2022-2023学年山东省东营市垦利区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省东营市垦利区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省东营市垦利区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列是二元一次方程的是(    )
A. 3x−6=x B. 3x=2y C. x−1y=0 D. 2x−3y=xy
2. 下列事件是必然事件的是(    )
A. 任意画一个三角形，其内角和为180° B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 投一次骰子，朝上的点数是6
3. a，b都是实数，且a A. a+m>b+m B. −a+2<−b+2
C. 2a>2b D. −a3>−b3
4. 下列选项中，可以用来说明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题的反例是(    )
A. a=−1 B. a=−2 C. a=−3 D. a=3
5. 如图，已知a//b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1=30°，则∠2等于(    )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
6. 小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为20dm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为(    )
A. 14dm2
B. 12dm2
C. 8dm2
D. 6dm2
7. 如图，直线l1：y=x+3与直线l2：y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是(    )
A. x>1
B. x≥1
C. x<1
D. x≤1


8. 一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分.要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为(    )
A. 5x−(20−x)>88 B. 5x−(20−x)<88
C. 5x−(20−x)≤88 D. 5x−(20−x)≥88
9. 根据下列条件，能确定△ABC(存在且唯一)的是(    )
A. AB=2，BC=3，AC=6
B. AC=4，BC=3，∠A=60°
C. AB=5，BC=3，∠B=30°
D. ∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°
10. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE=12BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：
①MN//GE
②BD=2AG
③GN=NC
④∠ACN=∠GNM
其中正确的是(    )
A. ②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 不等式组x+2≤3,1+x>−2的解集为______ ．
12. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE与CD相交于点O，已知AB=AC，现添加“∠B=∠C”，则判定△ABE≌△ACD的直接依据是______ ．


13. 如图，a//b，∠3=70°，∠2=30°，则∠1的度数是______ ．


14. 已知一个布袋里装有2个红球，4个白球和a个黄球，这些球除了颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为14，则a= ______ ．
15. 已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这两位数所列的方程组是______ ．
16. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，分别以AB，AC为边向△ABC外侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE.若AC=1，则BE= ______ ．

17. 已知x=3y=2是二元一次方程组mx+ny=36nx+my=9的解，则m−n的立方根为______ ．
18. 如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)解不等式：5x−12≤2(4x−3)；
(2)解方程组：x−y=52x+y=4．
20. (本小题8.0分)
如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．

21. (本小题8.0分)
“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(转盘被平均分成16份)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．
颜色
奖品
红色
玩具熊
黄色
童话书
绿色
彩笔
小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：
(1)三种奖品中，获得______的概率最高，获得______的概率最低．
(2)小明获得奖品的概率是多少？
(3)小明获得童话书的概率是多少？

22. (本小题8.0分)
如图，一次函数l1：y=2x−2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B(3,1)，两函数图象交于点C(m,2)．
(1)求m的值和一次函数l2：y=kx+b的解析式；
(2)根据图象，直接写出kx+b<2x−2的解集．

23. (本小题8.0分)
如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3=180°．
(1)请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)若∠1=70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．

24. (本小题10.0分)
某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同)．
(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你设计一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
25. (本小题12.0分)
【探索】已知小明研究了一个数学问题．
已知，AB//CD，AB和CD都不经过点P，探索∠APC与∠A和∠C之间的数量关系．
【发现】在如图①中，小明发现∠APC=∠A+∠C
证明：过点P作PQ//AB
∴∠APQ=∠A(______)
∵PQ//AB，AB//CD
∴PQ//CD(______)
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠C+∠A
∴∠APC=∠A+∠C
【应用】试说明，在图②中∠APC与∠A和∠C之间的数量关系，并说明理由．
【拓展】在图③中，已知∠A=30°，∠C=80°，则∠APC=______．
在图④中，已知∠A=140°，∠APC=20°，则∠C=______．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、3x−6=x是一元一次方程；
B、3x=2y是二元一次方程；
C、x−1y=0是分式方程；
D、2x−3y=xy是二元二次方程
故选：B．
二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．

2.【答案】A 
【解析】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项符合题意；
B、球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、投一次骰子，朝上的点数是6，是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：A．
必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】D 
【解析】解：A、∵a ∴a+m B、∵a ∴−a>−b，
∴−a+2>−b+2，故此选项不符合题意；
C、∵a ∴2a<2b，故此选项不符合题意；
D、∵a ∴−a3>−b3，故此选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：当a=−3时，|a|>2，而a<2，
说明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题，
故选：C．
根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

5.【答案】B 
【解析】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1=30°，
∴∠3=90°−30°=60°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=60°，
故选：B．
根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到∠3与∠1互余，再根据平行线的性质可知∠2的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】B 
【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为20×0.6=12(dm2)，
故选：B．
用总面积乘落入黑色部分的频率稳定值即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

7.【答案】D 
【解析】解：∵直线l1：y=x+3经过点A(m,4)，
∴m+3=4，
解得：m=1，
∴A(1,4)，
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．

