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2022-2023学年福建省厦门市集美区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省厦门市集美区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。
2022-2023学年福建省厦门市集美区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知代数式 x−3有意义，则x的值可能是( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
2. 若正比例函数y=kx的图象经过点(1,2)，则k的值为( )
A. −12 B. −2 C. 12 D. 2
3. 如图，在△ABC中，E，D分别是AB，AC的中点，BC=4，则线段ED的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，若FC=5，EC=3，AC=6，CD=4，则直线AB与CD的距离是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图，点A在数轴上表示的数是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数为( )
A. 13 B. 10 C. 6 D. 5
6. 图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作S甲2，S乙2，下列说法正确的是( )
A. S甲2>S乙2 B. S甲2=S乙2 C. S甲2
A. EC B. AB C. BC D. AE
8. 已知某公司职工月平均工资x−=45000×1+18000×2+10000×4+5000×7+3000×1125，记该公司职工的月工资的众数为a，中位数为b，则下列说法正确的是( )
A. a=1 B. a=11 C. b=10000 D. b=5000
9. 学校、文具店、小明家、体育公园依次在同一条笔直的马路上.小明早上7：00从家中出发步行到文具店购买文具，然后以相同的速度步行到学校.在小明出发的同时，小东从学校出发，沿同一条马路跑步到体育公园，到达体育公园后，又以相同的速度跑步折返回到学校.小明和小东与学校的距离y(单位：m)与出发时间t(单位：min)的图象如图所示，下列对t=5与t=14的意义解释正确的是( )
A. 小明和小东在路上相遇时，距离学校250m
B. 两次在路上相遇的时间间隔为9min
C. 小明和小东7：05时在路上相遇
D. 小明和小东7：14时在路上相遇
10. 已知一次函数y=(2k−1)x+3−m的图象交y轴于点C，经过点A(a,5−m)和点B(a+2,3k+1)，若OC≤2，则k的取值范围是( )
A. k≥−1且k≠12 B. k≤3且k≠12
C. −1≤k≤3且k≠12 D. k≥3或k≤−1
11. 计算：
(1)( 3)2= ______ ；
(2) 14÷ 2= ______ ．
12. 小张参加集美区中小学生才艺大赛，5位评委的打分分别为7，8，6，9，8，则这组数据的众数是______ ．
13. 已知一次函数y=kx+1，y随x的增大而增大，则k的值可以是______ .(写出一个符合题意的k值即可)
14. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，AB=4，BC=3，E是AC的中点，连接DE，则DE= ______ ．
15. 数学典籍《九章算术》的勾股章中记载了以下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”将该问题一般化的意思是：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，求与Rt△ABC具有公共直角的内接正方形CDEF的边长.刘徽利用“出入相补”原理，解决了上述问题：将两个图1所示的直角三角形分别分割成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)，再拼成图2所示的矩形，正方形CDEF的边长就可以求得．
根据以上阅读材料，正方形CDEF的边长为______ .(用含a，b的式子表示)
16. 如图，在菱形ABCD中，AB=a，∠A=60°，点E在边AD上，点F在边AB上，将△AEF沿直线EF进行折叠，点A的对应点记为点P，下列结论正确的有______ .(填写所有正确结论的序号)
①当AE
④若点P落在CB的中点上，则AF>a2，且AE=7a8．
17. 计算：
(1) 2( 3+ 5)；
(2) 12+ 3− 27．
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E.证明：AB=DE．
19. 先化简，再求值：(1+1m−2)÷m2−12m−4，其中m= 2−1．
20. 已知一次函数y=x+3．
(1)在图中画出该函数的图象；
(2)直线y=x+3与直线y=−x−1交于点A，求点A的坐标．
21. 如图所示的四边形ABCD是正在建设的某景区示意图，A—B—C—D—A是环绕景区的道路，点D在点A的北偏西45°方向，点B在点A的正东方向，点C在点B的正北方向，经测量AD=2km，AB=1km.设计单位计划在该景区内修建一个观景平台P，并铺设若干条小路连接景区道路.其中点P在点A的正北方向，在点D的正东方向．
(1)求AP的长度；
(2)延长DP与BC交于点E，测得CE=2km，设计单位设计了两种铺设小路的方案：
方案1：铺设小路DE和AP；
方案2：铺设小路CP和AP．
要使得铺设小路的总长度更短，应选择哪种铺设方案，并说明理由．
22. 某职业篮球队中有甲、乙两位攻防水平，受到的防守压力相当的球员.教练组为更合理地布置进攻战术，随机收集了本赛季15场比赛中甲、乙两位球员的投篮情况，统计结果如表1，表2．
表1
球员
2分球投篮数
2分球命中数
甲
200
123
乙
120
62
表2
球员
表23分球投篮数
3分球命中数
甲
100
30
乙
80
40
(备注：每命中一个2分球，得2分；命中一个3分球，得3分.)
