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2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知线段a、b，如果a：b=2：3，那么下列各式中一定正确的是( )
A. 2a=3b B. a+b=5 C. a+ba=52 D. a+3b+2=1
2. 若(a+b+1)(a+b−1)=15，则 a+b的值是( )
A. ±2 B. 2 C. ±4 D. 4
3. 下列函数y是x的反比例函数的是( )
A. y= 3x B. y=ax C. y=1x2 D. y=13x
4. 化简二次根式(x−3) 13−x得( )
A. 3−x B. x−3 C. − 3−x D. − x−3
5. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，列命题说法错误的是( )
A. AP2=PB⋅AB B. AP：AB=PB：AP
C. BP2=AB⋅AP D. AP：PB=AB：AP
6. 已知反比例函数y=−5x，则下列描述正确的是( )
A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大
C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 图象必经过点(32,−53)
7. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对
8. 关于x的一元二次方程x2−3x+m=0无实数根，则反比例函数y=mx的图象分布在_____象限.( )
A. 第一和第二 B. 第二和第三 C. 第二和第四 D. 第一和第三
9. 已知菱形ABCD，边长为4，E，F分别在AB，AD上，BE=65，∠ABC=∠ECF=60°，则GFEG=( )
A. 13
B. 37
C. 25
D. 35
10. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x(cm)，观察弹簧测力计的示数y(N)的变化情况.实验数据记录如下表：
x(cm)
……
10
15
20
25
30
……
y(N)
……
45
30
22.5
18
15
……
下列说法不正确的是( )
A. 弹簧测力计的示数y(N)与支点O的距离x(cm)之间关系的图象如图
B. y与x的函数关系式为y=450x(x>0)
C. 当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D. 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知最简二次根式m+n+13m−n与二次根式 48可以合并成一项，则mn的值______ ．
12. 若a是关于x一元二次方程3x2−x−2023=0的一个实数根，则2023+2a−6a2的值是______ ．
13. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入
1
2
3
4
…
输出
3
6
3
2 3
…
那么当输入数据为8时，输出的数据是______ ．
14. 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，且x1<0
16. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，∠ABO=30°，顶点A，B恰好分别落在函数y=kx(x<0)和y=3x(x>0)的图象上，则k的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算： 18− 92− 3+ 6 3+( 3−2)0+ (1− 2)2；
(2)解方程：3x2−2x−1=0．
18. (本小题6.0分)
已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,1)，C(1,5)．
(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)若点P(x,y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为______ ；
(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．
19. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0．
(1)若x=1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)若x1、x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+2x1x2−x12x22=0，求m的值．
20. (本小题8.0分)
如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．
(1)图中相似三角形有______ 对；
(2)若AD2=AC⋅CM，∠BMA=72°，求∠BCD的度数．
21. (本小题10.0分)
如图，直线y=−x+2与反比例函数的图象交于A(−1,m)，B(n,−1)两点，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D．
(1)求m，n的值及反比例函数的解析式；
(2)当y=kx(k≠0)≤y=−x−2时，x的取值范围是______ ．
(3)在直线y=−x+2上是否存在点P，使得S△PAC=S△PBD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
在学习二次根式的性质时，知道( a)2=a2，利用这个性质我们可以求 4− 7+ 4+ 7的值．
解：设x= 4− 7+ 4+ 7，两边平方，x2=( 4− 7+ 4+ 7)2；
∴x2=4− 7+4+ 7+2 4− 7× 4+ 7；
=8+2× (4− 7)×(4+ 7)=8+2× 16−7=14；
∴x=± 14，∵x>0，∴x= 14；
∴ 4− 7+ 4+ 7= 14；
请利用以上方法，解决下列问题：
