1时，a+b<2c，故C选项错误；
当a=−2，b=0，c=1时，a+c
根据实数a≤b≤c，逐项给出a、b、c的值举例，看能否举出反例，即可得到答案．
本题考查不等式的性质，可以通过举反例来得到结论．
5.【答案】C
【解析】解：过D点作DH⊥OB于点H，如图所示：
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH=DE=4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2，
故选：C．
过D点作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短进行判断即可．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵u=S1−S2t−1(u≠0)，
∴ut−u=S1−S2，
∴ut=S1−S2+u，
则t=S1−S2+uu，
故选：B．
先两边都乘以t−1，再将左边的−u移到右边，最后两边都除以u即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
7.【答案】D
【解析】解：设每块条形石的重量为x斤，可列方程得20x+3×120=(20+1)x+120，故A、B均不正确；
设大象的重量为y斤，可列方程得y−3×12020=y−12020+1，故C不正确，D正确．
故选：D．
设每块条形石的重量为x斤和大象的重量为y斤，分别列出方程逐一对照解题即可．
本题考查一元一次方程的应用，找准等量列方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵直线m上各点的横坐标都是2，
∴直线为：x=2，
∵点A(a,4)在第二象限，
∴a到2的距离为：2−a，
∴点A关于直线m对称的点的横坐标是：2−a+2=4−a，
故A点对称的点的坐标是：(4−a,4)．
故选：B．
利用已知直线m上各点的横坐标都是1，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．
此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：当m>0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴a+b=c+d=6，且b−a>d−c；
当m<0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴a+b=c+d=6，且b−a
分m>0和m<0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．
10.【答案】A
【解析】解：作直径AP，连接BP，
∴∠ABP=90°，
∵∠P=∠C=θ，PA=2r，
∴sinP=sinθ=ABAP，
∴AB=2rsinθ，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB=rsinθ，
∵GE+FH=GH−EF，
∴当GH长最大时，GE+FH有最大值，
∴当GH是圆直径时，GH最大．
∴GE+FH最大值是2r−rsinθ=r(2−sinθ)．
故选：A．
作直径AP，连接BP，由锐角的正弦得到AB=2rsinθ，由三角形中位线定理得到FE=rsinθ，因此当GH是圆直径时，GE+FH有最大值，于是即可得到答案．
本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形，关键是作直径构造直角三角形，求出AB的长，并且明白当GH是直径时，GE+FH有最大值．
11.【答案】 32
【解析】
【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】
解：sin60°= 32．
故答案为： 32．
12.【答案】35
【解析】解：∵一只不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为：32+3=35．
故答案为：35．
由一只不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】x=2y=2
【解析】解：由题意，∵一次函数y=2x−2与y=ax+b(a为常数，a≠0)的图象的交点的横坐标是2，
∴交点的纵坐标为2×2−2=2．
∴方程组2x−y=2y=ax+b的解为x=2y=2．
故答案为：x=2y=2．
依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为2，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
14.【答案】2.4
【解析】解：过N点作ND⊥PQ于D，
则BCAB=DNQD，
又∵AB=2m，BC=1.5m，PM=1.2m，NM=0.8m，则DN=1.2m，
∴QD=AB⋅DNBC=1.6，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4(m)．
故答案为：2.4．
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．
此题主要考查了相似三角形的应用，能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解题关键．
15.【答案】ac=b2
【解析】解：设2022年与2021年森林面积增长率为x，则b=a(1+x)，c=a(1+x)2，
∴ac=a2(1+x)2=b2，
∴a，b，c满足的数量关系为ac=b2．
故答案为：ac=b2．
设2022年与2021年森林面积增长率为x，利用该地2021年的森林面积=该地2020年的森林面积×(1+森林面积增长率)及该地2022年的森林面积=该地2020年的森林面积×(1+森林面积增长率)2，可用含a，x的代数式表示出b，c，进而可得出ac=b2．
本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，找出ac=b2是解题的关键．
16.【答案】12 3
【解析】解：过点A作AM⊥DC′于点M，
∵将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，
∴∠PBD=∠DBC，∠BDC=∠BDC′，
∵∠BAC=60°，AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠ABP+∠PBD=∠C+∠DBC，
∴∠C=∠ABP，
∵∠PAB=∠BAC，
∴△APB∽△ABC，
∴APAB=ABAC，
∴AB2=AP⋅AC=9×16=144，
∴AB=AD=12，
∴PD=AD−AP=12−9=3，CD=C′D=AC−AD=16−12=4，
∵∠BDC=∠BDC′，∠ADB=60°，∠BDC+∠ADB=180°，
∴∠BDC′=120°，
∴∠ADC′=60°，
∵AM⊥DC′，
∴cos∠ADC′=sin60°= 32=AMAD，
∴AM=6 3，
∴S△ACD=12CD⋅AM=12×4×6 3=12 3．
故答案为：12 3．
过点A作AM⊥射线DC′于点M，先证△ABD是等边三角形，再证△APB∽△ABC，得AB2=AP⋅AC=4×9=36，得AB=12，故PD=4，CD=C′D=6，由折叠的性质可知∠ADC′=60°，利用三角函数求得DM的长，进而得点C′与点M重合，从而求得AC′的长，然后进一步解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
17.【答案】解：有错误，
正确的解答如下：
整理，得：x−1x−2−1=3x−4x−2，
去分母，得：x−1−(x−2)=3x−4，
解得：x=53，
检验：当x=53时，x−2≠0，
∴x=53是原分式方程的解．