8.【答案】D 
【解析】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为(20−x)道，
则5x−(20−x)≥88．
故选：D．
设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为(20−x)道，根据总分=5×答对题数−1×答错或不答题数，结合总得分不少于88分，即可得出关于x的一元一次不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系．

9.【答案】C 
【解析】解：A、AB=2，BC=3，AC=6，2+3<6，不能组成三角形，故不符合题意；
B、AC=4，BC=3，∠A=60°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
C、AB=5，BC=3，∠B=30°，则利用“SAS”可判断△ABC是唯一的，故符合题意；
D、∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，△ABC的大小不能确定，故不符合题意．
故选：C．
根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形状和大小，否则三角形的形状和大小不能确定．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

10.【答案】C 
【解析】解：连接BN，

①∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，AC=BC，
∵CE=12BC，F是AC的中点，
∴CF=CE，
∴∠E=∠CFE，
∵∠ACB=∠E+∠CFE=60°，
∴∠E=30°，
∴∠BGE=90°，
∴EG⊥AB，
∵BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，
∴MN⊥AB，
∴MN//GE，故①正确；
∵∠E=∠CFE=∠AFG=30°，
∴AF=2AG，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，
∴BD=CD，
∵CF=CE，
∴BD=2AG，故②正确；
③∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN=GN，
等边△ABC中，AD⊥BC，
∴BN=CN，
∴GN=CN，故③正确；
∵BN=CN=NG，
∴∠DCN=∠DBN，∠NBM=∠NGM，
∵∠ACN=∠ACB−∠DCN=60°−∠DBN=∠ABN=∠NGM，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACN=∠BGN≠∠GNM，故④错误；
正确的是①②③，
故选：C．
①根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得∠E=30°，由∠B=60°，可得EG⊥AB，再由题意得出MN⊥AB，即可判断①正确；根据含30度角的直角三角形的性质得出AF=2AG，再由等边三角形的性质得出BD=CD，进而判断②正确；先根据垂直平分线的性质得出BN=GN，根据等边三角形的性质得出BN=CN，即可判断③正确；先得出∠DCN=∠DBN，∠NBM=∠NGM，再根据角度的和差得出∠ACN=∠ACB−∠DCN=60°−∠DBN=∠ABN=∠NGM，进而判断④错误．
本题考查了等边三角形的性质、垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

11.【答案】−3 【解析】解：由x+2≤3得：x≤1，
由1+x>−2得：x>−3，
则不等式组的解集为−3 故答案为：−3 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

12.【答案】ASA 
【解析】解：在△ABE与△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD(ASA)．
故答案为：ASA．
利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．

13.【答案】40° 
【解析】解：如图：

∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3=∠2+∠4，
∵∠3=70°，∠2=30°，
∴∠4=∠3−∠2=40°，
∵a//b，
∴∠1=∠4=40°，
故答案为：40°．
先根据三角形的外角性质可得∠4=∠3−∠2=40°，然后再利用平行线的性质可得∠1=∠4=40°，即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．

14.【答案】2 
【解析】解：根据题意得：
a2+4+a=14，
解得：a=2，
经检验，a=2是原分式方程的解，
则a=2；
故答案为：2．
根据黄球的个数÷总球数=黄球的概率，列出算式，求出a的值即可．
本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】x−y=110x+y−(10y+x)=9 
【解析】解：依题意得：x−y=110x+y−(10y+x)=9．
故答案为：x−y=110x+y−(10y+x)=9．
根据“该数的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

16.【答案】 7 
【解析】解：连接CD，
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC(SAS)，
∴CD=BE，
∵∠ABC=30°，∠ABD=60°，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=60°+30°=90°，
∵△ABD是等边三角形，AC=1，∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴BD=AB= 3，
在Rt△DBC中，BC=2，
∴DC= BC2+BD2= 22+( 3)2= 7，
∴BE=DC= 7，
故答案为： 7．
根据等边三角形的性质证明△ABE≌△ADC，得出BE=CD，利用勾股定理求出DC，进而解答即可．
本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，证明△ABE≌△ADC是解题的关键．

17.【答案】3 
【解析】解：∵x=3y=2是二元一次方程组mx+ny=36nx+my=9的解，
∴3m+2n=36①3n+2m=9②，
①−②得：m−n=27，
∵33=27，
∴m−n的立方根为3，
故答案为：3．
将x=3y=2代入mx+ny=36nx+my=9中，然后将两个方程作差求得m−n的值，然后根据立方根的定义即可求得答案．
本题考查二元一次方程组的解及立方根的定义，结合已知条件求得m−n的值是解题的关键．

18.【答案】4 
【解析】解：如图，

设BD的延长线交AC于点E，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵BD垂直AD于D，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∴∠ABD=90°−∠BAD=90°−∠EAD=∠AED，
∴△ABE为等腰三角形，
∴AD是△ABE的中线，
∴S△ABD=S△AED，S△CDB=S△CED，
∴S△ACD=S△ADE+S△CDE=12S△ABC=4．
故答案为：4．
设BD交AC于点E，可得△ABE为等腰三角形，可根据三线合一证明AD为△ABE的中线，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，证明△ABE为等腰三角形是解题的关键．