(1)求 3− 5+ 3+ 5；
(2)若 9− n+ 9+ n=4 2，求n的值．
23. (本小题10.0分)
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
24. (本小题12.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE.将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，连接BD并延长与直线CE交于点F．
(1)若AB=AC，将△ADE绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是 ；
(2)若AC=kAB(k≠1)，将△ADE绕点A逆时针旋转，则(1)的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)若AB=6，AC=8，将△ADE旋转至AD⊥BD时，请求出此时CF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、由a：b=2：3，得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
B、当a=4，b=6时，a：b=2：3，但是a+b=10，故本选项错误，不符合题意；
C、由a：b=2：3，得a+ba=52，故本选项正确，符合题意；
D、当a=4，b=6时，a：b=2：3，但是a+3b+2=78，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积．根据比例的性质进行判断即可．
2.【答案】B
【解析】解：(a+b+1)(a+b−1)=15，
变形得：[(a+b)+1][(a+b)−1]=15，
即(a+b)2−1=15，
移项得：(a+b)2=16，
∴a+b=4或a+b=−4，
又a+b≥0，∴a+b=−4舍去，
∴a+b=4，
则 a+b= 4=2．
故选：B．
把已知等式中的a+b看作一个整体，利用平方差公式化简已知等式的左边，移项开方后可得出a+b的值，再由a+b为算术平方根的被开方数，可得a+b为非负数，进而确定出a+b的值，代入所求的式子中化简，即可得到所求式子的值．
此题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，利用了整体代入的思想，用此方法解方程时，首先将方程左边化为完全平方形式，右边为非负常数，然后根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，得到降次的目的，从而求出方程的解．
3.【答案】D
【解析】解：A.由y= 3x得y是x的正比例函数，那么A不符合题意．
B.由y=ax(a≠0)得y是x的反比例函数，那么B不符合题意．
C.由y=1x2得y是x2的反比例函数，那么C不符合题意．
D.由y=13x得y是x的反比例函数，那么D符合题意．
故选：D．
根据反比例函数的定义(形如y=kx，k≠0的函数是反比例函数)解决此题．
本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵二次根式有意义，
∴3−x>0，
(x−3) 13−x
=(x−3) 3−x(3−x)2
=(x−3)×1|3−x|× 3−x
=(x−3)×13−x× 3−x
=− 3−x
故选：C．
先判断出3−x>0，再由二次根式的性质即可得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP2=BP⋅AB．
故A，B，D正确．
故选：C．
由AP>BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP⋅AB．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．
6.【答案】C
【解析】解：∵y=−5x，k=−5<0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A、B不符合题意；
当x=32时，则y=−103，
∴函数图象经过点(32,−103)，图象不可能与坐标轴相交，故选项D不符合题意，选项C符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征判断即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：甲：根据题意得：AB//A′B′，AC//A′C′，BC//B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ABA′B′=CDC′D′=35，ADA′D′=BCB′C′=57，
∴ABA′B′≠ADA′D′，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：A．
甲：根据题意得：AB//A′B′，AC//A′C′，BC//B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得ABA′B′≠ADA′D′，即新矩形与原矩形不相似．
此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0无实数根，
∴Δ=(−3)2−4m<0，
解得：m>94，
∴反比例函数y=mx的图象一定分布在第一、三象限．
故选：D．
根据根的判别式得出m的取值范围，进而结合反比例函数图象分布规律得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质以及根的判别式，正确得出m的取值范围是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
∵∠B=∠DAC=60°，
∴△BCE≌△ACF(ASA)，
∴BE=AF，
∵AB=4，BE=65，
∴AE=145，AF=65，
过E点作EM//BC交AC于点M，
∴EM//AD，
∴AFEM=GFEG，∠FAC=∠GME=60°，∠AEM=∠ABC=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE=EM=145，
