2023年湖北省武汉市江岸区解放中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年湖北省武汉市江岸区解放中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省武汉市江岸区解放中学中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数4的相反数是(    )
A. −14 B. −4 C. 14 D. 4
2. 下列四个图案中，是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 在一个不透明的袋子中有四个相同的小球，将口袋中的小球分别标号为2、3、4、5，从中随机摸出两个小球，则下列事件为随机事件的是(    )
A. 两个小球的标号之和等于4 B. 两个小球的标号之和等于9
C. 两个小球的标号之和大于9 D. 两个小球的标号之和大于4
4. 某机床加工的零件如图所示，该零件的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 下列运算正确的是(    )
A. 4x3−3x3=x3 B. (x2)4=x6 C. (3x3)2=6x6 D. x4÷x4=x
6. 若点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则a，b，c的大小关系是(    )
A. a 7. 已知m，n是一元二次方程x2−8x+5=0的两根，则1m−1+1n−1的值是(    )
A. −57 B. −1 C. −3 D. 13
8. 某快递公司每天上午9：00−10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为(    )
A. 9：10
B. 9：35
C. 9：15或9：35
D. 9：10或9：30
9. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=45°，延长CO交AB于点D，OC= 3OD，AB=3 2，则BC的长是(    )
A. 1+2 3
B. 2+ 6
C. 3 3
D. 3+ 3
10. 若方程Ax+By=0表示一条直线，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示条不同的直线．(    )
A. 20 B. 22 C. 28 D. 30
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 大于 3的最小整数是______ ．
12. 武汉经济技术开发区经济能够快速增长，离不开工业产业的加持，2022年全区实现工业总产值3462.23亿元，排名全市第一，其中数据3462.23用科学记数法表示是______ ．
13. 一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是______ ．
14. 一个立方体木箱沿斜面下滑，木箱下滑至如图所示位置时，AB=3m.已知木箱高BE=2m，∠BAC=30°，则木箱端点E距地面AC高度约为______ m.(结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位).(参考数据： 5≈2.236)


15. 对于二次函数y=mx2−(4m+1)x+3m+3(m<0).有下列说法：
①当x>2时，y随x的增大而减小；
②无论m为何值，该函数图象一定经过点(1,2)和(3,0)两点．
③该二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离小于2；
④该函数图象的顶点的纵坐标的最小值是2；
其中正确的是______ .(只需填写序号)
16. 在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，则小正方形的边长为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组2x−1≤5①3x+2>2x②请按下列步骤完成解答：

(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)原不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，∠1=∠2．
(1)求证：AB//CD；
(2)若BC=2CE，△ABE的面积为4，直接写出四边形EFDB的面积．

19. (本小题8.0分)
某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
组别
阅读时间t(单位：
频数(人数)
A
0≤t<1
8
B
1≤t<2
20
C
2≤t<3
24
D
3≤t<4
m
E
4≤t<5
8
F
t≥5
4
请根据图表信息，解答下列问题：
(1)直接写出m= ______ ，n= ______ ；
(2)这组数据的中位数所在的组别是______ ；
(3)该校共有学生1500名，请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时？

20. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=AC= 3，∠BAC=120°，点O在BC上，⊙O过点A和点B．
(1)求证：CA是⊙O的切线；
(2)点D是圆周上一点，∠ADC=90°，求AD的长．

21. (本小题10.0分)
如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，点P在AB上，点M为AB与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，以AB为边画菱形ABDE；再在BC上找点P’，使BP′=BP
(2)在图2中，在BC边上画一点N，使S△ACM=S△ACN；
(3)在图3中，画线段GH，使GH=14AP


22. (本小题8.0分)
为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图1，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分.第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y(m)与出水点到高楼的水平距离x(m)之间满足二次函数关系.(武资网)
(1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______ ；
(2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D(水流从D点射出)处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
(3)若消防员从点C前进tm到点T(水流从T点射出)处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，求请直接写出t的值.(水流所在抛物线形状与第一次完全相同)


23. (本小题10.0分)
如图1，在菱形ABCD和等腰△DEF中，DE=EF，∠DEF=∠DAB=120°，点F在边AB上，对角线BD交EF于点G．
(1)求证：△DEG∽△DAF；
(2)如图2，连接CE．
①求BFCE的值；
②若AF= 3CE，求证：FG=EG；
(3)如图2，延长FE交CD于H，若BF=2AF，请直接写出EFEH的值．


