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2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某水库4月份的最高水位超过标准水位3cm，记为+3cm，最低水位低于标准水位3cm，记为( )
A. +3cm B. −3cm C. 6cm D. 0cm
2. 某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键( )
A. B. C. D.
3. 2022年，某市围绕稳就业、保民生、促发展工作，扎实推动就业工作高质量发展.该城镇新增就业10.24万人.将10.24万用科学记数法可以表示为a×10n的形式，其中a为( )
A. 10.24 B. 102.4 C. 1.024 D. 1024
4. 下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列计算结果正确的是( )
A. −(−6)=−6 B. (x2)3=x6
C. |2− 2|= 2−2 D. 48=4 6
7. 某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下(单位：分)：甲组：92，93，90，91，90，88；乙组：90，90，90，90，90，90.比较两组数据的方差( )
A. S甲2S乙2 D. 无法确定
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=6，BC=8，则EF的长为( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 52
9. 二次函数y=2x2−3x−c(c>0)的图象与x轴的交点情况是( )
A. 有1个交点 B. 有2个交点 C. 无交点 D. 无法确定
10. 在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是( )
A. 3
B. 3 3
C. 2 3
D. 3 32
11. 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.如图，点C把线段AB分成两份，如果BC：AC=AC：AB，那么称点C是线段AB的黄金分割点.冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高2m，则玩偶嘴巴离地高度是m．( )
A. 5−12 B. 3− 52 C. 5−22 D. 5−1
12. 如图，大等边三角形中有n个全等的等边三角形，若大等边三角形的面积为S1，n个小等边三角形的面积的和为S2，则S1与S2之间的关系为( )
A. S1=n2S2
B. S1=nS2
C. S1=4 3nS2
D. S1=2nS2
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 若代数式 3x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
14. 已知m、n是一元二次方程x2−2x−1=0的两根，则m+n的值为______ ．
15. 小丽和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，在一个回合中出现平局的概率是______ ．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AB=13，CD⊥AB于点D，点E，F为AD，CD上的动点，且DEDF=125，延长BF交CE于点P，连接AP，则AP的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
计算：
(1)2sin45°+( 2−1)0−(−12)−2；
(2)x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3．
18. (本小题10.0分)
(1)若ab<0，则a>0b(ㅤㅤ)0或a<0b(ㅤㅤ)0(用“<”或“=”或“>”填空)；
(2)请仿照以上思路，解不等式(2x+4)(x−1)<0．
19. (本小题10.0分)
如图，直线y=32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．
(1)写出k值______ ；
(2)设点P是双曲线上的一点，且△POB的面积是△AOB的面积的4倍，求出点P的坐标．
20. (本小题10.0分)
娄山关收费站位于遵义市汇川区泗渡镇观坝村的兰海高速遵义至崇溪河段，以城墙和塔楼形式呈现，具有地方特色，气势恢宏.某数学兴趣小组要测量塔楼最高点距地面的高度，如图，他们在A处用测角仪AD测得最高点B的仰角为45°，又在同一位置把测角仪加高1米至E点，测得点B的仰角为44°，已知测角仪支架AD=1.5米.请根据相关测量信息，计算塔楼最高点距地面的高度.(结果精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.695，cos44°≈0.719，tan44°≈0.966)
21. (本小题10.0分)
某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量(kg)
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量(箱)
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
(1)直接写出上述表格中a，b，c的值．
(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数)？
22. (本小题12.0分)
如图，在⊙O中，AB是直径，C与D关于AB对称，延长AD，CB交于点E，过点B作⊙O的切线BF交AE于点F．
(1)在不添加辅助线的情况下写出一个与∠FBE相等的角：∠FBE= ______ ；
(2)证明(1)中的相等关系；
(3)若AC=6，AE=10，求EF的长．
23. (本小题10.0分)
夏天刚到，市面上已出现种类奇多的雪糕，其中有些雪糕味道平平无奇，包装色彩朴素，但价格极高，被人们称为雪糕刺客，某便利店王老板计划购进A，B两个品牌的雪糕若干支来售卖，第一次进货时，购买2个A品牌和购买3个B品牌的雪糕共需69元；购买1个A品牌和购买4个B品牌的雪糕共需72元．
(1)求王老板第一次进货时A，B两种品牌雪糕的进价；
(2)王老板计划用不超过540元购进A，B两种雪糕共40个，且A品牌的个数不超过B品牌个数的3倍.如果王老板按照A品牌每个16元，B品牌每个20元的价格全部售出，那么购进A，B两种雪糕各多少个时获利最多？
24. (本小题12.0分)
对于抛物线y=ax2−4x+3(a>0)．
(1)若抛物线过点(4,3)．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为______ ；
(2)已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
25. (本小题12.0分)