∴GFEG=65145=37，
故选：B．
证明△BCE≌△ACF(ASA)，则BE=AF=65，过E点作EM//BC交AC于点M，可得△AEM是等边三角形，AFEM=GFEG，求出AE=EM=145，即可求GFEG=37．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设y=kx(k≠0)，
把x=10，y=45代入求得k=450，
∴y=450x，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为y=450x(x>0)，
把y=12.5代入y=450x，得x=36，
∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把y=12.5N代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
11.【答案】1
【解析】解：∵ 48=4 3，最简二次根式m+n+13m−n与二次根式 48可以合并成一项，
∴m+n+1=23m−n=3，
解得，m=1n=0，
∴mn=10=1．
故答案为：1．
先化简 48，根据同类二次根式的定义可得m+n+1=23m−n=3，解方程组即可求解．
本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
12.【答案】−2023
【解析】解：∵a是方程3x2−x−2023=0的一个实数根，
∴3a2−a−2023=0，
∴3a2−a=2023，
∴2023+2a−6a2=2023−2(3a2−a)=2023−2×2023=−2023．
故答案为：−2023．
先利用一元二次方程解的定义得到3a2−a=2023，再把2023+2a−6a2变形为2023−2(3a2−a)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
13.【答案】2 6
【解析】解：依题意， 1× 3= 3，
2× 3= 6，
3× 3=3，
4× 3=2 3……
∴当输入数据为8时，输出的数据是 8× 3= 24=2 6，
故答案为：2 6．
观察数据可得输入的数据先求算术平方根，然后乘以 3，即可求解．
本题考查了二次根式的乘法运算，数字类规律题，找到规律是解题的关键．
14.【答案】y1
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1<0
∴y1
15.【答案】65或3+ 52或3− 52
【解析】解：连接AP，DP，如图所示，
当△ABP∽△DCP时，
ABDC=BPCP，
∵AB=1、BC=6、CD=4，
∴14=BP6−BP，
解得BP=65；
当△ABP∽△PCD时，
ABPC=BPCD，
∵AB=1、BC=6、CD=4，
∴16−BP=BP4，
解得BP=3± 5；
故答案为：65或3+ 5或3− 5．
根据题意可知：存在两种情况，一种是△ABP∽△DCP，一种是△ABP∽△PCD，然后分别计算出BP的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】−1
【解析】解：过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N．
∵点B在函数y=3x(x>0)的图象上，
∴S△BOM=12k=32，
∵∠ANO=∠BMO=90°，∠AON=∠OBM=90°−∠BOM，
∴△ANO∽△OMB，
在Rt△AOB中，
∵∠ABO=30°，
∴AOBO=1 3，
∴S△ANOs△OMB=AO2BO2=13，
∴S△ANO=13S△OMB=13×32=12，
∴‖k‖=2S△ANO=2×12=1，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=−1．
故答案为：−1．
利用30°的直角三角形两条直角边的比值是一个定值，可用相似得出面积之比，k值就可求出．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标之积是常数k值．
17.【答案】解：(1) 18− 92− 3+ 6 3+( 3−2)0+ (1− 2)2
=3 2−3 22−(1+ 2)+1+ 2−1
=3 2−3 22−1− 2+1+ 2−1
=3 22−1；
(2)3x2−2x−1=0，
(x−1)(3x+1)=0，
x−1=0或3x+1=0，
x1=1，x2=−13．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，二次根式的性质与化简，零指数幂，二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】(2x,2y)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由题意得，点P1的坐标为(2x,2y)．
故答案为：(2x,2y)．
(3)如图，点G，H将线段AB三等分．
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)根据位似的性质可得答案．
(3)取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB于点G，H，此时APBM=AGBG=12，BNAQ=BHAH=12，即点G，H将线段AB三等分．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵x=1是方程的一个根，
∴2+4+m=0，
解得：m=−6，
设方程的另一个根是x1，那么x1+1=−2，
∴x1=−3，
即方程的另一根为−3；
(2)∵x1、x2是方程2x2+4x+m=0的两个实数根，
∴x1+x2=−2，x1x2=m2，
又∵x12+x22+2x1x2−x12x22=0，
∴(x1+x2)2−(x1x2)2=0，
即4−m24=0，
得m=±4，
又∵Δ=42−8m>0，
得m<2，
∴m=−4．
【解析】(1)将x=1代入，求得m的值，然后利用根与系数的关系可以求出另外一个根；
(2)x12+x22+2x1x2−x12x22=0，即(x1+x2)2−(x1x2)2=0，把两根的和与积代入，即可得到关于m的方程，从而求得m的值．