19.【答案】解：(1)5x−12≤2(4x−3)，
去括号得：5x−12≤8x−6，
移项得：5x−8x≤12−6，
合并得：−3x≤6，
解得：x≥−2；
(2)x−y=5①2x+y=4②，
①+②得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①中得：3−y=5，
解得：y=−2，
∴原方程组的解为：x=3y=−2． 
【解析】(1)按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
(2)利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． 
【解析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．

21.【答案】彩笔  玩具熊 
【解析】解：(1)∵绿色的有3份，最多，红色的有1份，最少，
∴三种奖品中获得彩笔的概率最高，获得玩具熊的概率最小，
故答案为：彩笔，玩具熊；
(2)∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，
∴P(获得奖品)=616=38；
(3)∵转盘被平均分成16份，其中黄色占2份，
P(获得童话书)=216=18．
(1)颜色最多的获奖率最高，颜色最少的获奖率最低；
(2)直接利用有颜色部分占6份，除以总数得出答案；
(3)利用黄色、绿色部分占2份，进而利用概率公式求出答案．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．

22.【答案】解：(1)∵两函数图象交于点C(m,2)，
∴把点C的坐标代入y=2x−2得：2=2m−2，
解得：m=2，
即C(2,2)，
∵函数y=kx+b经过点B(3,1)，点C(2,2)，
∴1=3k+b2=2k+b，
解得：k=−1，b=4，
即y=−x+4，
所以m=2，一次函数l2：y=kx+b的解析式是y=−x+4；
(2)由图象可知不等式kx+b<2x−2的解集是x>2． 
【解析】(1)把点C的坐标代入y=2x−2得出2=2m−2，求出m，再把B、C的坐标代入y=kx+b得出方程组，再求出k、b即可；
(2)根据函数的图象得出不等式的解集即可．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能求出点C的坐标是解此题的关键．

23.【答案】解：(1)CF//DB，理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC//DE，
∴∠3+∠CBD=180°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=∠CBD，
∴CF//DB．
(2)∵∠1=70°，CF//DB，
∴∠ABD=70°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=12∠ABD=35°，
∴∠2=∠DBC=35°，
又∵BC⊥AG，
∴∠ACF=90°−∠2=90°−35°=55°． 
【解析】(1)依据平行线的判定与性质，即可得到∠1与∠ABD的数量关系；
(2)利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出∠2的度数，再根据∠ACB为直角，即可得出∠ACF．
本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

24.【答案】解：(1)设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：30x+15y=67512x+5y=265，
解得：x=20y=5，
∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．

(2)设A种花草的数量为m棵，则B种花草的数量为(31−m)棵，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴31−m<2m，
解得：m>313，
∵m是正整数，
∴m最小值=11，
设购买树苗总费用为W=20m+5(31−m)=15m+155，
∵k>0，
∴W随x的减小而减小，
当m=11时，W最小值=15×11+155=320(元)．
答：购进A种花草的数量为11棵、B种20棵，费用最省；最省费用是320元． 
【解析】(1)设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元；列出方程组，即可解答．
(2)设A种花草的数量为m棵，则B种花草的数量为(31−m)棵，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式是关键．

25.【答案】两直线平行，内错角相等  平行于同一直线的两直线平行  50°  120° 
【解析】解：【发现】如图①，过点P作PQ//AB，

∴∠APQ=∠A(两直线平行，内错角相等)
∵PQ//AB，AB//CD，
∴PQ//CD(平行于同一直线的两直线平行)
∴∠CPQ=∠C，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C；
【应用】如图②，过点P作PE//AB，
∴∠APE+∠A=180°，
∵PE//AB，AB//CD，
∴PE//CD(平行于同一直线的两直线平行)
∴∠CPE+∠C=180°，
∴∠APE+∠A+∠CPE+∠C=360°，
∵∠APC=∠APE+∠CPE
∴∠APC+∠A+∠C=360°；
【拓展】如图③，过点P作PF//AB，
∴∠APF=∠A，
∵PF//AB，AB//CD，
∴PF//CD，
∴∠CPF=∠C，
∴∠CPF−∠APF=∠C−∠A=80°−30°=50°，
即∠APC=∠C−∠A=50°；
如图④，过点P作PG//AB，
∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°−∠A，
∵PG//AB，AB//CD，
∴PG//CD，(平行于同一直线的两直线平行)
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°−∠C，
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠A−∠C，
∴∠C=∠A−∠APC=140°−20°=120°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；50°；120°．
【发现】如图①，过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可；
【应用】如图②过点P作PE//AB，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
【拓展】如图③，过点P作PF//AB根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；如图④，过点P作PG//AB根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查的是平行线的性质，平行公理及推论，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补是解题的关键．