(1)若甲球员本赛季计划打60场比赛，请估计本赛季甲球员的3分球命中数；
(2)根据以上数据，结合统计知识，判断应该给哪位球员安排更多出手投篮的机会，并通过计算说明理由．
23. 在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，其中A(m,n+t)，B(m,n)，其中点B，D在直线y=13x+83m+2上，对角线AC与BD交于点G．
(1)求m和n的数量关系；
(2)直线l是矩形ABCD的一条对称轴，若直线l与x轴交于点M(2t,0)，求线段OG的最小值．
24. 如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC和BD交于点O，E是BC延长线上的动点，点F在AE上，连接FC，满足EC2=FC2+EF2．
(1)求作点F；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接OF，在点E的运动过程中，是否存在四边形BCFO为菱形的情形？若存在，探究▱ABCD的边与角需满足的条件，并说明此时点E的位置：若不存在，请说明理由．
25. 为了进一步推进“乡村振兴”计划，提高农民收入.某村根据当地的地理条件，计划要在一座最大海拔高度为1000米的山上，选一处山坡，开垦150亩的农田，用于种植甲、乙两种农作物.为了提高种植农作物的经济效益，相关工作人员对这两种作物的市场销售情况及种植条件进行了如下调研：
①甲作物的价格随时节波动较大，工作人员从一年中随机抽取30天进行调查，并绘制了这30天销售价格(单位：万元/t)的频数分布直方图，如图1所示；乙种作物的市场销售价格基本保持在0.6万元/t．
②甲种作物的年平均产量p(单位：t/亩)随种植高度h(单位：m)变化的大致图象(图象由线段AB和线段BC组成)，如图2所示.乙种作物的年平均产量为2t/亩，种植高度h(单位：m)对产量的影响忽略不计．
③由于建设灌溉系统、物质运输等会产生种植成本，工作人员在山坡上选取了部分有代表性的地点测算平均种植成本w(单位：万元/亩)，数据如表：
种植高度h
(单位：m)
0
50
200
400
600
700
平均种植成本w
(单位：万元/亩)
0.3
0.315
0.36
0.42
0.48
0.51
根据以上信息，解决下列问题：
(1)当种植高度为600m时，求甲种作物的年平均产量；
(2)若要求甲种作物的种植面积不少于乙种作物的2倍，为了使农民获得更高的利润，请你为该村规划种植方案，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：代数式 x−3有意义，则x−3≥0，
解得：x≥3，
故x的值可能是4，
故选：A．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(1,2)，
∴2=k，
解得，k=2．
故选D．
把点(1,2)代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
3.【答案】B
【解析】解：∵E，D分别是AB，AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED=12BC，
∵BC=4，
∴ED=2，
故选：B．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵CF⊥AB于点F，
∴直线AB与CD的距离是CF的长，
∵FC=5，
∴直线AB与CD的距离是5，
故选：C．
根据平行四边形的性质及平行线间的距离定义求解即可．
此题考查了平行四边形的性质及平行线间的距离，熟记平行四边形的对边平行是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得：OA=3，AB=2，∠OAB=90°，
∴OB= OA2+AB2= 32+22= 13，
∴OC=OB= 13，
∴点C表示的数为 13，
故选：A．
利用勾股定理求解OB的长，再根据实数与数轴的知识可求解．
本题主要考查实数与数轴，勾股定理，求解OB的长是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由图象可知：甲偏离平均数大，乙偏离平均数小，
所以甲波动大，不稳定，方差大，即S甲2>S乙2．
故选：A．
根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB，
∴平移的距离等于AB．
故选：B．
由矩形的性质得到EF=AB，即可得到平移的距离等于AB．
本题考查矩形的性质，平移的性质，关键是由矩形的性质得到FE=AB．
8.【答案】D
【解析】解：由平均数的计算方法可知，该公司25名职工的工资为：45000元的1人，18000元的2人，10000元的有4人，5000元的有7人，3000元的有11人，
因此月工资出现次数最多的是3000元，共出现11次，因此工资的众数是3000元，即a=3000，
将这25名员工的工资从小到大排列，处在中间位置的一个数是5000元，因此中位数是5000元，即b=5000，
故选：D．
根据中位数、众数的定义和计算方法求出该公司25名员工工资的中位数和众数即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
9.【答案】BCD
【解析】解：两图象的交点即为他们在路上相遇，
∴第一次相遇时，距离学校大于250米，第二次相遇时，距离学校250米．
故A错误，不符合题意．
由图象可知，他们分别在出发后第5min和第14min时相遇，即分别在7：05时和7：14时相遇，
∴两次在路上相遇的时间间隔为9min．
故B、C、D正确，符合题意．
故选：BCD．
根据图象逐项判断即可．
本题考查一次函数的应用．本部分内容非常重要，是必考内容，一定要多练习，关键在于理解函数图象的意义．
10.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=(2k−1)x+3−m
∴2k−1≠0，
即k≠12，
图象交y轴于点C，
当x=0时，y=3−m，
即C(0,3−m)，
∵一次函数y=(2k−1)x+3−m经过点A(a,5−m)和点B(a+2,3k+1)，
