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2022-2023学年江苏省盐城市盐都区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省盐城市盐都区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，三象限D．第二，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市盐都区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸上相应位置）
1．以下调查中，适宜普查的是（ ）
A．《走进非遗里的中国》的收视率
B．“神舟十六号”载人飞船零件的质量
C．某品牌灯泡的使用寿命
D．长江的水质情况
2．反比例函数的图象分布在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角线互相平分 D．4个角都是直角
5．如图，点P（x，y）在反比例函数的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B．若矩形OAPB的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
6．若分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的2倍
C．是原来的 D．是原来的
7．实数x、y在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（ ）
A．x﹣y B．﹣x﹣y C．x+y D．y﹣x
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸上相应位置）
9．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
10．下列成语描述的事件：①水中捞月，②水涨船高，③守株待兔，④瓮中捉鳖，⑤拔苗助长，属于必然事件的是 （填序号）．
11．在平面直角坐标系中，若点A（1，y1），B（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
12．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 Pa．
13．计算的结果为 ．
14．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10，AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的边OC在x轴上，点A（1，3）、B（5，3），点P是AB的中点，把△PBC沿PC翻折，点B的对应点为Q，则AQ所在直线的函数表达式为 ．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：（3+）（）．
18．先化简，再求值：（1﹣）•，其中．
19．解分式方程：．
20．为营造读书氛围，满足学生的阅读需求，学校打算购进一批图书．随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类（只选择一类），根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“小说类”所在扇形的圆心角为 °；
（4）若该校共有学生1600人，试估计该校喜欢“文史类”书籍的学生人数．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明．
22．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若点M是AB的中点，仅用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹）．
①画出边CD的中点N；
②画出边BC的垂直平分线．
24．如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（3，2），B（﹣2，n）两点，AB与y轴交于点E．
（1）求y1与y2的函数表达式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3）将直线AB向上平移t（1＞0）个单位长度，与反比例函数y2＝的图象交于点C、D，与y轴交于点F，连接AD．若△ABD的面积为10，求t的值．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接EF交边CD于点N，过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC于点M．
（1）求∠DEF的度数；
（2）当BE＝4，CN＝1时，求CM的长；
（3）若点M是BC的中点，求证：DN﹣NC＝BE．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸上相应位置）
1．以下调查中，适宜普查的是（ ）
A．《走进非遗里的中国》的收视率
B．“神舟十六号”载人飞船零件的质量
C．某品牌灯泡的使用寿命
D．长江的水质情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A．《走进非遗里的中国》的收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．长江的水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．反比例函数的图象分布在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
解：∵反比例函数中，k＝6＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质及图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可．
解：A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B．＝3与不是同类二次根式；
C．＝2，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D．与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角线互相平分 D．4个角都是直角
【分析】由矩形和菱形都是平行四边形，可知矩形和菱形都具有对边相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质，可判断A、B、C都不符合题意；由矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角可能都不是直角，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
解：∵矩形和菱形都是平行四边形，
∴矩形和菱形都具有对边相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质，
故A、B、C都不符合题意；
∵矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角可能都不是直角，
∴四个角都是直角是矩形具有而菱形不一定具有的性质，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、菱形的性质等知识，正确理解矩形和菱形都是特殊的平行四边形这一性质是解题的关键．