24. (本小题12.0分)
已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)直接写出b，c的值；
(2)如图1，平行于x轴的直线EF在BC下方交抛物线于E，F两点，点D在直线BC上，若△DEF为等边三角形，求边EF的长；
(3)如图2，P为抛物线的顶点，直线y=kx+3k−4交抛物线于M，N两点(M在N的左边)，交抛物线的对称轴于点Q，证明：对于任意的实数k，tan∠MPQ−tan∠NPQ为定值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
根据互为相反数的定义即可判定选择项．
【解答】
解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是−4；
故选：B．  
2.【答案】D 
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】B 
【解析】解：A、两个小球的标号之和等于4，是不可能事件，故A不符合题意；
B、两个小球的标号之和等于9，是随机事件，故B符合题意；
C、两个小球的标号之和大于9，是不可能事件，故C不符合题意；
D、两个小球的标号之和大于4，是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：如图所示零件的左视图是．
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．

5.【答案】A 
【解析】解：A、4x3−3x3=x3，故A符合题意；
B、(x2)4=x8，故B不符合题意；
C、(3x3)2=9x6，故C不符合题意；
D、x4÷x4=1，故D不符合题意；
故选：A．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

6.【答案】B 
【解析】解：∵−(k2+1)<0，
∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A(a,−3)，B(b,−2)，C(c,1)在反比例函数y=−k2+1x的图象上，
∴点A(a,−3)，B(b,−2)在第四象限，点C(c,1)在第二象限，
∴b>a>0，c<0，
∴c 故选：B．
根据反比例函数的性质解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2−8x+5=0的两根，
∴m+n=8，mn=5，
∴1m−1+1n−1
=n−1+m−1(m−1)(n−1)
=m+n−2mn−(m+n)+1
=8−25−8+1
=−3．
故选：C．
根据m，n是一元二次方程x2−8x+5=0的两根，可以得到m+n=8，mn=5，把式子进行变形，整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：设y甲=kx+b，把(0,40)，(60,400)代入得：
b=4060k+b=400，
解得k=6b=40，
∴y甲=6x+40；
同理可得y乙=−4x+240，
∵两仓库快递件数相差100件，
∴|y甲−y乙|=100，即|6x+40−(−4x+240)|=100，
解得x=10或x=30，
∴当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为9：10或9：30；
故选：D．
求出函数关系式，再根据两仓库快递件数相差100件列方程即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式．

9.【答案】D 
【解析】解：如图，连接OA，AC，作AM⊥BC于点M，

∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，∠BAM=90°−45°=45°，
∴∠AOD=90°，AM=BM，
∵OA=OC，OC= 3OD，
∴OA= 3OD，
∴tanOAD=ODOA= 33，
∴∠OAD=30°，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠BAC=∠OAD+∠OAC=30°+45°=75°，
∴∠ACM=180°−∠ABC−∠BAC=180°−45°−75°=60°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∴AM=BM=AB⋅sin45°= 22AB，CM=AMtan60∘= 33AM，
∵AB=3 2，
∴AM=BM=3，CM= 3，
∴BC=BM+CM=3+ 3，
故选：D．
连接OA，AC，作AM⊥BC于点M，结合已知条件，利用圆周角定理及直角三角形性质可得∠AOD=90°，AM=BM，再由特殊锐角的三角函数值求得∠OAD=30°，再结合等腰直角三角形性质及三角形内角和定理可求得∠ACM=60°，然后利用三角函数分别求得BM，CM的长度，最后利用线段的和差即可求得答案．
本题考查圆与直角三角形的综合问题，连接OA，AC，作AM⊥BC于点M，构造直角三角形并求得∠ACM=60°是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：当A、B中有一个是0时，
若A=0，则y=0，表示一条直线，
若B=0，则x=0，表示一条直线，
∴此时有两条直线；
当AB≠0时，
从1，2，3，5，7这5个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，共有5×4=20种组合，
∴此时有20条直线，
∴共可表示直线的条数是20+2=22．
故选：B．
分两种情况讨论，即可解决问题．
本题考查满足条件直线条数的求法，关键是分情况讨论．

11.【答案】2 
【解析】解：∵1<3<4，
∴1< 3<2，
则大于 3的最小整数是2，
故答案为：2．
估算 3在哪两个整数之间后即可得出答案．
本日考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