∴(2k−1)a+3−m=5−m(2k−1)(a+2)+3−m=3k+1，
解得：m=k+2，
∴C(0,1−k)，
∵OC≤2，
即|1−k|≤2，
∴1≤k≤3，
综上，−1≤k≤3且k≠12，
故选：C．
根据一次函数的定义可知k≠12，又点A和点B在一次函数上，代入可得m=k+2，根据OC≤2即可作答．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的定义和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．
11.【答案】3 7
【解析】解：(1)( 3)2=3，
故答案为：3；
(2) 14÷ 2= 7．
故答案为： 7．
(1)利用二次根式的乘法的法则进行运算即可；
(2)利用二次根式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】8
【解析】解：这组数据中出现次数最多的是8，出现2次，因此众数是8，
故答案为：8．
根据“一组数据出现次数最多的数据是众数”进行判断即可．
本题考查众数，掌握“一组数据出现次数最多的数据是众数”是正确解答的关键．
13.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：∵一次函数y随x的增大而增大，
∴k>0，
不妨设k=1，
故答案为：1(答案不唯一)．
根据一次函数的性质，y随x的增大而增大k>0，不妨令k=1即可．
本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k>0．
14.【答案】2.5
【解析】解：∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC= AB2+BC2= 42+32=5，
∵∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴DE=12AC=2.5．
故答案为：2.5．
由勾股定理可求解AC的长，再利用直角三角形斜边中点的性质可求解．
本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
15.【答案】aba+b
【解析】解：设正方形的边长为x，
∵BC=a，AC=b，
∴S△ABC=12×AC×CB=12ab；
∵矩形的长=a+b，矩形的长=x，
∴S矩形=(a+b)x，
∵2S△ABC=S矩形，
∴2×12ab=(a+b)x，
解得：x=aba+b，
故答案为：aba+b．
利用面积法求解，设正方形的边长为x，根据矩形的面积等于直角三角形面积的二倍建立方程，矩形的长是直角三角形两条直角边的和，宽是正方形的边长．
本题考查直角三角形的面积，矩形的面积等知识，运用方程思想是解题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：①当折线过AD的中点和点B时，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.AB//CD．
∵A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵点E是AD的中点，
∴EF⊥AD．
∴点A和点D关于EF对称，
此时点A的对应点P与点D重合．
∴AE=EP=12AD=a2，
∴当AE
同理可证BP⊥CD，AB//CD．
∴BP⊥AB
∠PBE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°，
∴∠CBP=30°，
∴CP=12BC=12a.
∴BP= BC2−CP2= 32a，
设AF=x，则PF=x，BF=a−x，
∵BP2+BF2=FP2．
∴( 32a)2+(a−x)2=x2，
解得x=78a.
AF=78a，故③正确；
同理可证④正确；
故答案为：①③④．
当折线过AD的中点和点B时，求出AE的长可判断①和②；点P落在DC的中点上时，如图，连接BD，BP，先证明BP⊥AB，再利用勾股定理求出AF的长可判断③，同理可判断④．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1) 2( 3+ 5)
= 2⋅ 3+ 2⋅ 5
= 6+ 10；
(2) 12+ 3− 27
=2 3+ 3−3 3
=0．
【解析】(1)利用乘法的分配律求解比较简便；
(2)先把各个加数化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和运算律是解决本题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠EDF，∠ABF=∠DEF，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DEF中，
∠ABF=∠DEF ∠A=∠EDF AF=DF ，
∴△ABF≌△DEF(AAS)，
∴AB=DE．
【解析】根据平行四边形的性质得出AB//CD，根据平行线的性质得出∠A=∠EDF，∠ABF=∠DEF，结合AF=DF，利用AAS证明△ABF≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了平行四边形的性质，熟记|平行四边形的对边平行是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(m−2m−2+1m−2)÷(m+1)(m−1)2(m−2)，
=m−1m−2⋅2(m−2)(m+1)(m−1)，
=2m+1．
当m= 2−1时，原式=2 2−1+1= 2．
【解析】先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把m的值代入化简结果计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在一次函数y=x+3中．
令y=0，x=−3；
令x=0，y=3．
∴点(−3,0)和点(0,3)在图象上，如图：
(2)联立方程得：y=x+3y=−x−1，解得x=−2y=1，
∴点A的坐标为：(−2,1)．
【解析】(1)找到一次函数y=x+3与坐标轴的两个交点，可画出一次函数y=x+3的图象；