5．如图，点P（x，y）在反比例函数的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B．若矩形OAPB的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】首先根据反比例函数（k≠0）的比例系数k的几何意义可得出|k|＝4，然后再根据反比例函数图象所在的位置即可得出k的值．
解：∵点P为在反比例函数（k≠0）的图象上的点，PA⊥x轴，PB⊥y轴，且矩形OAPB的面积为4，
∴|k|＝4，
又∵反比例函数y＝kx的图象在第一象限，
∴k＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0）的比例系数k的几何意义，解答此题的关键是理解：过反比例函（k≠0）图象上的任意一点线两坐标轴作垂线，所围成的矩形的面积等于|k|．
6．若分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的2倍
C．是原来的 D．是原来的
【分析】先把x、y变为原来的2倍得到，然后利用分式的基本性质化简即可判断．
解：∵＝＝，
∴分式中x、y的值都变为原来的2倍时，分式的值不变．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
7．实数x、y在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（ ）
A．x﹣y B．﹣x﹣y C．x+y D．y﹣x
【分析】由数轴可得x＜﹣1，0＜y＜1，则有y﹣x＞0，再结合二次根式的化简的法则进行运算即可．
解：由数轴得：x＜﹣1，0＜y＜1，
∴y﹣x＞0，
∴
＝
＝y﹣x．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得到y﹣x＞0．
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得：x2＝4x﹣2，再代入所求的式子运算即可．
解：∵，
∴x2+2＝4x，
则x2＝4x﹣2，
∴
＝﹣
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是由条件得到x2＝4x﹣2．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸上相应位置）
9．若式子有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．下列成语描述的事件：①水中捞月，②水涨船高，③守株待兔，④瓮中捉鳖，⑤拔苗助长，属于必然事件的是 ②④ （填序号）．
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
解：①水中捞月，是不可能事件；
②水涨船高，是必然事件；
③守株待兔，是随机事件；
④瓮中捉鳖，是必然事件；
⑤拔苗助长，是不可能事件；
所以，上列成语描述的事件，属于必然事件的是②④，
故答案为：②④．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，若点A（1，y1），B（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】根据函数的增减性先看两个点是否在同一个象限内，比较两个点横坐标的大小即可确定y值的大小．
解：∵k＞0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
点A（1，y1），B（4，y2）都在第一象限，1＜4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查反比例函数的增减性，熟练掌握“当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小”是解决问题的关键．
12．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 400 Pa．
【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．
解：设p＝，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p＝，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），
故答案为：400．
【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
13．计算的结果为 6 ．
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
解：
＝×
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10，AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 96 ．
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
解：连接DB，于AC交与O点
∵在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16
∴OB＝＝＝6
∴BD＝2×6＝12
∴菱形ABCD的面积＝×两条对角线的乘积＝×16×12＝96．
故答案为96．
【点评】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 m＜6且m≠3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据分式方程的解为正数，得到x大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
解：解＝2+得x＝6﹣m，
∵关于x的分式方程＝2+的解为正数，
∴6﹣m＞0，
∴m＜6，
∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
∴6﹣m≠3，
∴m≠3，
∴m的取值范围是m＜6且m≠3，
故答案为：m＜6且m≠3．
【点评】此题考查了分式方程的解，任何时候都要考虑分式分母不为0．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的边OC在x轴上，点A（1，3）、B（5，3），点P是AB的中点，把△PBC沿PC翻折，点B的对应点为Q，则AQ所在直线的函数表达式为 y＝﹣3x+6 ．
【分析】由A（1，3）、B（5，3），得OC＝AB＝4，则C（4，0），而AP＝BP＝2，则P（3，3），可求得PC所以直线的函数表达式为y＝﹣3x+12，再证明∠PAQ＝∠BPC，则AQ∥PC，设AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+m，则﹣3+m＝3，解得m＝6，可求得AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+6，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，边OC在x轴上，
∴AB∥x轴，
∵A（1，3）、B（5，3），
∴OC＝AB＝5﹣1＝4，
∴C（4，0），
∵点P是AB的中点，
∴AP＝BP＝AB＝2，
∴P（3，3），
设PC所在直线的函数表达式为y＝kx+b，则，
解得，
∴PC所以直线的函数表达式为y＝﹣3x+12，
由翻折得QP＝BP，∠BPC＝∠QPC，
∴AP＝QP，
∴∠PAQ＝∠PQA，
∴∠BPQ＝∠PAQ+∠PQA＝2∠PAQ，
∵∠BPQ＝2∠BPC，