12.【答案】3.46223×103 
【解析】解：3462.23=3.46223×103．
故答案为：3.46223×103．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

13.【答案】13 
【解析】解：列表如下：
 
白
白
黑
黑
白
——
(白，白)
(黑，白)
(黑，白)
白
(白，白)
——
(黑，白)
(黑，白)
黑
(白，黑)
(白，黑)
——
(黑，黑)
黑
(白，黑)
(白，黑)
(黑，黑)
——
所有等可能的情况有12种，其中从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的情况有4种，
∴随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是412=13．
列表得出所有等可能的情况数，找出任意穿上两只袜子刚好是一对的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】7 55 
【解析】解：作EN⊥AC于N交AB于M．
∵∠EBM=∠ANM=90°，∠BME=∠AMN，
∴∠BEM=∠CAB，
在Rt△EMB中，tan∠BEM=tan∠BAC=BMBE=BM2=0.5，
∴BM=1m，
∴EM= BE2+BM2= 22+12= 5(m)，
∵AB=3m，
∴AM=2，
∵tan∠BAC=MNAN=0.5，
∴AN=2MN，
∵MN2+AN2=MN2+(2MN)2=AM2=4，
∴MN=2 55，
∴EN=EM+MN=7 55≈3.13(m)；
∴木箱端点E距地面AC的高度为3.13m．
故答案为：3.13．
作EN⊥AC于N交AB于M.解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

15.【答案】①② 
【解析】解：由题意，二次函数y=mx2−(4m+1)x+3m+3的对称轴x=4m+12m=2+12m，
又m<0，
∴x=4m+12m=2+12m<2，且二次函数开口向下．
∴当x>2时，y随x的增大而减小．
∴①正确．
将x=1代入二次函数的解析式求得y=2；将x=3代入二次函数的解析式求得y=0，
∴无论m为何值，该函数图象一定经过点(1,2)和(3,0)两点．
∴②正确．
令y=0，解关于x的一元二次方程mx2−(4m+1)x+3m+3=0得，
∴x1=m+1m，x2=3．
∵m<0，
∴x1=m+1m=1+1m<1 ∴两个交点间的距离为x2−x1=3−(1+1m)=2−1m．
∵m<0，
∴2−1m>2．
∴该二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离大于2．
∴③错误．
由题意，顶点的纵坐标为4ac−b24a=4m(3m+3)−(4m+1)24m=−(2m−1)24m=−m−14m+1．
∵m<0，
∴−m>0，−14m>0．
∴−m−14m>2 (−m)×(−14m)=1．
∴−m−14m+1>2．
∴该函数图象的顶点的纵坐标大于2．
∴④错误．
故答案为：①②．
依据题意，将求出二次函数的对称轴x=4m+12m，由m<0，可以发现对称轴在x=2左侧，进而可以判断①；分别将x=1，x=3代入二次函数的解析式求得相应y的值即可判断②；令y=0，解关于x的一元二次方程mx2−(4m+1)x+3m+3=0得二次函数y=mx2−(4m+1)x+3m+3的图象与x轴的两个交点的横坐标，然后进行作差即可判断③；利用公式4ac−b24a求出顶点的纵坐标然后进行判断④．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

16.【答案】 5 
【解析】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，
【解答】设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，
∵AB=7，BC=8，
∴3x+y=73x+2y=8，
解得x=2y=1，
∴小正方形的边长为： 22+12= 5．
故答案为： 5．
将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，根据AB=7，BC=8，列出二元一次方程组，求出x和y，再求出边长即可．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键．

17.【答案】x≤3  x>−2  −2 【解析】解：(1)解不等式①，得x≤3；
故答案为：x≤3；
(2)解不等式②，得x>−2；
故答案为：x>−2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组的解集是−2 故答案为：−2 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】(1)证明：∵AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，
∴∠CEF=90°，∠CBD=90°，
∴∠CEF=∠CBD，
∴AF//BD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠2，
∴∠D=∠2，
∴AB//CD；
(2)解：∵AB//CD，
∴∠1=∠A，∠C=∠ABE，
∵BC=2CE，
∴CE=BE，
∴△CEF≌△BEA(AAS)，
∴△CEF面积等于△ABE的面积，
∴△CEF面积为4，
∵AB//CD，
∴△CEF∽△CBD，
∵CECB=12，
∴S△CEFS△CBD=14，
∴S△CBD=16，
∴四边形EFDB的面积为16−4=12． 
【解析】(1)由两个垂直条件可得AF//BD，由平行线的性质及∠1=∠2，即可推出AB//CD；
(2)先证明△CEF≌△BEA，得△CEF面积为4，再证明△CEF∽△CBD，得S△CEFS△CBD=14，所以S△CBD=16，即可求出四边形EFDB的面积为16−4=12．
本题考查平行线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定、相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．