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是掌握它们并熟练应用．
20.【答案】6
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD//BC，AB//CD，
∴△HFD∽△HBC，△AMF∽△CMB，△BFA∽△HFD，△AMB∽△CMH，
∵△HFD∽△HBC，△BFA∽△HFD，
∴△HBC∽△BFA，
又△ABC∽△CDA，
∴图中相似三角形有6对．
故答案为：6．
(2)∵AD2=AC⋅CM，
∴AD：AC=CM：AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AB//CD，
∴BC：AC=CM：BC，
∵∠BCM=∠BCA，
∴△CBM∽△CAB，
∴∠ABC=∠BMC，
∵∠BMA=72°，
∴∠BMC=180°−∠BMA=108°，
∴∠ABC=108°，
∵AB//CD，
∴∠BCD+∠ABC=180°，
∴∠BCD=72°．
(1)由相似三角形的判定，即可解决问题；
(2)由△CBM∽△CAB，推出∠ABC=∠BMC=108°，由平行线的性质推出∠BCD+∠ABC=180°，即可求出∠BCD=72°．
本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法，由△CBM∽△CAB，得到∠ABC=∠BMC．
21.【答案】x≤−3或0
m=1+2或−1=−n+2，
∴m=3，n=3，
∴A(−1,3)，B(3,−1)，
把A(−1,3)，代入y=kx得k=−3，
∴y=−3x；
(2)∵y=−3xy=−x−2，
解得：x1=−3，x2=1
当y=−x−2≥y=−3x时，x的取值范围是：x≤−3或0
∵S△PAC=S△PBD，
即12AC×|x+1|=12BD×|x−3|，
AC×|x+1|=BD×|x−3|，
3×|x+1|=1×|x−3|，
|x+1||x−3|=13，
∴x+1x−3=13或x+1x−3=−13，
解得x=−3，或x=0，
∴P(−3,5)或(0,2)．
(1)把A(−1,m)、B(n,−1)代入解答即可；
(2)由图象直接可以得出取值范围．
(3)根据两点间的距离公式解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：利用反比例函数图象上点的坐标特征解答．
22.【答案】解：(1)设x= 3− 5+ 3+ 5，
两边平方得，x2=( 3− 5+ 3+ 5)2，
∴x2=3− 5+2 (3+ 5)(3− 5)+3+ 5=6+4=10，
∴x=± 10，
∵x>0，
∴x= 10，
∴ 3− 5+ 3+ 5= 10，
(2)∵ 9− n+ 9+ n=4 2，
两边平方，( 9− n+ 9+ n)2=(4 2)2，
即9− n+2 (9− n)(9− n)+9+ n=32，
∴ (9− n)(9− n)=7，
所以81−n=49，
解得n=32．
【解析】(1)设x= 3− 5+ 3+ 5，运用平方计算求出x=± 10，根据x>0求出结果即可；
(2)两边平方后整理得 (9− n)(9− n)=7，再平方解无理方程得到结果．
本题考查二次根式的性质，应用二次根式的性质计算是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100(1+x)2=144，
解得x=20%或x=−2.2(舍去)，
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得(m−30)[600−10(m−40)]=10000，
整理得m2−130m+4000=0，
解得m=50或m=80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m=50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【解析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
(2)设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．
本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
24.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)∵AB=AC，点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠BAD=∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE；
(2)此时(1)的结论不成立，BD与CE的数量关系为CE=kBD．
理由如下：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∴ADAE=ABAC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
∴CEBD=ACAB=k，
∴CE=kBD；
(3)∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
在Rt△ABD中，BD= AB2−AD2= 62−32=3 3，
由(2)知，△BAD∽△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，CEBD=ACAB=86=43，
∴CE=4 3，
又∵∠DAE=90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=3，
∴CF=CE−EF=4 3−3．
(1)根据题意易得AD=AE，然后可证△ACE≌△ABD，进而问题可求解；
(2)由题意易得ADAE=ABAC，∠BAD=∠CAE，然后可得△BAD∽△CAE，进而问题可求解；
(3)由题意易得∠ADB=∠ADF=90°，根据勾股定理可得BD=3 3，然后由(2)可求得CE=4 3，进而问题可求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