(2)直线y=x+3与直线y=−x−1联立方程组，即可求出交点A的坐标．
本题考查了一次函数的性质以及两直线交点的求法．熟练会求直线与坐标轴的交点坐标是常考的知识点，
21.【答案】解：(1)由题意得：AP⊥DP，∠DAP=45°，
在Rt△ADP中，AD=2km，
∴AP=AD⋅cos45°=2× 22= 2(km)，
∴AP的长度为 2km；
(2)要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二，
理由：在Rt△ADP中，AD=2km，∠DAP=45°，
∴DP=AD⋅sin45°=2× 22= 2(km)，
由题意得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE=AB=1km，AP=BE= 2km，
∴DE=DP+PE=( 2+1)km，
在Rt△CPE中，CE=2km，
∴CP= PE2+CE2= 12+22= 5(km)，
∴方案一：DE+AP= 2+1+ 2=(2 2+1)km；
方案二：CP+AP=( 5+ 2)km，
∵(2 2+1)km>( 5+ 2)km，
∴要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二．
【解析】(1)根据题意可得：AP⊥DP，∠DAP=45°，然后在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，即可解答；
(2)在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出DP的长，然后根据题意可得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE=AB=1km，AP=BE= 2km，从而可得DE=( 2+1)km，再在Rt△CPE中，利用锐角三角函数的定义求出CP的长，最后分别求出方案一和方案二铺设小路的总长度，比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)本赛季甲球员的3分球命中数为：60×3015=120(个)，
答：估计本赛季甲球员的3分球命中数约为120个．
(2)甲球员出手投篮一次的平均得分：123×2+30×3200+100=336300=1.12，
乙球员出手投篮一次的平均得分：62×2+40×3120+80=244200=1.22，
因为1.22>1.12，所以应该给乙球员安排更多出手投篮的机会．
【解析】(1)根据样本估计总体，用60乘以15场比赛中甲球员的3分球命中频率可求解；
(2)可根据出手投篮一次的平均得分方面计算得出结论．
本题考查用样本估计总体、平均数，会用所学知识进行决策评价是解答的关键．
23.【答案】解：(1)∵B(m,n)在直线y=13x+83m+2上，
∴n=13m+83m+2，
即n=3m+2；
(2)∵n=3m+2，
∴B(m,3m+2)，A(m,3m+t+2)，
∴AB//x轴；
∵在矩形ABCD中，点D在直线y=13x+83m+2上，
∴当y=3m+t+2时，x=m+3t，
∴D(m+3t,3m+t+2)，
∴C(m+3t,3m+2)；
∵G是对角线AC与BD的交点，
∴G是对角线AC与BD的中点，
∴xG=xB+xC2，yG=xB+xC2，
∴G(m+32t,3m+12t+2)，
∵矩形ABCD的对称轴l与x轴交于点M(2t,0)，
∴m+32t=2t，即m=12t，
∴G(2t,2t+2)，
∴点G在直线y=x+2上，
如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点P(−2,0)，Q(0,2)，
∴OP=OQ=2，且∠POQ=90°，
∴△POQ为等腰直角三角形，
∴在等腰Rt△POQ中，PQ= OP2+OQ2=2 2．
当OG⊥PQ时，此时OG最短．
此时G为PQ中点，
∴OG=PQ= 2．
【解析】(1)将点B坐标代入直线即可得出结论；
(2)根据矩形的性质可得出点C，D坐标，进而可得出点G的坐标；由矩形ABCD的对称轴l与x轴交于点M(2t,0)，可得出点G(2t,2t+2)，进而可得出直线解析式，得出P，Q的坐标，根据图形可知当OG⊥PQ时，OG最小，进而可得出结论．
本题考查了一次函数的综合，涉及矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等，本题综合性较强；解题的关键是得出点G所在直线为y=x+2．
24.【答案】解：(1)如图点F即为所求；
(2)存在．
当四边形ABCD是矩形，且AB= 3BC，CE=AC时，满足条件．
【解析】(1)作CF⊥AE即可；
(2)存在，四边形BCFO是菱形，且∠OBC=60°，满足条件．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】(1)解：设lAB的解析式为p=kh+b将(0,1)，(280,1.2)代入得：
b=1280k+b=1.2，
解得：b=1k=11400，
所以lAB的解析式为：p=11400h+1，
当h=600时，p=11400×600+1=107，
答：当种植高度为600m时，甲种作物的年平均产量为：107t/亩；
(2)解：甲种作物平均销售价格为：(6×0.5+7×0.7+13×0.9+4×1.1)÷30=0.8(万元/t)，
由表3数值可以估计，w是h的一次函数，
设w=k1h+b1
将(0,0.3)，(200,0.36)代入得：b1=0.3200k1+b1=0.36，
解得：b1=0.3k1=310000，
所以w=310000h+0.3，
∵310000>0，所以w随h的增大而增大，
当600
(150−x)亩，
依题意可知150−x≥2x且x>0所以0
整理得：y=700−h1750x+571400h+75，
∵00，
∴y随x的增大而增大，
所以在一定高度上，当x=50时，此时利润最大，即种植甲种作物100亩，乙种作物50亩，
y最大=700−h1750×50+571400h+951750
又因为171400>0，
所以y最大随h的增大而增大，
∵0
所以在甲种作物100亩，乙种作物50亩的基础上，种植高度h=600时，利润有最大值，