19.【答案】16  30  2≤t<3 
【解析】解：(1)∵抽取的学生数为8÷10%=80(人)，
∴m=80×20%=16，n=24÷80×100=30；
故答案为：16，30；
(2)由表格可知第40、41个数都在2≤t<3，
故答案为：2≤t<3；
(3)由题意得：1500×(20%+10%+5%)=525(名)．
答：估计该校有525名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时．
(1)先求得抽取的学生数，再根据频数、频率与数据总数的关系求出m、n；
(2)直接根据中位数的定义判断即可；
(3)利用样本估计总体的思想，用该校学生总数乘以样本中每周平均课外阅读时间不低于3小时的百分比，即可得到结论．
本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

20.【答案】(1)证明：如图所示，连接OA，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=30°，
∴∠OAC=90°，
即OA⊥AC，
又∵OA为⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线；
(2)解：如图所示，延长AO交⊙O于E，连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∴E、D、C三点共线，
在Rt△AOC中，OA=AC⋅tan∠ACO= 3×tan30°=1，
∴AE=2，
在Rt△ACE中，由勾股定理得CE= AE2+AC2= 22+( 3)2= 7，
∵S△AEC=12AC⋅AE=12CE⋅AD，
∴AD=AE⋅ACCE=2 3 7=2 217． 
【解析】(1)如图所示，连接OA，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ABC=30°，进而得到∠OBA=30°，从而得到∠OAC=90°，由此即可证明CA是⊙O的切线；
(2)如图所示，延长AO交⊙O于E，连接DE，则∠ADE=90°，证明E、D、C三点共线，解Rt△AOC求出OA=1，则AE=2，由勾股定理求出CE= 7，即可利用等面积法求出AD=AE⋅ACCE=2 217．
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图1中，菱形ABCD，点P′即为所求；
(2)如图2中，点N即为所求；
(3)如图3中，线段GH即为所求．
 
【解析】(1)画一个边长为5的菱形即可；
(2)取格点P，Q，连接PQ交BC与点N，连接AN，点N即为所求；
(3)取格点M，N，G，连接MN交NC与点H，连接GH即可．
(1)(2)(3)作图见解析部分．

22.【答案】y=−38x2+3x+10 
【解析】解：(1)依题意顶点坐标为(4,16)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−4)2+16，将点A(0,10)代入得，
10=a(0−4)2+16，
解得：a=−38，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y=−38(x−4)2+16=−38x2+3x+10；
故答案为：y=−38x2+3x+10；
(2)不能，理由如下，
依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y=−38(x−4+2)2+16=−38(x−2)2+16，
令x=0，解得：y=−32+16=14.5≠15，
即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B(0,15)，
∴水流不能到达点B(0,15)处，
(3)依题意，消防员从点C前进tm到点T(水流从工点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移t个单位得到，
∴消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式为：y=−38(x−4+t)2+16，
∵水流未达到最高点且恰好到达点A处，
∴y=−38(x−4+1)+16过点A(0,10)，且对称轴x=4−t<0，
∴t>4，
将点A(0,10)代入得，
10=−38(0−4+t)2+16，
解得t=8或t=0，
∴t=8．
(1)根据函数顶点坐标(4,16)且过A(0,10)，可设抛物线解析式为y=a(x−4)2+16，再待定系数法求解析式即可求解；
(2)利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令x=0，即可求解；
(3)利用平移求出消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点A(0,10)，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，∠ADB=12∠ADC=α，AB//CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
即∠A=180°−2α，
∵∠EDF=α，
∴∠EDF=∠ADB，
∴∠EDG=∠ADF，
∵∠DEF=180°−2∠EDF=180°−2α，
∴∠DEF=∠A，
∴△DEG∽△DAF；
(2)①解：∵α=30°，
∴∠ADC=60°，∠EDF=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，∠BDC=12∠ADC=30°，
∴∠EDF=∠BDC，
∴∠FDB=∠EDC，
如图，过E作EQ⊥DF于点Q，