【初步发现】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点D，E分别在边AC，AB上，且DE//BC，则CDBE= ______ ．
【探究证明】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°.将△ACB绕点A旋转一定的角度后的图形是△AC′B′，连接CC′，BB′，求CC′BB′的值．
【综合拓展】如图3，在矩形ABCD中，∠ACB=∠FCE=30°，∠FEC=90°，M为AF的中点，求证：MB=ME．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：超过标准水位3cm，记为+3cm，最低水位低于标准水位3cm记为−3cm．
故选：B．
根据相反意义的量，书写即可．
本题考查相反意义的量，把握相反意义的量是关键．
2.【答案】A
【解析】解：根据计算器的相关知识，可知答案为A．
故选：A．
首先了解各个符号的含义，解决计算器各个按键的功能，就可以选出正确的结果．
本题考查计算器—数的开方，解题的关键是知道算术平方根的对应按键．
3.【答案】C
【解析】解：10.24万=102400=1.024×105．
即a=1.024．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.【答案】D
【解析】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；
选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：D．
根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】B
【解析】解：A.−(−6)=6，故本选项不符合题意；
B.(x2)3=x6，故本选项符合题意；
C.|2− 2|=2− 2，故本选项不符合题意；
D. 48= 42×3=4 3，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据相反数的定义，幂的乘方，绝对值和算术平方根进行计算，再得出选项即可．
本题考查了相反数的定义，幂的乘方，实数的性质和算术平方根等知识点，能熟记相反数的定义、幂的乘方、实数的性质和算术平方根是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵甲组：92，93，90，91，90，88；乙组：90，90，90，90，90，90．
∴甲组的成绩有波动，方差不为0，乙组的成绩没有波动，方差为0，
故选：C．
根据甲和乙两组的成绩即可分析出方差的大小．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB=5，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=12AC=12×6=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选：A．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=10，根据三角形中位线定理得到DE//AB，DE=12AB=5，根据平行线的性质得到∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF，求得∠DAF=∠DFA，得到DF=AD，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×(−c)=9+8c，
∵c>0，
∴9+8c>0，
∴Δ>0，
∴二次函数y=2x2−3x−c(c>0)的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
根据判别式Δ>0，得出结论．
本题考查抛物线与x轴的交点，关键是抛物线与x轴交点个数与判别式Δ的关系．
10.【答案】C
【解析】解：设OA交BC于点D，如图，
∵BC垂直平分OA，
∴OD=12r，BD=CD=12BC=3，
在Rt△OBD中，(12r)2+32=r2，
解得r1=2 3，r2=−2 3(舍去)，
即r的值为2 3．
故选：C．
设OA交BC于点D，如图，根据线段垂直平分线的性质得到OD=12r，根据垂径定理得到BD=3，则利用勾股定理得到(12r)2+32=r2，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
11.【答案】D
【解析】解：∵他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，玩偶身高2m，
∴玩偶嘴巴离地高度= 5−12×2=( 5−1)m，
故选：D．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：设大等边三角形的边长为x，
∴大等边三角形的高为： x2−(x2)2= 32x，
∴S1=12×x× 32x= 34x2，
由题意得，n个全等的等边三角形的边长为xn，
∴S2=n⋅ 34(xn)2= 3x24n，
∴S1=nS2，
故选：B．
如图所示，设大等边三角形的边长为x，则面积为 34x2，再求出n个全等的等边三角形的边长为xn，进而求出小等边三角形的面积和，即可得到S1与S2的关系．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，正确求出S1，S2是解题的关键．
13.【答案】x≥53
【解析】解：∵代数式 3x−5在实数范围内有意义，
∴3x−5≥0，
∴x≥53．
故答案为：x≥53．
根据二次根式 3x−5的被开方数3x−5是非负数解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：因为m，n是一元二次方程x2−2x−1=0的两根，
根据根与系数的关系，m+n=−−21=2．
故答案为：2．
根据根与系数的关系，直接代入得结果．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．根与系数的关系：若m、n是方程ax2+bx+c=0的两根，则m+n=−ba，mn=ca．
15.【答案】13
【解析】解：将石头，剪刀、布分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中在一个回合中出现平局的结果有3种，
∴在一个回合中出现平局的概率为39=13．
故答案为：13．
画树状图得出所有等可能的结果数以及在一个回合中出现平局的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
16.【答案】 6012−52
【解析】解：∵∠ACB=90°，BC=5，AB=13，
∴AC= AB2−BC2= 169−25=12，
∵CD⊥BC，
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠BCD，
∴tan∠CAD=tan∠BCD=BCAC=BDCD=512，
如图，连接EF，
∵tan∠DEF=DFDE=512，
∴DFDE=DBCD，