∴2∠PAQ＝2∠BPC，
∴∠PAQ＝∠BPC，
∴AQ∥PC，
设AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+m，则﹣3+m＝3，
解得m＝6，
∴AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+6，
故答案为：y＝﹣3x+6．
【点评】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式等知识与方法，正确地求出PC所在直线的函数表达式是解题的关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：（3+）（）．
【分析】利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
解：（3+）（）
＝3
＝﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．先化简，再求值：（1﹣）•，其中．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
解：（1﹣）•
＝•
＝•
＝m﹣1，
当时，原式＝+1﹣1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．解分式方程：．
【分析】观察可得2﹣x＝﹣（x﹣2），所以方程的最简公分母为：（x﹣2），去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验．
解：方程两边同乘（x﹣2），
得：1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2）
整理得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，
∴原分式方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根；
（3）分式方程去分母时不要漏乘．
20．为营造读书氛围，满足学生的阅读需求，学校打算购进一批图书．随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类（只选择一类），根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）此次共调查了 200 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“小说类”所在扇形的圆心角为 144 °；
（4）若该校共有学生1600人，试估计该校喜欢“文史类”书籍的学生人数．
【分析】（1）根据社科类的人数以及社科类所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及文史类的人数；
（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；
（4）用总人数乘“文史类”所占百分比即可．
解：（1）此次共调查了学生：20÷10%＝200（名）．
故答案为：200；
（2）生活类的人数为：200×15%＝30（人），
文史类的人数为：200﹣20﹣80﹣30＝70（人），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，“小说类”所在扇形的圆心角为：360°×＝144°．
故答案为：144；
（4）1600×＝560（人），
答：估计该校喜欢“文史类”书籍的学生人数大约为560人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，进而利用平行四边形的性质和判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形，
选择②AB＝AC，
∵AB＝AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴▱AECD是矩形．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定解答．
22．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
【分析】设软面笔记本每本x元，则硬面笔记本每本（x+1.2）元，根据题意列出分式方程．解之并检验，发现不合题意．
解：设软面笔记本每本x元，则硬面笔记本每本（x+1.2）元，
根据题意得：
解得：x＝1.6
经检验，x＝1.6是分式方程的解，
但按此价格，他们都买了7.5本笔记本，不符合实际意义；
答：小明和小丽不能买到相同数量的笔记本．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方程．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若点M是AB的中点，仅用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹）．
①画出边CD的中点N；
②画出边BC的垂直平分线．
【分析】（1）根据矩形的性质即可解决问题；
（2）①连接MO并延长交CD于点N，即为所求；
②证明四边形BCNM是矩形，连接MC，NB交于点F，连接OF并延长交BC于点E，OE所在直线即为所求．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC；
（2）解：①连接MO并延长交CD于点N，
∵点M是AB的中点，点O是AC的中点，
∴MO∥BC，
∴点N是边CD的中点，
∴点N即为所求；
②由①可知：MN∥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠BMN＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BMN＝90°，
∴四边形BCNM是矩形，
连接MC，NB交于点F，
∴F是对角线MC，NB的交点，
连接OF并延长交BC于点E，
∴OE所在直线是边BC的垂直平分线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24．如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（3，2），B（﹣2，n）两点，AB与y轴交于点E．
（1）求y1与y2的函数表达式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0或x＞3 ；
（3）将直线AB向上平移t（1＞0）个单位长度，与反比例函数y2＝的图象交于点C、D，与y轴交于点F，连接AD．若△ABD的面积为10，求t的值．
【分析】（1）将点A（3，2）代入求出m的值即可得出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求出点B，然后再将点A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，求出处k与b即可得出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数图象的交点A（3，2），B（﹣2，﹣3），结合函数的图象即可得出x的取值范围；
（3）连接BF，AF，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，根据点A（3，2），B（﹣2，﹣3）得AM＝3，BN＝2，再根据平移的性质得DF∥AB，EF＝t，由此得△ABF和△ABD同底等高，则S△ABF＝S△ABD＝10，然后根据S△ABF＝S△AEF+S△BEF＝10列出关于t的方程，最后解方程求出t即可．
