第4讲 函数与导数解答题（重难点题型突破）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第4讲　函数与导数解答题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题
突破二：分类讨论法与不等式恒（能）成立问题
突破三：同构法与不等式恒（能）成立问题
突破四：端点效应与不等式恒（能）成立问题
突破五：最值定位法解决双参不等式问题
突破六：值域法解决双参等式问题
突破七：单变量不等式证明
角度1：构造函数，利用单调性证明不等式
角度2：构造函数，利用最值证明不等式
角度3：等价转化与不等式证明
角度4：超越放缩与不等式证明
突破八：利用导数证明双变量不等式
角度1：分离双参，构造函数
角度2：糅合双参（比值糅合）
角度3：糅合双参（差值糅合）
角度4：利用指数（对数）平均不等式解决双变量问题





第一部分：知识强化
1、不等式恒成立(能成立)求参数范围的类型与解法
（1）分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
（2）分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
（3）等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
2、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
3、值域法解决双参等式问题（任意——存在型）
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
4、值域法解决双参等式问题（存在——存在型）
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
5、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
（1）对数型超越放缩：（）

上式（1）中等号右边只取第一项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
对于结论②左右两边同乘“”得，用替换“”得：
（）结论③
（2）指数型超越放缩：（）

上式（2）中等号右边只取前2项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
当时，对于上式结论②结论③
当时，对于上式结论②结论④
6、指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
7、对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知，若对任意的不等式恒成立，则实数的最小值为_______.




2．（2022·黑龙江·高二期中）已知，若存在，使不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是______．




3．（2022·贵州毕节·三模（文））函数．
(1)讨论函数零点的个数；
(2)若对，恒成立，求实数的取值范围．




4．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求整数的最大值.






5．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知函数（）.
(1)当时，对于函数，存在，使得成立，求满足条件的最大整数；（）
(2)设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.









6．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二阶段练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)令是函数图像上任意两点，且满足，求实数的取值范围；
(3)若，使成立，求实数的最大值.










突破二：分类讨论法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高三阶段练习（理））已知函数，，若对于，恒成立，则实数的取值集合是_______．





2．（2022·天津市瑞景中学高三期中）已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值.




3．（2022·北京海淀·高三期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；
(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．




4．（2022·福建福州·高二期末）已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．






5．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））已知函数
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．






6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________.




突破三：同构法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·广西北海·一模（理））已知函数．
(1)当时，求过点且和曲线相切的直线方程；
(2)若对任意实数，不等式恒成立，求实数a的取值范围．




2．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，是否存在正实数，使得成立（为自然对数的底数）？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．


3．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：．





突破四：端点效应与不等式恒（能）成立问题
1．设函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的零点；
（Ⅱ）若对任意，，恒有，求实数的取值范围．




2．（2021·河南大学附属中学高三阶段练习（文））已知函数f（x）＝ax﹣a+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈（1，+∞）时，曲线y＝f（x）总在曲线y＝a（x2﹣1）的下方，求实数a的取值范围．




突破五：最值定位法解决双参不等式问题
1．（多选）（2022·福建龙岩·高二期中）已知函数，，若，，使得成立，则a的取值可以是（    ）
A．0 B． C． D．

2．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
3．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期中（理））已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，设，若对于任意、，均有，求的取值范围.






4．（2022·上海市杨思高级中学高三期中）已知函数.
（1）若，求曲线在处切线的方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.




5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，．
（1）求的值与的单调区间；
（2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围．


6．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，且.
(1)求的值，并判断的单调性（不必证明）；
(2)设为正数，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的最大值.


7．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）已知二次函数.
(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；
(2)已知函数，若对，，使不等式成立，求的取值范围.






突破六：值域法解决双参等式问题
1．（多选）（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知函数，，若对任意的，均存在，使得，则的取值可能是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东省实验中学高一阶段练习）设函数与函数）的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的，都有”的函数组成的集合.
(1)判断函数，是不是集合M中的元素？并说明理由；
(2)设函数，，且，若对任意，总存在，使成立，求实数a的取值范围.










3．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)若关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数的取值范围；
(2)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．




突破七：单变量不等式证明
角度1：构造函数，利用单调性证明不等式
1．（2022·河南焦作·高三期中（理））已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．
(1)求的最小值；
(2)证明：当时，．
参考数据：，．



2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值，并求函数的单调区间；
(2)证明：．





3．（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数，
(1)若，求的极值；
(2)讨论的单调区间；
(3)求证：当时，.




4．（2022·广东广州·高二期末）设x＞0，f(x)=lnx，
(1)求证：直线y=x-1与曲线y=f(x)相切；
(2)判断f(x)与g(x)的大小关系，并加以证明．




角度2：构造函数，利用最值证明不等式
1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若，比较与的大小关系.




2．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）函数.
(1)求证：；
(2)求证：.




3．（2022·河南·一模（理））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：当时，．





角度3：等价转化与不等式证明
1．（2022·江西景德镇·三模（文））已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知，求证：当时，总有.




2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数，证明：当时，.



3．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数，，其中…为自然对数的底数.
(1)当时，若过点与函数相切的直线有两条，求的取值范围；
(2)若，，证明：.


4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求的极大值点和极小值点；
(2)若函数，当时，证明：．




5．（2022·广西·钦州一中高二期中（理））已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明不等式在上成立.



角度4：超越放缩与不等式证明
1．（2022·江苏省包场高级中学高三开学考试）已知函数.
(1)设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；
(2)当时，证明：.



2．（2022·安徽·高二期末）函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当，且.
①证明：有两个极值点；
②证明：对任意的.




3．（2022·四川·成都七中高二期中（理））函数.
(1)若，对一切恒成立，求a的最大值；
(2)证明：，其中e是自然对数的底数.





4．（2022·四川·成都七中高二期中（文））函数.
(1)若，对一切恒成立，求a的最大值；
(2)证明：，其中e是自然对数的底数.





突破八：利用导数证明双变量不等式
角度1：分离双参，构造函数
1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（    ）
A． B． C． D．1
2．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习），均有成立，则的取值范围为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在点，（1）处的切线与轴平行．
(1)求实数的值及的极值；
(2)若对任意，，有，求实数的取值范围．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若函数有两个极值点，求的取值范围；
(2)证明：若，则对于任意的，，，有．





角度2：糅合双参（比值糅合）
1．（2022·广东北江实验学校模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.





2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.







3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：






4．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，证明：.




5．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知函数.
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，求证：.


角度3：糅合双参（差值糅合）
1．（2022·全国·高三专题练习）若，令，则的最小值属于（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数的最大值为，且曲线在x＝0处的切线与直线平行（其中e为自然对数的底数）．
（1）求实数a，b的值；
（2）如果，且，求证：．
角度4：利用指数（对数）平均不等式解决双变量问题
1．（2022·江苏·高一单元测试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）若存在，，且当时，，当时，求证：.