又∵∠CDB=∠CDA=90°，
∴△DBF∽△DCE，
∴∠ECD=∠DBF，
又∵∠DFB=∠CFP，
∴∠CDB=∠CPF=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上运动，
如图，取BC的中点O，连接AO，
∴CO=BO=52，
∴AO= AC2+CO2= 6012，
当点P在AC上时，AP有最小值，最小值为 6012−52，
故答案为： 6012−52．
通过证明△DBF∽△DCE，可得∠ECD=∠DBF，可得∠CDB=∠CPF=90°，则点P在以BC为直径的圆上运动，即当点P在AC上时，AP有最小值，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2sin45°+( 2−1)0−(−12)−2
=2× 22+1−4
= 2+1−4
= 2−3；
(2)x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3
=x−3(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x−3
=x+1x−1．
【解析】(1)化简零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后再计算；
(2)先将分子与分母中的多项式进行因式分解，然后约分即可．
本题考查了分式的乘除法，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)若ab<0，则a>0b<0或a<0b>0，
故答案为：<；>；
(2)(2x+4)(x−1)<0，
∴2x+4>0x−1<0或2x+4<0x−1>0，
解不等式组2x+4>0x−1<0得：−2
综上所述：(2x+4)(x−1)<0的解集为：−2
(2)利用(1)的结论可得2x+4>0x−1<0或2x+4<0x−1>0，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，有理数的乘法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
19.【答案】16
【解析】解：(1)∵CD⊥y轴于点D，且CD=4．
∴点C的横坐标为4，
当x=4时，y=32×4−2=4，
∴点C(4,4)，
又∵点C(4,4)在双曲线y=kx(k≠0)的上，
∴k=4×4=16，
故答案为：16；
(2)∵直线y=32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A(43,0)，点B(0,−2)，
即OA=43，OB=2，
∴S△AOB=12×43×2=43，
设P(x,16x)，
由于△POB的面积是△AOB的面积的4倍，
∴△POB的面积为163，
即12OB×|x|=163，
解得x=±163，
当x=163时，y=16163=3，
当x=−163时，y=16−163=−3，
∴点P(163,3)或(−163,−3)．
(1)把x=4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定k的值，进而确定反比例函数关系式；
(2)根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，确定点C坐标是求出反比例函数关系式的关键，用含有点Q的坐标表示三角形BOQ的面积标是解决问题的前提．
20.【答案】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，过点E作EG⊥BC，垂足为G，
由题意得：CF=AD=1.5米，GC=AE=AD+1=1.5+1=2.5(米)，DF=GE=AC，
设EG=DF=AC=x米，
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，
∴BF=DF⋅tan45°=x(米)，
∴BC=BF+CF=(x+1.5)米，
在Rt△BGE中，∠BEG=44°，
∴BG=EG⋅tan44°≈0.966x(米)，
∴BC=BG+CG=(0.966x+2.5)米，
∴x+1.5=0.966x+2.5，
解得：x≈29.41，
∴BC=x+1.5≈30.9(米)，
∴塔楼最高点距地面的高度约为30.9米．
【解析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，过点E作EG⊥BC，垂足为G，根据题意可得：CF=AD=1.5米，GC=AE=2.5米，DF=GE=AC，然后设EG=DF=AC=x米，然后在Rt△BFD中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出BC的长，再在Rt△BGE中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出BC的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)a=20−2−1−7−3−1=6，
分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c=4.7+4.82=4.75，
∴a=6，b=4.7，c=4.75；
(2)选择平均数4.75，
这2000箱荔枝共损坏了2000×(5−4.75)=500(千克)；
(3)10×2000×5÷(2000×5−500)≈10.5(元)，
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本．
【解析】(1)根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
(2)从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
(3)求出成本，根据(2)的结果计算即可得到答案．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
22.【答案】∠BAC或∠DAB
【解析】(1)解：根据题意可得：
∠FBE=∠BAC=∠DAB，
故答案为：∠BAC或∠DAB．
(2)证明：BF是⊙O的切线，
∴BF⊥AB，则∠ABF=90°，
∴∠FBE+∠ABC=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠FBE=∠BAC；
∵C与D关于AB对称，
∴BC=BD，
∴∠BAC=∠BAD，
∴∠FBE=∠DAB．
综上：∠FBE=∠BAC=∠DAB；
(3)解：连接BD，过点F作FG⊥BE于点G，
∵AC=6，C与D关于AB对称，
∴AD=AC=6，
∵AE=10，
∴DE=AE−AD=4，
∴AC=6，AE=10，∠ACB=90°，
∴sinE=ACAE=35，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBD+∠ABD=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠FBD，
由(1)可知∠FBE=∠DAB，
∴∠FBE=∠FBD，