答：综上所述建议该村在海拔高度为600m处种植甲种作物100亩，乙种作物50亩时农民可获得最高利润．
【解析】(1)待定系数法求得pAB的解析式，即可求解；
(2)先求得甲种作物平均销售价格为0.8(万元/t)，待定系数法求得w=310000h+0.3，根据一次函数的性质可得w随h的增大而增大，从而求得0
本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键
2022-2023学年福建省厦门市集美区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知代数式 x−3有意义，则x的值可能是( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
2. 若正比例函数y=kx的图象经过点(1,2)，则k的值为( )
A. −12 B. −2 C. 12 D. 2
3. 如图，在△ABC中，E，D分别是AB，AC的中点，BC=4，则线段ED的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，若FC=5，EC=3，AC=6，CD=4，则直线AB与CD的距离是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图，点A在数轴上表示的数是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数为( )
A. 13 B. 10 C. 6 D. 5
6. 图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作S甲2，S乙2，下列说法正确的是( )
A. S甲2>S乙2 B. S甲2=S乙2 C. S甲2
A. EC B. AB C. BC D. AE
8. 已知某公司职工月平均工资x−=45000×1+18000×2+10000×4+5000×7+3000×1125，记该公司职工的月工资的众数为a，中位数为b，则下列说法正确的是( )
A. a=1 B. a=11 C. b=10000 D. b=5000
9. 学校、文具店、小明家、体育公园依次在同一条笔直的马路上.小明早上7：00从家中出发步行到文具店购买文具，然后以相同的速度步行到学校.在小明出发的同时，小东从学校出发，沿同一条马路跑步到体育公园，到达体育公园后，又以相同的速度跑步折返回到学校.小明和小东与学校的距离y(单位：m)与出发时间t(单位：min)的图象如图所示，下列对t=5与t=14的意义解释正确的是( )
A. 小明和小东在路上相遇时，距离学校250m
B. 两次在路上相遇的时间间隔为9min
C. 小明和小东7：05时在路上相遇
D. 小明和小东7：14时在路上相遇
10. 已知一次函数y=(2k−1)x+3−m的图象交y轴于点C，经过点A(a,5−m)和点B(a+2,3k+1)，若OC≤2，则k的取值范围是( )
A. k≥−1且k≠12 B. k≤3且k≠12
C. −1≤k≤3且k≠12 D. k≥3或k≤−1
11. 计算：
(1)( 3)2= ______ ；
(2) 14÷ 2= ______ ．
12. 小张参加集美区中小学生才艺大赛，5位评委的打分分别为7，8，6，9，8，则这组数据的众数是______ ．
13. 已知一次函数y=kx+1，y随x的增大而增大，则k的值可以是______ .(写出一个符合题意的k值即可)
14. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，AB=4，BC=3，E是AC的中点，连接DE，则DE= ______ ．
15. 数学典籍《九章算术》的勾股章中记载了以下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”将该问题一般化的意思是：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，求与Rt△ABC具有公共直角的内接正方形CDEF的边长.刘徽利用“出入相补”原理，解决了上述问题：将两个图1所示的直角三角形分别分割成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)，再拼成图2所示的矩形，正方形CDEF的边长就可以求得．
根据以上阅读材料，正方形CDEF的边长为______ .(用含a，b的式子表示)
16. 如图，在菱形ABCD中，AB=a，∠A=60°，点E在边AD上，点F在边AB上，将△AEF沿直线EF进行折叠，点A的对应点记为点P，下列结论正确的有______ .(填写所有正确结论的序号)
①当AE
④若点P落在CB的中点上，则AF>a2，且AE=7a8．
17. 计算：
(1) 2( 3+ 5)；
(2) 12+ 3− 27．
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E.证明：AB=DE．
19. 先化简，再求值：(1+1m−2)÷m2−12m−4，其中m= 2−1．
20. 已知一次函数y=x+3．
(1)在图中画出该函数的图象；
(2)直线y=x+3与直线y=−x−1交于点A，求点A的坐标．
21. 如图所示的四边形ABCD是正在建设的某景区示意图，A—B—C—D—A是环绕景区的道路，点D在点A的北偏西45°方向，点B在点A的正东方向，点C在点B的正北方向，经测量AD=2km，AB=1km.设计单位计划在该景区内修建一个观景平台P，并铺设若干条小路连接景区道路.其中点P在点A的正北方向，在点D的正东方向．
(1)求AP的长度；
(2)延长DP与BC交于点E，测得CE=2km，设计单位设计了两种铺设小路的方案：
方案1：铺设小路DE和AP；
方案2：铺设小路CP和AP．
要使得铺设小路的总长度更短，应选择哪种铺设方案，并说明理由．
22. 某职业篮球队中有甲、乙两位攻防水平，受到的防守压力相当的球员.教练组为更合理地布置进攻战术，随机收集了本赛季15场比赛中甲、乙两位球员的投篮情况，统计结果如表1，表2．
表1
球员
2分球投篮数
2分球命中数
甲
200
123
乙
120
62
表2
球员
表23分球投篮数
3分球命中数
甲
100
30
乙
80
40
(备注：每命中一个2分球，得2分；命中一个3分球，得3分.)