∵DE=EF，
∴DF=2DQ，
在Rt△DEQ中，cos30°=DQDE= 32，
∴DFDE=2DQDE= 3，
同理可得BDCD= 3，
∴DFDE=BDCD= 3，
∴△BDF∽△CDE，
∴BFCE=DFDE= 3；
②证明：由①得：BF= 3CE，
∵AF= 3CE，
∴BF=AF，
∵AD=AB，
∴AD=2AF，
由(1)得△DEG∽△DAF，
∴DEEG=ADAF=2，
∴DE=2EG，
∵DE=EF，
∴EF=2EG，
∴点G为线段EF的中点；
(3)解：EFEH=6cos2α−1，理由如下：
在线段BD上找一点M，使得BM=FM，过M作MN⊥BF于N，

∴BF=2BN，∠DMF=2∠MBF=2α，
在Rt△BMN中，cosα=BNBM，
∴BFBM=2BNBM=2cosα，
同理可得：BDAB=2cosα，
设BM=x，则BF=2x⋅cosα，
∵BF=2AF，
∴AF=x⋅cosα，
∴AB=BF+AF=3x⋅cosα，
∴BD=2Ccosα⋅AB=2cosα⋅3x⋅cosα=6x⋅cos2α，
∵∠EDF=∠CDB=α，
∴∠FDM=∠HDE，
∵DE=EF，
∴∠DEH=2∠EDF=2α=∠DMF，
∴△DEH∽△DMF，
∴DEEH=DMFM=6cos2α−xx=6cos2α−1，
∴EFEH=6cos2α−1． 
【解析】(1)根据菱形的性质和等腰三角形的性质可说明∠EDG=∠ADF，∠DEF=∠A，从而证明结论成立；
(2)①过E作EQ⊥DF于点Q，利用DFDE=BDCD= 3，可知△BDF∽△CDE，即可得出答案；
②由①得：BF= 3CE，则BF=AF，再利用△DEG∽△DAF，得DE=2EG，即有EF=2EG，结论得证；
(3)在线段BD上找一点M，使得BM=FM，过M作MN⊥BF于N，则BFBM=2BNBM=2cosα，同理可得：BDAB=2cosα，设BM=x，则BF=2x⋅cosα，从而表示出AB、BD的长，再根据两个角相等证明△DEH∽△DMF，得DEEH=DMFM的值，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能根据图形构造相似三角形是解题的关键．

24.【答案】(1)解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：9+3b+c=0c=−3，
解得：b=−2c=−3，
即b=−2，c=−3；

(2)解：由(1)知，则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3，则点B(3,0)，
则抛物线的对称轴为x=12(3−1)=1，
由点C、B的坐标得，直线BC的表达式为：y=x−3，
如图1，过点D作DH⊥EF交于点H，

∵△DEF为等边三角形，
则E、F关于抛物线对称轴对称，点D在抛物线的对称轴上，∠DEF=60°，
当x=1时，y=x−3=−2，即点D(1,−2)，
∵∠DEF=60°，故设DH= 3m，则EH=m=12EF，
则点E的坐标为(1−m,−2− 3m)，
将点E的坐标代入抛物线表达式得：−2− 3m=(1−m)2−2(1−m)−3，
解得：m= 11− 32(负值已舍去)，
则EF=2m= 11− 3；

(3)证明：由抛物线的表达式知，点P(1,−4)，
如图2，过点M、N分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为点T、R，
设点M、N的坐标分别为：(m,m2−2m−3)、(n,n2−2n−3)，
联立抛物线和直线y=kx+3k−4的表达式并整理得：x2−(2+k)x+1−3k=0，
则m+n=2+k，mn=1−3k，
则tan∠MPQ−tan∠NPQ=MTPH+RNPR=1−mm2−2m−3+4−1−nn2−2n−3+4=2−(m+n)mn−(m+n)+1=−k−4k=14为定值． 
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)△DEF为等边三角形，则E、F关于抛物线对称轴对称，点D在抛物线的对称轴上，∠DEF=60°，则点D(1,−2)，得到E的坐标为(1−m,−2− 3m)，进而求解；
(3)由tan∠MPQ−tan∠NPQ=MTPH+RNPR，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、等边三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．