∵∠ADB=90°，FG⊥BE，
∴FD=FG，
设EF=x，则FD=FG=4−x，
∴sinE=FGEF=4−xx=35，
解得x=52，
∴EF=52．
(1)根据同角的余角相等，结合图形进行分析，即可得出结论；
(2)根据BF是⊙O的切线，得出∠FBE+∠ABC=90°，根据AB是⊙O直径，得出∠BAC+∠ABC=90°，则∠FBE=∠BAC，根据轴对称的性质得出BC=BD.进而得出∠BAC=∠BAD，即可得出结论；
(3)连接BD，过点F作FG⊥BE于点G，根据轴对称的性质得出AD=AC=6，则DE=AE−AD=4，再求出sinE=AEAC=35，再证明BF平分∠DBE，得出FD=FG，设EF=x，则FD=FG=4−x，则sinE=4−xx=35，即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤．
23.【答案】解：(1)设王老板第一次进货时，A品牌雪糕的进价是x元/个，B品牌雪糕的进价是y元/个，
根据题意得：2x+3y=69x+4y=72，
解得：x=12y=15．
答：王老板第一次进货时，A品牌雪糕的进价是12元/个，B品牌雪糕的进价是15元/个；
(2)设购进m个A品牌雪糕，则购进(40−m)个B品牌雪糕，
根据题意得：12m+15(40−m)≤540m≤3(40−m)，
解得：20≤m≤30．
设再次购进A，B两种雪糕全部售出后获得的总利润为w元，则w=(16−12)m+(20−15)(40−m)，
即w=−m+200．
∵−1<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵20≤m≤30，且m为整数，
∴当m=20时，w取得最大值，此时40−m=40−20=20．
答：购进20个A品牌雪糕，20个B品牌雪糕时获利最多．
【解析】(1)设王老板第一次进货时，A品牌雪糕的进价是x元/个，B品牌雪糕的进价是y元/个，根据“第一次进货时，购买2个A品牌和购买3个B品牌的雪糕共需69元；购买1个A品牌和购买4个B品牌的雪糕共需72元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m个A品牌雪糕，则购进(40−m)个B品牌雪糕，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合“进货总价不超过540元，且购进A品牌的个数不超过B品牌个数的3倍”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设再次购进A，B两种雪糕全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】−1≤y≤15
【解析】解：(1)若抛物线过点(4,3)，则3=16a−16+3，
解得a=1，
∴y=x2−4x+3；
①∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴顶点坐标为(2,−1)；
②当x=6时，y=x2−4x+3=15，
∴当0≤x≤6时，直y的取值范围为−1≤y≤15，
故答案为：−1≤y≤15；
(2)抛物线y=ax2−4x+3(a>0)对称轴为直线x=−−42a=2a，
∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x=0时，y=3，
∴x=2a时，y=1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为(2a,1)，
∴1=4a−8a+3，
解得a=2，
∴y=2x2−4x+3，
把x=m，y=9代入得9=2m2−4m+3，
解得m1=3，m2=−1，
∴m>0，
∴m=3，
故a的值为2，m的值为3．
(1)①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得x=6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
(2)抛物线开口向上，对称轴为直线x=2a，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为(2a,1)且过点(m,9)，把顶点坐标代入解析式即可求得a=2，然后把点(m,9)代入解析式即可求得m的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】 22
【解析】(1)解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB= AC2+BC2= 2AC，
∴ACAB= 22，
∵DE//BC，
∴CDBE=ACAB= 22，
故答案为： 22；
(2)解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=12AB，
∴ ACAB=12，
∵将△ACB绕点A旋转一定的角度后的图形是△AC′B′，
∴∠BAC=∠B′A′C=60°，AC=A′C′，AB=A′B′，
∴∠CAC′=∠B′AB，ACAB=AC′AB′=12，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴CC′BB′=ACAB=12；
(3)证明：如图，
延长EM至G，使GM=EM，连接AG，BE，设直线EF交AB于H，
在Rt△ABC中，ABBC=tan∠ACB=tan30°= 33，
在Rt△CEF中， EFCE=tan∠ECF=tan30°= 33，
∴ABBC=EFCE，
∵AM=FM，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∴AG=EF，AG//EF，
∴AGCE=EFCE= 33，∠AHE=∠BAG，
∴ABBC=AGCE，
∵∠ABC+∠CEF=180°，
∴点C、E、H、B共圆，
∴∠AHE=∠BCE，
∴∠BAG=∠BCE，
∴△ABG∽△CBE，
∴∠ABG=∠CBE，
∴∠ABG+ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°，
∴∠EBE=90°，
∴BM=ME=12EG．
(1)根据DE//BC得出CDBE=ACAB= 22；
(2)可推出∠CAC′=∠B′AB，ACAB=AC′AB′=12，从而△ACC′∽△ABB′，进而得出CC′BB′=ACAB=12；
(3)延长EM至G，使GM=EM，连接AG，BE，设直线EF交AB于H，可得出ABBC=EFCE，可推出四边形AGFE是平行四边形，从而AG=EF，AG//EF，可证得点C、E、H、B共圆，从而∠AHE=∠BCE，进而∠BAG=∠BCE，进而证得△ABG∽△CBE，从而∠ABG=∠CBE，进而证得∠EBE=90°，从而推出BM=ME=12EG．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某水库4月份的最高水位超过标准水位3cm，记为+3cm，最低水位低于标准水位3cm，记为( )
A. +3cm B. −3cm C. 6cm D. 0cm
2. 某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键( )