(1)若甲球员本赛季计划打60场比赛，请估计本赛季甲球员的3分球命中数；
(2)根据以上数据，结合统计知识，判断应该给哪位球员安排更多出手投篮的机会，并通过计算说明理由．
23. 在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，其中A(m,n+t)，B(m,n)，其中点B，D在直线y=13x+83m+2上，对角线AC与BD交于点G．
(1)求m和n的数量关系；
(2)直线l是矩形ABCD的一条对称轴，若直线l与x轴交于点M(2t,0)，求线段OG的最小值．
24. 如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC和BD交于点O，E是BC延长线上的动点，点F在AE上，连接FC，满足EC2=FC2+EF2．
(1)求作点F；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接OF，在点E的运动过程中，是否存在四边形BCFO为菱形的情形？若存在，探究▱ABCD的边与角需满足的条件，并说明此时点E的位置：若不存在，请说明理由．
25. 为了进一步推进“乡村振兴”计划，提高农民收入.某村根据当地的地理条件，计划要在一座最大海拔高度为1000米的山上，选一处山坡，开垦150亩的农田，用于种植甲、乙两种农作物.为了提高种植农作物的经济效益，相关工作人员对这两种作物的市场销售情况及种植条件进行了如下调研：
①甲作物的价格随时节波动较大，工作人员从一年中随机抽取30天进行调查，并绘制了这30天销售价格(单位：万元/t)的频数分布直方图，如图1所示；乙种作物的市场销售价格基本保持在0.6万元/t．
②甲种作物的年平均产量p(单位：t/亩)随种植高度h(单位：m)变化的大致图象(图象由线段AB和线段BC组成)，如图2所示.乙种作物的年平均产量为2t/亩，种植高度h(单位：m)对产量的影响忽略不计．
③由于建设灌溉系统、物质运输等会产生种植成本，工作人员在山坡上选取了部分有代表性的地点测算平均种植成本w(单位：万元/亩)，数据如表：
种植高度h
(单位：m)
0
50
200
400
600
700
平均种植成本w
(单位：万元/亩)
0.3
0.315
0.36
0.42
0.48
0.51
根据以上信息，解决下列问题：
(1)当种植高度为600m时，求甲种作物的年平均产量；
(2)若要求甲种作物的种植面积不少于乙种作物的2倍，为了使农民获得更高的利润，请你为该村规划种植方案，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：代数式 x−3有意义，则x−3≥0，
解得：x≥3，
故x的值可能是4，
故选：A．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(1,2)，
∴2=k，
解得，k=2．
故选D．
把点(1,2)代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
3.【答案】B
【解析】解：∵E，D分别是AB，AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED=12BC，
∵BC=4，
∴ED=2，
故选：B．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵CF⊥AB于点F，
∴直线AB与CD的距离是CF的长，
∵FC=5，
∴直线AB与CD的距离是5，
故选：C．
根据平行四边形的性质及平行线间的距离定义求解即可．
此题考查了平行四边形的性质及平行线间的距离，熟记平行四边形的对边平行是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得：OA=3，AB=2，∠OAB=90°，
∴OB= OA2+AB2= 32+22= 13，
∴OC=OB= 13，
∴点C表示的数为 13，
故选：A．
利用勾股定理求解OB的长，再根据实数与数轴的知识可求解．
本题主要考查实数与数轴，勾股定理，求解OB的长是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由图象可知：甲偏离平均数大，乙偏离平均数小，
所以甲波动大，不稳定，方差大，即S甲2>S乙2．
故选：A．
根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB，
∴平移的距离等于AB．
故选：B．
由矩形的性质得到EF=AB，即可得到平移的距离等于AB．
本题考查矩形的性质，平移的性质，关键是由矩形的性质得到FE=AB．
8.【答案】D
【解析】解：由平均数的计算方法可知，该公司25名职工的工资为：45000元的1人，18000元的2人，10000元的有4人，5000元的有7人，3000元的有11人，
因此月工资出现次数最多的是3000元，共出现11次，因此工资的众数是3000元，即a=3000，
将这25名员工的工资从小到大排列，处在中间位置的一个数是5000元，因此中位数是5000元，即b=5000，
故选：D．
根据中位数、众数的定义和计算方法求出该公司25名员工工资的中位数和众数即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
9.【答案】BCD
【解析】解：两图象的交点即为他们在路上相遇，
∴第一次相遇时，距离学校大于250米，第二次相遇时，距离学校250米．
故A错误，不符合题意．
由图象可知，他们分别在出发后第5min和第14min时相遇，即分别在7：05时和7：14时相遇，
∴两次在路上相遇的时间间隔为9min．
故B、C、D正确，符合题意．
故选：BCD．
根据图象逐项判断即可．
本题考查一次函数的应用．本部分内容非常重要，是必考内容，一定要多练习，关键在于理解函数图象的意义．
10.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=(2k−1)x+3−m
∴2k−1≠0，
即k≠12，
图象交y轴于点C，
当x=0时，y=3−m，
即C(0,3−m)，
∵一次函数y=(2k−1)x+3−m经过点A(a,5−m)和点B(a+2,3k+1)，
∴(2k−1)a+3−m=5−m(2k−1)(a+2)+3−m=3k+1，
解得：m=k+2，
∴C(0,1−k)，
∵OC≤2，
即|1−k|≤2，
∴1≤k≤3，