【解析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
18.【答案】6 7 7 甲
【解析】解：(1)把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是6+62=6，则中位数a=6；
b=110×(5+6+6+6+7+7+7+7+9+10)=7，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c=7．
故答案为：6，7，7；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
(3)选乙组参加决赛．理由如下：
S乙2=110[(5−7)2+(6−7)2+⋅⋅⋅+(10−7)2]=110(4+1+⋅⋅⋅+9)=110×20=2，
∵甲、乙两组学生平均数相同，而S甲2=3.76>S乙2=2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
(2)根据中位数的意义即可得出答案；
(3)根据平均数与方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵CD//AB，CD=CB，CE=AB，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
CB=CD∠ABC=∠DCEAB=EC，
∴△ABC≌△ECD(SAS)．
(2)解：∵∠A=90°，
∴∠CED=∠A=90°，
∴∠BED=180°−∠CED=90°，
∵△ABC≌△ECD，
∴EC=AB=3，CD=BC=5，
∴DE=AC= BC2−AB2= 52−32=4，
∴BE=BC−CE=2，
∴BD= DE2+BE2= 42+22=2 5．
【解析】(1)由CD//AB得∠ABC=∠ECD，而CD=CB，CE=AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；
(2))由∠A=90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED=∠CED=∠A=90°，然后利用勾股定理即可解决问题．
此题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)①将点B(−2,0)代入y1=kx+2，得：0=−2k+2，
∴k=1，
∴一次函数为：y1=x+2，
将A(1,a)代入y1=x+2得：a=1+2=3，
∴A(1,3)，
将A(1,3)代入y2=mx得；m=3，
②当x+2=3x时，解得：x1=−3，x2=1，
由图象可知：当−3
(2)由题意可知D(1,n−4)，
∵C、D都在y2上，
∴n=m3n−4=m，
解得：m=−6．
【解析】(1)①将点B(−2,0)代入y1=kx+2可求k，将A(1,3)代入y2=mx可求m；
②求出两个函数的交点，根据图象可得结果；
(2)写出点D的坐标，将C、D两点分别代入y2即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的相关知识是解决本题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC//DE，
∴∠DAB=∠AOC，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB=2∠ABC；
(2)解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由圆周角定理得：∠ABC=∠ADC，
∴tan∠ABC=tan∠ADC=12，即ACBC=12，
∵BC=4，
∴AC=2，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 22+42=2 5，
∴⊙O的半径为 5．
【解析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
(1)连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，进而证明OC//DE，根据平行线的性质得到∠DAB=∠AOC，根据圆周角定理证明结论；
(2)连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据正切的定义求出AC，根据勾股定理求出AB，得到答案．
22.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
即y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)，
即3a=3，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−4x+3；
(2)由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x=−2，
①若y1=y2，则M、N关于抛物线对称轴对称，
即x=−2=12(x1+x2)，
即x1+x2=−4；
②y1−y2=(x12−4x1+3)−(x22−4x2+3)=(x1+x2)(x1−x2)+4(x1−x2)，
∵x1+x2=2(x1−x2)，
∴y1−y2=(x1+x2)(x1−x2)+4(x1−x2)=2(x1−x2)(x1−x2)+4(x1−x2)
=2(x1−x2−1)2−2≥−2，
即y1−y2的最小值为−2．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①若y1=y2，则M、N关于抛物线对称轴对称，即可求解；
②y1−y2=(x12−4x1+3)−(x22−4x2+3)=(x1+x2)(x1−x2)+4(x1−x2)，而x1+x2=2(x1−x2)，得到y1−y2的函数表达式，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数函数表达式的求解、函数的对称性、配方法求函数的最值等，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】(1)解：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
又∵∠B=∠C，AE=EF，
∴△ABE≌△ECF(ASA)，
∴AB=EC，
∵AB=CD，
∴EC=CD，
∴∠DEC=45°；
(2)证明：∵∠EFC+∠HFD=180°−∠GFE=90°，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠HFD=∠FEC，
又∵∠C=∠HDF=90°，
∴△ECF∽△FDH，
∴ECDF=CFDH=EFFH，
∵EC=CD，F为CD中点，
∴EC=2DF，
∴EFHF=ECDF=2，
∴EF=2FH，
∵EF=GF，
∴GF=2FH，即点H是FG的中点．
(3)解：∵CDDF=32，DC=EC，
∴CEDF=32，
∵∠EFC+∠HFD=90°，∠HFD+∠H=90°，
∴∠EFC=∠H，
又∵∠C=∠FDH=90°，
∴△ECF∽△FDH，
∴ECDF=EFFH=32，
∵EF=GF，
∴FGFH=32，即FHFG=23．
ABBE=1−FMFE1+FMFE=FE−FMFE+FM=FHHG=23．
【解析】(1)根据AAS证明△ABE≌△ECF可得AB=EC，再证明EC=CD即可解答；
(2)证明△ECF∽△FDH，利用相似三角形的判定和性质以及相似比的之间关系式解答即可；
(3)根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查相似三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答．
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