A. B. C. D.
3. 2022年，某市围绕稳就业、保民生、促发展工作，扎实推动就业工作高质量发展.该城镇新增就业10.24万人.将10.24万用科学记数法可以表示为a×10n的形式，其中a为( )
A. 10.24 B. 102.4 C. 1.024 D. 1024
4. 下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列计算结果正确的是( )
A. −(−6)=−6 B. (x2)3=x6
C. |2− 2|= 2−2 D. 48=4 6
7. 某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下(单位：分)：甲组：92，93，90，91，90，88；乙组：90，90，90，90，90，90.比较两组数据的方差( )
A. S甲2
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=6，BC=8，则EF的长为( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 52
9. 二次函数y=2x2−3x−c(c>0)的图象与x轴的交点情况是( )
A. 有1个交点 B. 有2个交点 C. 无交点 D. 无法确定
10. 在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是( )
A. 3
B. 3 3
C. 2 3
D. 3 32
11. 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.如图，点C把线段AB分成两份，如果BC：AC=AC：AB，那么称点C是线段AB的黄金分割点.冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高2m，则玩偶嘴巴离地高度是m．( )
A. 5−12 B. 3− 52 C. 5−22 D. 5−1
12. 如图，大等边三角形中有n个全等的等边三角形，若大等边三角形的面积为S1，n个小等边三角形的面积的和为S2，则S1与S2之间的关系为( )
A. S1=n2S2
B. S1=nS2
C. S1=4 3nS2
D. S1=2nS2
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 若代数式 3x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
14. 已知m、n是一元二次方程x2−2x−1=0的两根，则m+n的值为______ ．
15. 小丽和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，在一个回合中出现平局的概率是______ ．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AB=13，CD⊥AB于点D，点E，F为AD，CD上的动点，且DEDF=125，延长BF交CE于点P，连接AP，则AP的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
计算：
(1)2sin45°+( 2−1)0−(−12)−2；
(2)x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3．
18. (本小题10.0分)
(1)若ab<0，则a>0b(ㅤㅤ)0或a<0b(ㅤㅤ)0(用“<”或“=”或“>”填空)；
(2)请仿照以上思路，解不等式(2x+4)(x−1)<0．
19. (本小题10.0分)
如图，直线y=32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．
(1)写出k值______ ；
(2)设点P是双曲线上的一点，且△POB的面积是△AOB的面积的4倍，求出点P的坐标．
20. (本小题10.0分)
娄山关收费站位于遵义市汇川区泗渡镇观坝村的兰海高速遵义至崇溪河段，以城墙和塔楼形式呈现，具有地方特色，气势恢宏.某数学兴趣小组要测量塔楼最高点距地面的高度，如图，他们在A处用测角仪AD测得最高点B的仰角为45°，又在同一位置把测角仪加高1米至E点，测得点B的仰角为44°，已知测角仪支架AD=1.5米.请根据相关测量信息，计算塔楼最高点距地面的高度.(结果精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.695，cos44°≈0.719，tan44°≈0.966)
21. (本小题10.0分)
某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量(kg)
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量(箱)
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
(1)直接写出上述表格中a，b，c的值．
(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数)？
22. (本小题12.0分)
如图，在⊙O中，AB是直径，C与D关于AB对称，延长AD，CB交于点E，过点B作⊙O的切线BF交AE于点F．
(1)在不添加辅助线的情况下写出一个与∠FBE相等的角：∠FBE= ______ ；
(2)证明(1)中的相等关系；
(3)若AC=6，AE=10，求EF的长．
23. (本小题10.0分)
夏天刚到，市面上已出现种类奇多的雪糕，其中有些雪糕味道平平无奇，包装色彩朴素，但价格极高，被人们称为雪糕刺客，某便利店王老板计划购进A，B两个品牌的雪糕若干支来售卖，第一次进货时，购买2个A品牌和购买3个B品牌的雪糕共需69元；购买1个A品牌和购买4个B品牌的雪糕共需72元．
(1)求王老板第一次进货时A，B两种品牌雪糕的进价；
(2)王老板计划用不超过540元购进A，B两种雪糕共40个，且A品牌的个数不超过B品牌个数的3倍.如果王老板按照A品牌每个16元，B品牌每个20元的价格全部售出，那么购进A，B两种雪糕各多少个时获利最多？
24. (本小题12.0分)
对于抛物线y=ax2−4x+3(a>0)．
(1)若抛物线过点(4,3)．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为______ ；
(2)已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
25. (本小题12.0分)
【初步发现】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点D，E分别在边AC，AB上，且DE//BC，则CDBE= ______ ．
【探究证明】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°.将△ACB绕点A旋转一定的角度后的图形是△AC′B′，连接CC′，BB′，求CC′BB′的值．