综上，−1≤k≤3且k≠12，
故选：C．
根据一次函数的定义可知k≠12，又点A和点B在一次函数上，代入可得m=k+2，根据OC≤2即可作答．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的定义和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．
11.【答案】3 7
【解析】解：(1)( 3)2=3，
故答案为：3；
(2) 14÷ 2= 7．
故答案为： 7．
(1)利用二次根式的乘法的法则进行运算即可；
(2)利用二次根式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】8
【解析】解：这组数据中出现次数最多的是8，出现2次，因此众数是8，
故答案为：8．
根据“一组数据出现次数最多的数据是众数”进行判断即可．
本题考查众数，掌握“一组数据出现次数最多的数据是众数”是正确解答的关键．
13.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：∵一次函数y随x的增大而增大，
∴k>0，
不妨设k=1，
故答案为：1(答案不唯一)．
根据一次函数的性质，y随x的增大而增大k>0，不妨令k=1即可．
本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k>0．
14.【答案】2.5
【解析】解：∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC= AB2+BC2= 42+32=5，
∵∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴DE=12AC=2.5．
故答案为：2.5．
由勾股定理可求解AC的长，再利用直角三角形斜边中点的性质可求解．
本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
15.【答案】aba+b
【解析】解：设正方形的边长为x，
∵BC=a，AC=b，
∴S△ABC=12×AC×CB=12ab；
∵矩形的长=a+b，矩形的长=x，
∴S矩形=(a+b)x，
∵2S△ABC=S矩形，
∴2×12ab=(a+b)x，
解得：x=aba+b，
故答案为：aba+b．
利用面积法求解，设正方形的边长为x，根据矩形的面积等于直角三角形面积的二倍建立方程，矩形的长是直角三角形两条直角边的和，宽是正方形的边长．
本题考查直角三角形的面积，矩形的面积等知识，运用方程思想是解题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：①当折线过AD的中点和点B时，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.AB//CD．
∵A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵点E是AD的中点，
∴EF⊥AD．
∴点A和点D关于EF对称，
此时点A的对应点P与点D重合．
∴AE=EP=12AD=a2，
∴当AE
同理可证BP⊥CD，AB//CD．
∴BP⊥AB
∠PBE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°，
∴∠CBP=30°，
∴CP=12BC=12a.
∴BP= BC2−CP2= 32a，
设AF=x，则PF=x，BF=a−x，
∵BP2+BF2=FP2．
∴( 32a)2+(a−x)2=x2，
解得x=78a.
AF=78a，故③正确；
同理可证④正确；
故答案为：①③④．
当折线过AD的中点和点B时，求出AE的长可判断①和②；点P落在DC的中点上时，如图，连接BD，BP，先证明BP⊥AB，再利用勾股定理求出AF的长可判断③，同理可判断④．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1) 2( 3+ 5)
= 2⋅ 3+ 2⋅ 5
= 6+ 10；
(2) 12+ 3− 27
=2 3+ 3−3 3
=0．
【解析】(1)利用乘法的分配律求解比较简便；
(2)先把各个加数化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和运算律是解决本题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠EDF，∠ABF=∠DEF，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DEF中，
∠ABF=∠DEF ∠A=∠EDF AF=DF ，
∴△ABF≌△DEF(AAS)，
∴AB=DE．
【解析】根据平行四边形的性质得出AB//CD，根据平行线的性质得出∠A=∠EDF，∠ABF=∠DEF，结合AF=DF，利用AAS证明△ABF≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了平行四边形的性质，熟记|平行四边形的对边平行是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(m−2m−2+1m−2)÷(m+1)(m−1)2(m−2)，
=m−1m−2⋅2(m−2)(m+1)(m−1)，
=2m+1．
当m= 2−1时，原式=2 2−1+1= 2．
【解析】先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把m的值代入化简结果计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在一次函数y=x+3中．
令y=0，x=−3；
令x=0，y=3．
∴点(−3,0)和点(0,3)在图象上，如图：
(2)联立方程得：y=x+3y=−x−1，解得x=−2y=1，
∴点A的坐标为：(−2,1)．
【解析】(1)找到一次函数y=x+3与坐标轴的两个交点，可画出一次函数y=x+3的图象；
(2)直线y=x+3与直线y=−x−1联立方程组，即可求出交点A的坐标．
本题考查了一次函数的性质以及两直线交点的求法．熟练会求直线与坐标轴的交点坐标是常考的知识点，
21.【答案】解：(1)由题意得：AP⊥DP，∠DAP=45°，
在Rt△ADP中，AD=2km，
∴AP=AD⋅cos45°=2× 22= 2(km)，