解：（1）将点A（3，2）代入，得：m＝6，
∴反比例函数的解析式为：，
将点B（﹣2，n）代入，得n＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
将点A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，
得：，解得：，
∴一次函数的解析式为：y1＝x﹣1；
（2）∵y1＝kx+b的图象的图象交于A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞3；
（3）连接BF，AF，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，如图：
∵点A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∴AM＝3，BN＝2，
∵直线AB向上平移t（t＞0）个长度单位得到DC，DC与y轴交于F，
∴DF∥AB，EF＝t，
∴△ABF和△ABD同底等高，
∴S△ABF＝S△ABD＝10，
∴，
解得：t＝4．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，一次函数的平移，三角形的面积，难点是数形结合思想、方程思想在解题中的应用．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接EF交边CD于点N，过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC于点M．
（1）求∠DEF的度数；
（2）当BE＝4，CN＝1时，求CM的长；
（3）若点M是BC的中点，求证：DN﹣NC＝BE．
【分析】（1）连接DF，利用SAS证明△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，再证明∠EDF＝90°，可求解；
（2）利用AAS证明FMH≌△DNH可得FM＝DN，再根据CM＝FM﹣CF可得CM＝BE﹣CN，即可求解；
（3）由中点的定义设BM＝CM＝a，AE＝CF＝b，则AB＝CD＝BC＝2a，BE＝2a﹣b，FM＝a+b，可得NC＝a﹣b，DN＝a+b，DN﹣NC＝2b，连接EM，利用勾股定理可算得2a＝3b，进而可求得BE＝2b，即可证明结论．
【解答】（1）解：连接DF，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCF＝90°，
∴∠A＝∠DCF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠CDF+∠EDC＝∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝45°；
（2）解：∵△DEF为等腰直角三角形，DH⊥EF，
∴DH＝FH，∠DHN＝∠FHM＝90°，
∴∠FMH+∠MFH＝90°，
∵∠DCF＝90°，∠DNH＝∠CNF，
∴∠MFH+∠CNF＝∠MFH+∠DNH＝90°，
∴∠FMH＝∠DNH．
在△FMH和△DNH中．
，
∴△FMH≌△DNH（AAS），
∴FM＝DN，
∵BE＝4，CN＝1，
∴CM＝FM﹣CF＝DN﹣AE＝CD﹣CN﹣AE＝BE﹣CN＝4﹣1＝3；
（3）证明：∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM＝2BM，
设BM＝CM＝a，AE＝CF＝b，则AB＝CD＝BC＝2a，BE＝2a﹣b，FM＝a+b，
∵CM＝BE﹣NC，
∴NC＝BE﹣CM＝2a﹣b﹣a＝a﹣b，
∴DN＝CD﹣NC＝2a﹣（a﹣b）＝a+b，
∴DN﹣NC＝（a+b）﹣（a﹣b）＝2b，
连接EM，
∵DH垂直平分EF，
∴EM＝FM＝a+b，
∵BM2+BE2＝EM2，
∴a2+（2a﹣b）2＝（a+b）2，
∴2a＝3b，
∴BE＝2a﹣b＝2b，
∴DN﹣NC＝BE．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质及判定，构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年江苏省盐城市盐都区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸上相应位置）
1．以下调查中，适宜普查的是（ ）
A．《走进非遗里的中国》的收视率
B．“神舟十六号”载人飞船零件的质量
C．某品牌灯泡的使用寿命
D．长江的水质情况
2．反比例函数的图象分布在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角线互相平分 D．4个角都是直角
5．如图，点P（x，y）在反比例函数的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B．若矩形OAPB的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
6．若分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的2倍
C．是原来的 D．是原来的
7．实数x、y在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（ ）
A．x﹣y B．﹣x﹣y C．x+y D．y﹣x
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸上相应位置）
9．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
10．下列成语描述的事件：①水中捞月，②水涨船高，③守株待兔，④瓮中捉鳖，⑤拔苗助长，属于必然事件的是 （填序号）．
11．在平面直角坐标系中，若点A（1，y1），B（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
12．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 Pa．
13．计算的结果为 ．
14．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10，AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的边OC在x轴上，点A（1，3）、B（5，3），点P是AB的中点，把△PBC沿PC翻折，点B的对应点为Q，则AQ所在直线的函数表达式为 ．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：（3+）（）．
18．先化简，再求值：（1﹣）•，其中．
19．解分式方程：．
20．为营造读书氛围，满足学生的阅读需求，学校打算购进一批图书．随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类（只选择一类），根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“小说类”所在扇形的圆心角为 °；
（4）若该校共有学生1600人，试估计该校喜欢“文史类”书籍的学生人数．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明．
22．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若点M是AB的中点，仅用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹）．
①画出边CD的中点N；
②画出边BC的垂直平分线．