【综合拓展】如图3，在矩形ABCD中，∠ACB=∠FCE=30°，∠FEC=90°，M为AF的中点，求证：MB=ME．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：超过标准水位3cm，记为+3cm，最低水位低于标准水位3cm记为−3cm．
故选：B．
根据相反意义的量，书写即可．
本题考查相反意义的量，把握相反意义的量是关键．
2.【答案】A
【解析】解：根据计算器的相关知识，可知答案为A．
故选：A．
首先了解各个符号的含义，解决计算器各个按键的功能，就可以选出正确的结果．
本题考查计算器—数的开方，解题的关键是知道算术平方根的对应按键．
3.【答案】C
【解析】解：10.24万=102400=1.024×105．
即a=1.024．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.【答案】D
【解析】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；
选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：D．
根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】B
【解析】解：A.−(−6)=6，故本选项不符合题意；
B.(x2)3=x6，故本选项符合题意；
C.|2− 2|=2− 2，故本选项不符合题意；
D. 48= 42×3=4 3，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据相反数的定义，幂的乘方，绝对值和算术平方根进行计算，再得出选项即可．
本题考查了相反数的定义，幂的乘方，实数的性质和算术平方根等知识点，能熟记相反数的定义、幂的乘方、实数的性质和算术平方根是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵甲组：92，93，90，91，90，88；乙组：90，90，90，90，90，90．
∴甲组的成绩有波动，方差不为0，乙组的成绩没有波动，方差为0，
故选：C．
根据甲和乙两组的成绩即可分析出方差的大小．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB=5，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=12AC=12×6=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选：A．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=10，根据三角形中位线定理得到DE//AB，DE=12AB=5，根据平行线的性质得到∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF，求得∠DAF=∠DFA，得到DF=AD，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×(−c)=9+8c，
∵c>0，
∴9+8c>0，
∴Δ>0，
∴二次函数y=2x2−3x−c(c>0)的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
根据判别式Δ>0，得出结论．
本题考查抛物线与x轴的交点，关键是抛物线与x轴交点个数与判别式Δ的关系．
10.【答案】C
【解析】解：设OA交BC于点D，如图，
∵BC垂直平分OA，
∴OD=12r，BD=CD=12BC=3，
在Rt△OBD中，(12r)2+32=r2，
解得r1=2 3，r2=−2 3(舍去)，
即r的值为2 3．
故选：C．
设OA交BC于点D，如图，根据线段垂直平分线的性质得到OD=12r，根据垂径定理得到BD=3，则利用勾股定理得到(12r)2+32=r2，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
11.【答案】D
【解析】解：∵他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，玩偶身高2m，
∴玩偶嘴巴离地高度= 5−12×2=( 5−1)m，
故选：D．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：设大等边三角形的边长为x，
∴大等边三角形的高为： x2−(x2)2= 32x，
∴S1=12×x× 32x= 34x2，
由题意得，n个全等的等边三角形的边长为xn，
∴S2=n⋅ 34(xn)2= 3x24n，
∴S1=nS2，
故选：B．
如图所示，设大等边三角形的边长为x，则面积为 34x2，再求出n个全等的等边三角形的边长为xn，进而求出小等边三角形的面积和，即可得到S1与S2的关系．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，正确求出S1，S2是解题的关键．
13.【答案】x≥53
【解析】解：∵代数式 3x−5在实数范围内有意义，
∴3x−5≥0，
∴x≥53．
故答案为：x≥53．
根据二次根式 3x−5的被开方数3x−5是非负数解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：因为m，n是一元二次方程x2−2x−1=0的两根，
根据根与系数的关系，m+n=−−21=2．
故答案为：2．
根据根与系数的关系，直接代入得结果．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．根与系数的关系：若m、n是方程ax2+bx+c=0的两根，则m+n=−ba，mn=ca．
15.【答案】13
【解析】解：将石头，剪刀、布分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中在一个回合中出现平局的结果有3种，
∴在一个回合中出现平局的概率为39=13．
故答案为：13．
画树状图得出所有等可能的结果数以及在一个回合中出现平局的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
16.【答案】 6012−52
【解析】解：∵∠ACB=90°，BC=5，AB=13，
∴AC= AB2−BC2= 169−25=12，
∵CD⊥BC，
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠BCD，
∴tan∠CAD=tan∠BCD=BCAC=BDCD=512，
如图，连接EF，
∵tan∠DEF=DFDE=512，
∴DFDE=DBCD，
又∵∠CDB=∠CDA=90°，
∴△DBF∽△DCE，
∴∠ECD=∠DBF，
又∵∠DFB=∠CFP，