2022-2023学年山东省烟台市蓬莱区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知线段a、b，如果a：b=2：3，那么下列各式中一定正确的是( )
A. 2a=3b B. a+b=5 C. a+ba=52 D. a+3b+2=1
2. 若(a+b+1)(a+b−1)=15，则 a+b的值是( )
A. ±2 B. 2 C. ±4 D. 4
3. 下列函数y是x的反比例函数的是( )
A. y= 3x B. y=ax C. y=1x2 D. y=13x
4. 化简二次根式(x−3) 13−x得( )
A. 3−x B. x−3 C. − 3−x D. − x−3
5. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，列命题说法错误的是( )
A. AP2=PB⋅AB B. AP：AB=PB：AP
C. BP2=AB⋅AP D. AP：PB=AB：AP
6. 已知反比例函数y=−5x，则下列描述正确的是( )
A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大
C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 图象必经过点(32,−53)
7. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对
8. 关于x的一元二次方程x2−3x+m=0无实数根，则反比例函数y=mx的图象分布在_____象限.( )
A. 第一和第二 B. 第二和第三 C. 第二和第四 D. 第一和第三
9. 已知菱形ABCD，边长为4，E，F分别在AB，AD上，BE=65，∠ABC=∠ECF=60°，则GFEG=( )
A. 13
B. 37
C. 25
D. 35
10. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x(cm)，观察弹簧测力计的示数y(N)的变化情况.实验数据记录如下表：
x(cm)
……
10
15
20
25
30
……
y(N)
……
45
30
22.5
18
15
……
下列说法不正确的是( )
A. 弹簧测力计的示数y(N)与支点O的距离x(cm)之间关系的图象如图
B. y与x的函数关系式为y=450x(x>0)
C. 当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D. 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知最简二次根式m+n+13m−n与二次根式 48可以合并成一项，则mn的值______ ．
12. 若a是关于x一元二次方程3x2−x−2023=0的一个实数根，则2023+2a−6a2的值是______ ．
13. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入
1
2
3
4
…
输出
3
6
3
2 3
…
那么当输入数据为8时，输出的数据是______ ．
14. 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，且x1<0
16. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，∠ABO=30°，顶点A，B恰好分别落在函数y=kx(x<0)和y=3x(x>0)的图象上，则k的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算： 18− 92− 3+ 6 3+( 3−2)0+ (1− 2)2；
(2)解方程：3x2−2x−1=0．
18. (本小题6.0分)
已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,1)，C(1,5)．
(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)若点P(x,y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为______ ；
(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．
19. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0．
(1)若x=1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)若x1、x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+2x1x2−x12x22=0，求m的值．
20. (本小题8.0分)
如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．
(1)图中相似三角形有______ 对；
(2)若AD2=AC⋅CM，∠BMA=72°，求∠BCD的度数．
21. (本小题10.0分)
如图，直线y=−x+2与反比例函数的图象交于A(−1,m)，B(n,−1)两点，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D．
(1)求m，n的值及反比例函数的解析式；
(2)当y=kx(k≠0)≤y=−x−2时，x的取值范围是______ ．
(3)在直线y=−x+2上是否存在点P，使得S△PAC=S△PBD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
在学习二次根式的性质时，知道( a)2=a2，利用这个性质我们可以求 4− 7+ 4+ 7的值．
解：设x= 4− 7+ 4+ 7，两边平方，x2=( 4− 7+ 4+ 7)2；
∴x2=4− 7+4+ 7+2 4− 7× 4+ 7；
=8+2× (4− 7)×(4+ 7)=8+2× 16−7=14；
∴x=± 14，∵x>0，∴x= 14；
∴ 4− 7+ 4+ 7= 14；
请利用以上方法，解决下列问题：
(1)求 3− 5+ 3+ 5；
(2)若 9− n+ 9+ n=4 2，求n的值．
23. (本小题10.0分)