∴AP的长度为 2km；
(2)要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二，
理由：在Rt△ADP中，AD=2km，∠DAP=45°，
∴DP=AD⋅sin45°=2× 22= 2(km)，
由题意得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE=AB=1km，AP=BE= 2km，
∴DE=DP+PE=( 2+1)km，
在Rt△CPE中，CE=2km，
∴CP= PE2+CE2= 12+22= 5(km)，
∴方案一：DE+AP= 2+1+ 2=(2 2+1)km；
方案二：CP+AP=( 5+ 2)km，
∵(2 2+1)km>( 5+ 2)km，
∴要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二．
【解析】(1)根据题意可得：AP⊥DP，∠DAP=45°，然后在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，即可解答；
(2)在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出DP的长，然后根据题意可得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE=AB=1km，AP=BE= 2km，从而可得DE=( 2+1)km，再在Rt△CPE中，利用锐角三角函数的定义求出CP的长，最后分别求出方案一和方案二铺设小路的总长度，比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)本赛季甲球员的3分球命中数为：60×3015=120(个)，
答：估计本赛季甲球员的3分球命中数约为120个．
(2)甲球员出手投篮一次的平均得分：123×2+30×3200+100=336300=1.12，
乙球员出手投篮一次的平均得分：62×2+40×3120+80=244200=1.22，
因为1.22>1.12，所以应该给乙球员安排更多出手投篮的机会．
【解析】(1)根据样本估计总体，用60乘以15场比赛中甲球员的3分球命中频率可求解；
(2)可根据出手投篮一次的平均得分方面计算得出结论．
本题考查用样本估计总体、平均数，会用所学知识进行决策评价是解答的关键．
23.【答案】解：(1)∵B(m,n)在直线y=13x+83m+2上，
∴n=13m+83m+2，
即n=3m+2；
(2)∵n=3m+2，
∴B(m,3m+2)，A(m,3m+t+2)，
∴AB//x轴；
∵在矩形ABCD中，点D在直线y=13x+83m+2上，
∴当y=3m+t+2时，x=m+3t，
∴D(m+3t,3m+t+2)，
∴C(m+3t,3m+2)；
∵G是对角线AC与BD的交点，
∴G是对角线AC与BD的中点，
∴xG=xB+xC2，yG=xB+xC2，
∴G(m+32t,3m+12t+2)，
∵矩形ABCD的对称轴l与x轴交于点M(2t,0)，
∴m+32t=2t，即m=12t，
∴G(2t,2t+2)，
∴点G在直线y=x+2上，
如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点P(−2,0)，Q(0,2)，
∴OP=OQ=2，且∠POQ=90°，
∴△POQ为等腰直角三角形，
∴在等腰Rt△POQ中，PQ= OP2+OQ2=2 2．
当OG⊥PQ时，此时OG最短．
此时G为PQ中点，
∴OG=PQ= 2．
【解析】(1)将点B坐标代入直线即可得出结论；
(2)根据矩形的性质可得出点C，D坐标，进而可得出点G的坐标；由矩形ABCD的对称轴l与x轴交于点M(2t,0)，可得出点G(2t,2t+2)，进而可得出直线解析式，得出P，Q的坐标，根据图形可知当OG⊥PQ时，OG最小，进而可得出结论．
本题考查了一次函数的综合，涉及矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等，本题综合性较强；解题的关键是得出点G所在直线为y=x+2．
24.【答案】解：(1)如图点F即为所求；
(2)存在．
当四边形ABCD是矩形，且AB= 3BC，CE=AC时，满足条件．
【解析】(1)作CF⊥AE即可；
(2)存在，四边形BCFO是菱形，且∠OBC=60°，满足条件．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】(1)解：设lAB的解析式为p=kh+b将(0,1)，(280,1.2)代入得：
b=1280k+b=1.2，
解得：b=1k=11400，
所以lAB的解析式为：p=11400h+1，
当h=600时，p=11400×600+1=107，
答：当种植高度为600m时，甲种作物的年平均产量为：107t/亩；
(2)解：甲种作物平均销售价格为：(6×0.5+7×0.7+13×0.9+4×1.1)÷30=0.8(万元/t)，
由表3数值可以估计，w是h的一次函数，
设w=k1h+b1
将(0,0.3)，(200,0.36)代入得：b1=0.3200k1+b1=0.36，
解得：b1=0.3k1=310000，
所以w=310000h+0.3，
∵310000>0，所以w随h的增大而增大，
当600
(150−x)亩，
依题意可知150−x≥2x且x>0所以0
整理得：y=700−h1750x+571400h+75，
∵0
∴y随x的增大而增大，
所以在一定高度上，当x=50时，此时利润最大，即种植甲种作物100亩，乙种作物50亩，
y最大=700−h1750×50+571400h+951750
又因为171400>0，
所以y最大随h的增大而增大，
∵0
所以在甲种作物100亩，乙种作物50亩的基础上，种植高度h=600时，利润有最大值，
答：综上所述建议该村在海拔高度为600m处种植甲种作物100亩，乙种作物50亩时农民可获得最高利润．
【解析】(1)待定系数法求得pAB的解析式，即可求解；
(2)先求得甲种作物平均销售价格为0.8(万元/t)，待定系数法求得w=310000h+0.3，根据一次函数的性质可得w随h的增大而增大，从而求得0
本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键
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