∴∠CDB=∠CPF=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上运动，
如图，取BC的中点O，连接AO，
∴CO=BO=52，
∴AO= AC2+CO2= 6012，
当点P在AC上时，AP有最小值，最小值为 6012−52，
故答案为： 6012−52．
通过证明△DBF∽△DCE，可得∠ECD=∠DBF，可得∠CDB=∠CPF=90°，则点P在以BC为直径的圆上运动，即当点P在AC上时，AP有最小值，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2sin45°+( 2−1)0−(−12)−2
=2× 22+1−4
= 2+1−4
= 2−3；
(2)x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3
=x−3(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x−3
=x+1x−1．
【解析】(1)化简零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后再计算；
(2)先将分子与分母中的多项式进行因式分解，然后约分即可．
本题考查了分式的乘除法，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)若ab<0，则a>0b<0或a<0b>0，
故答案为：<；>；
(2)(2x+4)(x−1)<0，
∴2x+4>0x−1<0或2x+4<0x−1>0，
解不等式组2x+4>0x−1<0得：−2
综上所述：(2x+4)(x−1)<0的解集为：−2
(2)利用(1)的结论可得2x+4>0x−1<0或2x+4<0x−1>0，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，有理数的乘法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
19.【答案】16
【解析】解：(1)∵CD⊥y轴于点D，且CD=4．
∴点C的横坐标为4，
当x=4时，y=32×4−2=4，
∴点C(4,4)，
又∵点C(4,4)在双曲线y=kx(k≠0)的上，
∴k=4×4=16，
故答案为：16；
(2)∵直线y=32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A(43,0)，点B(0,−2)，
即OA=43，OB=2，
∴S△AOB=12×43×2=43，
设P(x,16x)，
由于△POB的面积是△AOB的面积的4倍，
∴△POB的面积为163，
即12OB×|x|=163，
解得x=±163，
当x=163时，y=16163=3，
当x=−163时，y=16−163=−3，
∴点P(163,3)或(−163,−3)．
(1)把x=4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定k的值，进而确定反比例函数关系式；
(2)根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，确定点C坐标是求出反比例函数关系式的关键，用含有点Q的坐标表示三角形BOQ的面积标是解决问题的前提．
20.【答案】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，过点E作EG⊥BC，垂足为G，
由题意得：CF=AD=1.5米，GC=AE=AD+1=1.5+1=2.5(米)，DF=GE=AC，
设EG=DF=AC=x米，
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，
∴BF=DF⋅tan45°=x(米)，
∴BC=BF+CF=(x+1.5)米，
在Rt△BGE中，∠BEG=44°，
∴BG=EG⋅tan44°≈0.966x(米)，
∴BC=BG+CG=(0.966x+2.5)米，
∴x+1.5=0.966x+2.5，
解得：x≈29.41，
∴BC=x+1.5≈30.9(米)，
∴塔楼最高点距地面的高度约为30.9米．
【解析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，过点E作EG⊥BC，垂足为G，根据题意可得：CF=AD=1.5米，GC=AE=2.5米，DF=GE=AC，然后设EG=DF=AC=x米，然后在Rt△BFD中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出BC的长，再在Rt△BGE中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出BC的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)a=20−2−1−7−3−1=6，
分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c=4.7+4.82=4.75，
∴a=6，b=4.7，c=4.75；
(2)选择平均数4.75，
这2000箱荔枝共损坏了2000×(5−4.75)=500(千克)；
(3)10×2000×5÷(2000×5−500)≈10.5(元)，
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本．
【解析】(1)根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
(2)从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
(3)求出成本，根据(2)的结果计算即可得到答案．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
22.【答案】∠BAC或∠DAB
【解析】(1)解：根据题意可得：
∠FBE=∠BAC=∠DAB，
故答案为：∠BAC或∠DAB．
(2)证明：BF是⊙O的切线，
∴BF⊥AB，则∠ABF=90°，
∴∠FBE+∠ABC=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠FBE=∠BAC；
∵C与D关于AB对称，
∴BC=BD，
∴∠BAC=∠BAD，
∴∠FBE=∠DAB．
综上：∠FBE=∠BAC=∠DAB；
(3)解：连接BD，过点F作FG⊥BE于点G，
∵AC=6，C与D关于AB对称，
∴AD=AC=6，
∵AE=10，
∴DE=AE−AD=4，
∴AC=6，AE=10，∠ACB=90°，
∴sinE=ACAE=35，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBD+∠ABD=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠FBD，
由(1)可知∠FBE=∠DAB，
∴∠FBE=∠FBD，