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
24. (本小题12.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE.将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，连接BD并延长与直线CE交于点F．
(1)若AB=AC，将△ADE绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是 ；
(2)若AC=kAB(k≠1)，将△ADE绕点A逆时针旋转，则(1)的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)若AB=6，AC=8，将△ADE旋转至AD⊥BD时，请求出此时CF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、由a：b=2：3，得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
B、当a=4，b=6时，a：b=2：3，但是a+b=10，故本选项错误，不符合题意；
C、由a：b=2：3，得a+ba=52，故本选项正确，符合题意；
D、当a=4，b=6时，a：b=2：3，但是a+3b+2=78，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积．根据比例的性质进行判断即可．
2.【答案】B
【解析】解：(a+b+1)(a+b−1)=15，
变形得：[(a+b)+1][(a+b)−1]=15，
即(a+b)2−1=15，
移项得：(a+b)2=16，
∴a+b=4或a+b=−4，
又a+b≥0，∴a+b=−4舍去，
∴a+b=4，
则 a+b= 4=2．
故选：B．
把已知等式中的a+b看作一个整体，利用平方差公式化简已知等式的左边，移项开方后可得出a+b的值，再由a+b为算术平方根的被开方数，可得a+b为非负数，进而确定出a+b的值，代入所求的式子中化简，即可得到所求式子的值．
此题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，利用了整体代入的思想，用此方法解方程时，首先将方程左边化为完全平方形式，右边为非负常数，然后根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，得到降次的目的，从而求出方程的解．
3.【答案】D
【解析】解：A.由y= 3x得y是x的正比例函数，那么A不符合题意．
B.由y=ax(a≠0)得y是x的反比例函数，那么B不符合题意．
C.由y=1x2得y是x2的反比例函数，那么C不符合题意．
D.由y=13x得y是x的反比例函数，那么D符合题意．
故选：D．
根据反比例函数的定义(形如y=kx，k≠0的函数是反比例函数)解决此题．
本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵二次根式有意义，
∴3−x>0，
(x−3) 13−x
=(x−3) 3−x(3−x)2
=(x−3)×1|3−x|× 3−x
=(x−3)×13−x× 3−x
=− 3−x
故选：C．
先判断出3−x>0，再由二次根式的性质即可得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP2=BP⋅AB．
故A，B，D正确．
故选：C．
由AP>BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP⋅AB．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．
6.【答案】C
【解析】解：∵y=−5x，k=−5<0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A、B不符合题意；
当x=32时，则y=−103，
∴函数图象经过点(32,−103)，图象不可能与坐标轴相交，故选项D不符合题意，选项C符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征判断即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：甲：根据题意得：AB//A′B′，AC//A′C′，BC//B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ABA′B′=CDC′D′=35，ADA′D′=BCB′C′=57，
∴ABA′B′≠ADA′D′，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：A．
甲：根据题意得：AB//A′B′，AC//A′C′，BC//B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得ABA′B′≠ADA′D′，即新矩形与原矩形不相似．
此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0无实数根，
∴Δ=(−3)2−4m<0，
解得：m>94，
∴反比例函数y=mx的图象一定分布在第一、三象限．
故选：D．
根据根的判别式得出m的取值范围，进而结合反比例函数图象分布规律得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质以及根的判别式，正确得出m的取值范围是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
∵∠B=∠DAC=60°，
∴△BCE≌△ACF(ASA)，
∴BE=AF，
∵AB=4，BE=65，
∴AE=145，AF=65，
过E点作EM//BC交AC于点M，
∴EM//AD，
∴AFEM=GFEG，∠FAC=∠GME=60°，∠AEM=∠ABC=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE=EM=145，
∴GFEG=65145=37，
故选：B．