24．如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（3，2），B（﹣2，n）两点，AB与y轴交于点E．
（1）求y1与y2的函数表达式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3）将直线AB向上平移t（1＞0）个单位长度，与反比例函数y2＝的图象交于点C、D，与y轴交于点F，连接AD．若△ABD的面积为10，求t的值．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接EF交边CD于点N，过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC于点M．
（1）求∠DEF的度数；
（2）当BE＝4，CN＝1时，求CM的长；
（3）若点M是BC的中点，求证：DN﹣NC＝BE．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸上相应位置）
1．以下调查中，适宜普查的是（ ）
A．《走进非遗里的中国》的收视率
B．“神舟十六号”载人飞船零件的质量
C．某品牌灯泡的使用寿命
D．长江的水质情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A．《走进非遗里的中国》的收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．长江的水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．反比例函数的图象分布在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
解：∵反比例函数中，k＝6＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质及图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可．
解：A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B．＝3与不是同类二次根式；
C．＝2，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D．与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角线互相平分 D．4个角都是直角
【分析】由矩形和菱形都是平行四边形，可知矩形和菱形都具有对边相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质，可判断A、B、C都不符合题意；由矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角可能都不是直角，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
解：∵矩形和菱形都是平行四边形，
∴矩形和菱形都具有对边相等、对边平行、对角线互相平分这三条性质，
故A、B、C都不符合题意；
∵矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角可能都不是直角，
∴四个角都是直角是矩形具有而菱形不一定具有的性质，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、菱形的性质等知识，正确理解矩形和菱形都是特殊的平行四边形这一性质是解题的关键．
5．如图，点P（x，y）在反比例函数的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B．若矩形OAPB的面积为4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】首先根据反比例函数（k≠0）的比例系数k的几何意义可得出|k|＝4，然后再根据反比例函数图象所在的位置即可得出k的值．
解：∵点P为在反比例函数（k≠0）的图象上的点，PA⊥x轴，PB⊥y轴，且矩形OAPB的面积为4，
∴|k|＝4，
又∵反比例函数y＝kx的图象在第一象限，
∴k＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0）的比例系数k的几何意义，解答此题的关键是理解：过反比例函（k≠0）图象上的任意一点线两坐标轴作垂线，所围成的矩形的面积等于|k|．
6．若分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的2倍
C．是原来的 D．是原来的
【分析】先把x、y变为原来的2倍得到，然后利用分式的基本性质化简即可判断．
解：∵＝＝，
∴分式中x、y的值都变为原来的2倍时，分式的值不变．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
7．实数x、y在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（ ）
A．x﹣y B．﹣x﹣y C．x+y D．y﹣x
【分析】由数轴可得x＜﹣1，0＜y＜1，则有y﹣x＞0，再结合二次根式的化简的法则进行运算即可．
解：由数轴得：x＜﹣1，0＜y＜1，
∴y﹣x＞0，
∴
＝
＝y﹣x．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得到y﹣x＞0．
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得：x2＝4x﹣2，再代入所求的式子运算即可．
解：∵，
∴x2+2＝4x，
则x2＝4x﹣2，
∴
＝﹣
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是由条件得到x2＝4x﹣2．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸上相应位置）
9．若式子有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．下列成语描述的事件：①水中捞月，②水涨船高，③守株待兔，④瓮中捉鳖，⑤拔苗助长，属于必然事件的是 ②④ （填序号）．
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
解：①水中捞月，是不可能事件；
②水涨船高，是必然事件；
③守株待兔，是随机事件；
④瓮中捉鳖，是必然事件；
⑤拔苗助长，是不可能事件；
所以，上列成语描述的事件，属于必然事件的是②④，
故答案为：②④．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，若点A（1，y1），B（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】根据函数的增减性先看两个点是否在同一个象限内，比较两个点横坐标的大小即可确定y值的大小．
解：∵k＞0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
点A（1，y1），B（4，y2）都在第一象限，1＜4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查反比例函数的增减性，熟练掌握“当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小”是解决问题的关键．
12．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 400 Pa．