∵∠ADB=90°，FG⊥BE，
∴FD=FG，
设EF=x，则FD=FG=4−x，
∴sinE=FGEF=4−xx=35，
解得x=52，
∴EF=52．
(1)根据同角的余角相等，结合图形进行分析，即可得出结论；
(2)根据BF是⊙O的切线，得出∠FBE+∠ABC=90°，根据AB是⊙O直径，得出∠BAC+∠ABC=90°，则∠FBE=∠BAC，根据轴对称的性质得出BC=BD.进而得出∠BAC=∠BAD，即可得出结论；
(3)连接BD，过点F作FG⊥BE于点G，根据轴对称的性质得出AD=AC=6，则DE=AE−AD=4，再求出sinE=AEAC=35，再证明BF平分∠DBE，得出FD=FG，设EF=x，则FD=FG=4−x，则sinE=4−xx=35，即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤．
23.【答案】解：(1)设王老板第一次进货时，A品牌雪糕的进价是x元/个，B品牌雪糕的进价是y元/个，
根据题意得：2x+3y=69x+4y=72，
解得：x=12y=15．
答：王老板第一次进货时，A品牌雪糕的进价是12元/个，B品牌雪糕的进价是15元/个；
(2)设购进m个A品牌雪糕，则购进(40−m)个B品牌雪糕，
根据题意得：12m+15(40−m)≤540m≤3(40−m)，
解得：20≤m≤30．
设再次购进A，B两种雪糕全部售出后获得的总利润为w元，则w=(16−12)m+(20−15)(40−m)，
即w=−m+200．
∵−1<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵20≤m≤30，且m为整数，
∴当m=20时，w取得最大值，此时40−m=40−20=20．
答：购进20个A品牌雪糕，20个B品牌雪糕时获利最多．
【解析】(1)设王老板第一次进货时，A品牌雪糕的进价是x元/个，B品牌雪糕的进价是y元/个，根据“第一次进货时，购买2个A品牌和购买3个B品牌的雪糕共需69元；购买1个A品牌和购买4个B品牌的雪糕共需72元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m个A品牌雪糕，则购进(40−m)个B品牌雪糕，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合“进货总价不超过540元，且购进A品牌的个数不超过B品牌个数的3倍”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设再次购进A，B两种雪糕全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】−1≤y≤15
【解析】解：(1)若抛物线过点(4,3)，则3=16a−16+3，
解得a=1，
∴y=x2−4x+3；
①∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴顶点坐标为(2,−1)；
②当x=6时，y=x2−4x+3=15，
∴当0≤x≤6时，直y的取值范围为−1≤y≤15，
故答案为：−1≤y≤15；
(2)抛物线y=ax2−4x+3(a>0)对称轴为直线x=−−42a=2a，
∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x=0时，y=3，
∴x=2a时，y=1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为(2a,1)，
∴1=4a−8a+3，
解得a=2，
∴y=2x2−4x+3，
把x=m，y=9代入得9=2m2−4m+3，
解得m1=3，m2=−1，
∴m>0，
∴m=3，
故a的值为2，m的值为3．
(1)①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得x=6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
(2)抛物线开口向上，对称轴为直线x=2a，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为(2a,1)且过点(m,9)，把顶点坐标代入解析式即可求得a=2，然后把点(m,9)代入解析式即可求得m的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】 22
【解析】(1)解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB= AC2+BC2= 2AC，
∴ACAB= 22，
∵DE//BC，
∴CDBE=ACAB= 22，
故答案为： 22；
(2)解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=12AB，
∴ ACAB=12，
∵将△ACB绕点A旋转一定的角度后的图形是△AC′B′，
∴∠BAC=∠B′A′C=60°，AC=A′C′，AB=A′B′，
∴∠CAC′=∠B′AB，ACAB=AC′AB′=12，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴CC′BB′=ACAB=12；
(3)证明：如图，
延长EM至G，使GM=EM，连接AG，BE，设直线EF交AB于H，
在Rt△ABC中，ABBC=tan∠ACB=tan30°= 33，
在Rt△CEF中， EFCE=tan∠ECF=tan30°= 33，
∴ABBC=EFCE，
∵AM=FM，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∴AG=EF，AG//EF，
∴AGCE=EFCE= 33，∠AHE=∠BAG，
∴ABBC=AGCE，
∵∠ABC+∠CEF=180°，
∴点C、E、H、B共圆，
∴∠AHE=∠BCE，
∴∠BAG=∠BCE，
∴△ABG∽△CBE，
∴∠ABG=∠CBE，
∴∠ABG+ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°，
∴∠EBE=90°，
∴BM=ME=12EG．
(1)根据DE//BC得出CDBE=ACAB= 22；
(2)可推出∠CAC′=∠B′AB，ACAB=AC′AB′=12，从而△ACC′∽△ABB′，进而得出CC′BB′=ACAB=12；
(3)延长EM至G，使GM=EM，连接AG，BE，设直线EF交AB于H，可得出ABBC=EFCE，可推出四边形AGFE是平行四边形，从而AG=EF，AG//EF，可证得点C、E、H、B共圆，从而∠AHE=∠BCE，进而∠BAG=∠BCE，进而证得△ABG∽△CBE，从而∠ABG=∠CBE，进而证得∠EBE=90°，从而推出BM=ME=12EG．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
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