证明△BCE≌△ACF(ASA)，则BE=AF=65，过E点作EM//BC交AC于点M，可得△AEM是等边三角形，AFEM=GFEG，求出AE=EM=145，即可求GFEG=37．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设y=kx(k≠0)，
把x=10，y=45代入求得k=450，
∴y=450x，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为y=450x(x>0)，
把y=12.5代入y=450x，得x=36，
∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把y=12.5N代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
11.【答案】1
【解析】解：∵ 48=4 3，最简二次根式m+n+13m−n与二次根式 48可以合并成一项，
∴m+n+1=23m−n=3，
解得，m=1n=0，
∴mn=10=1．
故答案为：1．
先化简 48，根据同类二次根式的定义可得m+n+1=23m−n=3，解方程组即可求解．
本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
12.【答案】−2023
【解析】解：∵a是方程3x2−x−2023=0的一个实数根，
∴3a2−a−2023=0，
∴3a2−a=2023，
∴2023+2a−6a2=2023−2(3a2−a)=2023−2×2023=−2023．
故答案为：−2023．
先利用一元二次方程解的定义得到3a2−a=2023，再把2023+2a−6a2变形为2023−2(3a2−a)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
13.【答案】2 6
【解析】解：依题意， 1× 3= 3，
2× 3= 6，
3× 3=3，
4× 3=2 3……
∴当输入数据为8时，输出的数据是 8× 3= 24=2 6，
故答案为：2 6．
观察数据可得输入的数据先求算术平方根，然后乘以 3，即可求解．
本题考查了二次根式的乘法运算，数字类规律题，找到规律是解题的关键．
14.【答案】y1
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1<0
∴y1
15.【答案】65或3+ 52或3− 52
【解析】解：连接AP，DP，如图所示，
当△ABP∽△DCP时，
ABDC=BPCP，
∵AB=1、BC=6、CD=4，
∴14=BP6−BP，
解得BP=65；
当△ABP∽△PCD时，
ABPC=BPCD，
∵AB=1、BC=6、CD=4，
∴16−BP=BP4，
解得BP=3± 5；
故答案为：65或3+ 5或3− 5．
根据题意可知：存在两种情况，一种是△ABP∽△DCP，一种是△ABP∽△PCD，然后分别计算出BP的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】−1
【解析】解：过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N．
∵点B在函数y=3x(x>0)的图象上，
∴S△BOM=12k=32，
∵∠ANO=∠BMO=90°，∠AON=∠OBM=90°−∠BOM，
∴△ANO∽△OMB，
在Rt△AOB中，
∵∠ABO=30°，
∴AOBO=1 3，
∴S△ANOs△OMB=AO2BO2=13，
∴S△ANO=13S△OMB=13×32=12，
∴‖k‖=2S△ANO=2×12=1，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=−1．
故答案为：−1．
利用30°的直角三角形两条直角边的比值是一个定值，可用相似得出面积之比，k值就可求出．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标之积是常数k值．
17.【答案】解：(1) 18− 92− 3+ 6 3+( 3−2)0+ (1− 2)2
=3 2−3 22−(1+ 2)+1+ 2−1
=3 2−3 22−1− 2+1+ 2−1
=3 22−1；
(2)3x2−2x−1=0，
(x−1)(3x+1)=0，
x−1=0或3x+1=0，
x1=1，x2=−13．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，二次根式的性质与化简，零指数幂，二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】(2x,2y)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由题意得，点P1的坐标为(2x,2y)．
故答案为：(2x,2y)．
(3)如图，点G，H将线段AB三等分．
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)根据位似的性质可得答案．
(3)取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB于点G，H，此时APBM=AGBG=12，BNAQ=BHAH=12，即点G，H将线段AB三等分．
本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵x=1是方程的一个根，
∴2+4+m=0，
解得：m=−6，
设方程的另一个根是x1，那么x1+1=−2，
∴x1=−3，
即方程的另一根为−3；
(2)∵x1、x2是方程2x2+4x+m=0的两个实数根，
∴x1+x2=−2，x1x2=m2，
又∵x12+x22+2x1x2−x12x22=0，
∴(x1+x2)2−(x1x2)2=0，
即4−m24=0，
得m=±4，
又∵Δ=42−8m>0，
得m<2，
∴m=−4．
【解析】(1)将x=1代入，求得m的值，然后利用根与系数的关系可以求出另外一个根；
(2)x12+x22+2x1x2−x12x22=0，即(x1+x2)2−(x1x2)2=0，把两根的和与积代入，即可得到关于m的方程，从而求得m的值．
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是掌握它们并熟练应用．