【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．
解：设p＝，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p＝，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），
故答案为：400．
【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
13．计算的结果为 6 ．
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
解：
＝×
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10，AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 96 ．
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
解：连接DB，于AC交与O点
∵在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16
∴OB＝＝＝6
∴BD＝2×6＝12
∴菱形ABCD的面积＝×两条对角线的乘积＝×16×12＝96．
故答案为96．
【点评】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 m＜6且m≠3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据分式方程的解为正数，得到x大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
解：解＝2+得x＝6﹣m，
∵关于x的分式方程＝2+的解为正数，
∴6﹣m＞0，
∴m＜6，
∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
∴6﹣m≠3，
∴m≠3，
∴m的取值范围是m＜6且m≠3，
故答案为：m＜6且m≠3．
【点评】此题考查了分式方程的解，任何时候都要考虑分式分母不为0．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的边OC在x轴上，点A（1，3）、B（5，3），点P是AB的中点，把△PBC沿PC翻折，点B的对应点为Q，则AQ所在直线的函数表达式为 y＝﹣3x+6 ．
【分析】由A（1，3）、B（5，3），得OC＝AB＝4，则C（4，0），而AP＝BP＝2，则P（3，3），可求得PC所以直线的函数表达式为y＝﹣3x+12，再证明∠PAQ＝∠BPC，则AQ∥PC，设AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+m，则﹣3+m＝3，解得m＝6，可求得AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+6，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，边OC在x轴上，
∴AB∥x轴，
∵A（1，3）、B（5，3），
∴OC＝AB＝5﹣1＝4，
∴C（4，0），
∵点P是AB的中点，
∴AP＝BP＝AB＝2，
∴P（3，3），
设PC所在直线的函数表达式为y＝kx+b，则，
解得，
∴PC所以直线的函数表达式为y＝﹣3x+12，
由翻折得QP＝BP，∠BPC＝∠QPC，
∴AP＝QP，
∴∠PAQ＝∠PQA，
∴∠BPQ＝∠PAQ+∠PQA＝2∠PAQ，
∵∠BPQ＝2∠BPC，
∴2∠PAQ＝2∠BPC，
∴∠PAQ＝∠BPC，
∴AQ∥PC，
设AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+m，则﹣3+m＝3，
解得m＝6，
∴AQ所在直线的函数表达式为y＝﹣3x+6，
故答案为：y＝﹣3x+6．
【点评】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式等知识与方法，正确地求出PC所在直线的函数表达式是解题的关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：（3+）（）．
【分析】利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
解：（3+）（）
＝3
＝﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．先化简，再求值：（1﹣）•，其中．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
解：（1﹣）•
＝•
＝•
＝m﹣1，
当时，原式＝+1﹣1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．解分式方程：．
【分析】观察可得2﹣x＝﹣（x﹣2），所以方程的最简公分母为：（x﹣2），去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验．
解：方程两边同乘（x﹣2），
得：1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2）
整理得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，
∴原分式方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根；
（3）分式方程去分母时不要漏乘．
20．为营造读书氛围，满足学生的阅读需求，学校打算购进一批图书．随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类（只选择一类），根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）此次共调查了 200 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“小说类”所在扇形的圆心角为 144 °；
（4）若该校共有学生1600人，试估计该校喜欢“文史类”书籍的学生人数．
【分析】（1）根据社科类的人数以及社科类所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及文史类的人数；
（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；
（4）用总人数乘“文史类”所占百分比即可．
解：（1）此次共调查了学生：20÷10%＝200（名）．
故答案为：200；
（2）生活类的人数为：200×15%＝30（人），
文史类的人数为：200﹣20﹣80﹣30＝70（人），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，“小说类”所在扇形的圆心角为：360°×＝144°．
故答案为：144；
（4）1600×＝560（人），
答：估计该校喜欢“文史类”书籍的学生人数大约为560人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，进而利用平行四边形的性质和判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形，
选择②AB＝AC，
∵AB＝AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴▱AECD是矩形．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定解答．