20.【答案】6
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD//BC，AB//CD，
∴△HFD∽△HBC，△AMF∽△CMB，△BFA∽△HFD，△AMB∽△CMH，
∵△HFD∽△HBC，△BFA∽△HFD，
∴△HBC∽△BFA，
又△ABC∽△CDA，
∴图中相似三角形有6对．
故答案为：6．
(2)∵AD2=AC⋅CM，
∴AD：AC=CM：AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AB//CD，
∴BC：AC=CM：BC，
∵∠BCM=∠BCA，
∴△CBM∽△CAB，
∴∠ABC=∠BMC，
∵∠BMA=72°，
∴∠BMC=180°−∠BMA=108°，
∴∠ABC=108°，
∵AB//CD，
∴∠BCD+∠ABC=180°，
∴∠BCD=72°．
(1)由相似三角形的判定，即可解决问题；
(2)由△CBM∽△CAB，推出∠ABC=∠BMC=108°，由平行线的性质推出∠BCD+∠ABC=180°，即可求出∠BCD=72°．
本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法，由△CBM∽△CAB，得到∠ABC=∠BMC．
21.【答案】x≤−3或0
m=1+2或−1=−n+2，
∴m=3，n=3，
∴A(−1,3)，B(3,−1)，
把A(−1,3)，代入y=kx得k=−3，
∴y=−3x；
(2)∵y=−3xy=−x−2，
解得：x1=−3，x2=1
当y=−x−2≥y=−3x时，x的取值范围是：x≤−3或0
∵S△PAC=S△PBD，
即12AC×|x+1|=12BD×|x−3|，
AC×|x+1|=BD×|x−3|，
3×|x+1|=1×|x−3|，
|x+1||x−3|=13，
∴x+1x−3=13或x+1x−3=−13，
解得x=−3，或x=0，
∴P(−3,5)或(0,2)．
(1)把A(−1,m)、B(n,−1)代入解答即可；
(2)由图象直接可以得出取值范围．
(3)根据两点间的距离公式解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：利用反比例函数图象上点的坐标特征解答．
22.【答案】解：(1)设x= 3− 5+ 3+ 5，
两边平方得，x2=( 3− 5+ 3+ 5)2，
∴x2=3− 5+2 (3+ 5)(3− 5)+3+ 5=6+4=10，
∴x=± 10，
∵x>0，
∴x= 10，
∴ 3− 5+ 3+ 5= 10，
(2)∵ 9− n+ 9+ n=4 2，
两边平方，( 9− n+ 9+ n)2=(4 2)2，
即9− n+2 (9− n)(9− n)+9+ n=32，
∴ (9− n)(9− n)=7，
所以81−n=49，
解得n=32．
【解析】(1)设x= 3− 5+ 3+ 5，运用平方计算求出x=± 10，根据x>0求出结果即可；
(2)两边平方后整理得 (9− n)(9− n)=7，再平方解无理方程得到结果．
本题考查二次根式的性质，应用二次根式的性质计算是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100(1+x)2=144，
解得x=20%或x=−2.2(舍去)，
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得(m−30)[600−10(m−40)]=10000，
整理得m2−130m+4000=0，
解得m=50或m=80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m=50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【解析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
(2)设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．
本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
24.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)∵AB=AC，点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠BAD=∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE；
(2)此时(1)的结论不成立，BD与CE的数量关系为CE=kBD．
理由如下：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∴ADAE=ABAC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
∴CEBD=ACAB=k，
∴CE=kBD；
(3)∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
在Rt△ABD中，BD= AB2−AD2= 62−32=3 3，
由(2)知，△BAD∽△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，CEBD=ACAB=86=43，
∴CE=4 3，
又∵∠DAE=90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=3，
∴CF=CE−EF=4 3−3．
(1)根据题意易得AD=AE，然后可证△ACE≌△ABD，进而问题可求解；
(2)由题意易得ADAE=ABAC，∠BAD=∠CAE，然后可得△BAD∽△CAE，进而问题可求解；
(3)由题意易得∠ADB=∠ADF=90°，根据勾股定理可得BD=3 3，然后由(2)可求得CE=4 3，进而问题可求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
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