22．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
【分析】设软面笔记本每本x元，则硬面笔记本每本（x+1.2）元，根据题意列出分式方程．解之并检验，发现不合题意．
解：设软面笔记本每本x元，则硬面笔记本每本（x+1.2）元，
根据题意得：
解得：x＝1.6
经检验，x＝1.6是分式方程的解，
但按此价格，他们都买了7.5本笔记本，不符合实际意义；
答：小明和小丽不能买到相同数量的笔记本．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方程．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若点M是AB的中点，仅用无刻度的直尺画图（不写画法，保留画图痕迹）．
①画出边CD的中点N；
②画出边BC的垂直平分线．
【分析】（1）根据矩形的性质即可解决问题；
（2）①连接MO并延长交CD于点N，即为所求；
②证明四边形BCNM是矩形，连接MC，NB交于点F，连接OF并延长交BC于点E，OE所在直线即为所求．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC；
（2）解：①连接MO并延长交CD于点N，
∵点M是AB的中点，点O是AC的中点，
∴MO∥BC，
∴点N是边CD的中点，
∴点N即为所求；
②由①可知：MN∥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠BMN＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BMN＝90°，
∴四边形BCNM是矩形，
连接MC，NB交于点F，
∴F是对角线MC，NB的交点，
连接OF并延长交BC于点E，
∴OE所在直线是边BC的垂直平分线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24．如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（3，2），B（﹣2，n）两点，AB与y轴交于点E．
（1）求y1与y2的函数表达式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0或x＞3 ；
（3）将直线AB向上平移t（1＞0）个单位长度，与反比例函数y2＝的图象交于点C、D，与y轴交于点F，连接AD．若△ABD的面积为10，求t的值．
【分析】（1）将点A（3，2）代入求出m的值即可得出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求出点B，然后再将点A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，求出处k与b即可得出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数图象的交点A（3，2），B（﹣2，﹣3），结合函数的图象即可得出x的取值范围；
（3）连接BF，AF，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，根据点A（3，2），B（﹣2，﹣3）得AM＝3，BN＝2，再根据平移的性质得DF∥AB，EF＝t，由此得△ABF和△ABD同底等高，则S△ABF＝S△ABD＝10，然后根据S△ABF＝S△AEF+S△BEF＝10列出关于t的方程，最后解方程求出t即可．
解：（1）将点A（3，2）代入，得：m＝6，
∴反比例函数的解析式为：，
将点B（﹣2，n）代入，得n＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
将点A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，
得：，解得：，
∴一次函数的解析式为：y1＝x﹣1；
（2）∵y1＝kx+b的图象的图象交于A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞3；
（3）连接BF，AF，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，如图：
∵点A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∴AM＝3，BN＝2，
∵直线AB向上平移t（t＞0）个长度单位得到DC，DC与y轴交于F，
∴DF∥AB，EF＝t，
∴△ABF和△ABD同底等高，
∴S△ABF＝S△ABD＝10，
∴，
解得：t＝4．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，一次函数的平移，三角形的面积，难点是数形结合思想、方程思想在解题中的应用．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接EF交边CD于点N，过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC于点M．
（1）求∠DEF的度数；
（2）当BE＝4，CN＝1时，求CM的长；
（3）若点M是BC的中点，求证：DN﹣NC＝BE．
【分析】（1）连接DF，利用SAS证明△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，再证明∠EDF＝90°，可求解；
（2）利用AAS证明FMH≌△DNH可得FM＝DN，再根据CM＝FM﹣CF可得CM＝BE﹣CN，即可求解；
（3）由中点的定义设BM＝CM＝a，AE＝CF＝b，则AB＝CD＝BC＝2a，BE＝2a﹣b，FM＝a+b，可得NC＝a﹣b，DN＝a+b，DN﹣NC＝2b，连接EM，利用勾股定理可算得2a＝3b，进而可求得BE＝2b，即可证明结论．
【解答】（1）解：连接DF，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCF＝90°，
∴∠A＝∠DCF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠CDF+∠EDC＝∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝45°；
（2）解：∵△DEF为等腰直角三角形，DH⊥EF，
∴DH＝FH，∠DHN＝∠FHM＝90°，
∴∠FMH+∠MFH＝90°，
∵∠DCF＝90°，∠DNH＝∠CNF，
∴∠MFH+∠CNF＝∠MFH+∠DNH＝90°，
∴∠FMH＝∠DNH．
在△FMH和△DNH中．
，
∴△FMH≌△DNH（AAS），
∴FM＝DN，
∵BE＝4，CN＝1，
∴CM＝FM﹣CF＝DN﹣AE＝CD﹣CN﹣AE＝BE﹣CN＝4﹣1＝3；
（3）证明：∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM＝2BM，
设BM＝CM＝a，AE＝CF＝b，则AB＝CD＝BC＝2a，BE＝2a﹣b，FM＝a+b，
∵CM＝BE﹣NC，
∴NC＝BE﹣CM＝2a﹣b﹣a＝a﹣b，
∴DN＝CD﹣NC＝2a﹣（a﹣b）＝a+b，
∴DN﹣NC＝（a+b）﹣（a﹣b）＝2b，
连接EM，
∵DH垂直平分EF，
∴EM＝FM＝a+b，
∵BM2+BE2＝EM2，
∴a2+（2a﹣b）2＝（a+b）2，
∴2a＝3b，
∴BE＝2a﹣b＝2b，
∴DN﹣NC＝BE．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质及判定，构造全等三角形是解题的关键．
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