2022-2023学年河北省保定师范附属学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省保定师范附属学校八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省保定师范附属学校八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 若分式x2−1x+1的值为0，则x的值为(    )
A. 0 B. 1 C. −1 D. ±1
3. 下列说法不正确的是(    )
A. 若ab，则−4a<−4b
C. 若a>b，则1−a<1−b D. 若a>b，则a+x>b+x
4. 如果把分式2xx+y中的x和y都扩大2倍，那么分式的值(    )
A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍
5. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为(    )





A. 13 B. 17 C. 20 D. 26
6. 如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是(    )
A. x≥1
B. x>1
C. x>0
D. x<1
7. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(    )





A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
8. 若多项式x2−ax+12可分解为(x−3)(x+b)，则a+b的值为(    )
A. −11 B. −3 C. 3 D. 7
9. 如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿BC方向平移得到△DEF.若AB=10cm，BE=6cm，DH=4cm，则图中阴影部分面积为(    )


A. 47cm2 B. 48cm2 C. 49cm2 D. 50cm2
10. 如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG=46°，则∠FAE的度数是(    )
A. 26°．
B. 44°．
C. 46°．
D. 72°
11. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(    )
A. B.
C. D.
12. 如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(    )
A. 45°
B. 55°
C. 60°
D. 75°
13. 如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    )
A. ∠BAQ=40°
B. DE=12BD
C. AF=AC
D. ∠EQF=25°


14. 试卷上一个正确的式子(1a+b+1a−b)÷★=2a+b被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(    )
A. aa−b B. a−ba C. aa+b D. 4aa2−b2
15. 定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如[3.6]=3,[− 3]=−2，按此规定，若[1−3x2]=−1，则x的取值范围为(    )
A. 13 16. 如图，已知△ABD是等边三角形，BC=DC，E是AD上的点，CE/​/AB，与BD交于点F.则下列结论正确的有(    )
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；
②△DEF是等边三角形；
③若∠CBD=40°，则∠DCE=30°；
④若AB=8，DE=2，则CF=4．
A. ①②
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④


第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 如图，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为______．


18. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P.若BC=12，则MP+MN=          ．


19. 如图，在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为        ．


三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
20. 阅读理解
下列一组方程：①x+2x=3，②x+6x=5，③x+12x=7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由①x+1×2x=1+2得x=1或x=2；
由②x+2×3x=2+3得x=2或x=3；
由③x+3×4x=3+4得x=3或x=4．
(1)问题解决：请写出第四个方程，并技照小明的解题思路求出该方程的解；
(2)规律探究：若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解；
(3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程x+n2+nx+2=2n−1的一个解是x=10，求n的值．
四、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题17.0分)
(1)简便运算：20232−2022×2024；
(2)简便计算：1012+101×198+992；
(3)先将11−x÷x2+2xx2−2x+1+1x+2化简，再从0，1，2三个数中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
22. (本小题7.0分)
如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−5,3)，C(−2,2)．
(1)平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为(3,3)，请在图中画出△A1B1C1；
(2)以点O为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转180°得△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为______．

23. (本小题7.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点．
(1)添加一个条件______ 使四边形DEBF是平行四边形．
(2)按(1)中的条件写出证明过程．

24. (本小题8.0分)
【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方孩去1后都一定是8的倍数吗？”
【解决问题】(1)计算：32−1= ______ ；52−1= ______ ；72−1= ______ ；以上计算结果均______ (填“是”或“不是”)8的倍数；
(2)设奇数为2n+1(n为整数)，请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论；
【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______ 的倍数．
25. (本小题9.0分)
某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
26. (本小题12.0分)
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点(不与点E，F重合)，将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
(1)证明：△AHB≌△AGC；
(2)如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°；
②若AB=AC=4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据分式值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
【解答】
解：∵分式x2−1x+1的值为零，
∴x2−1=0x+1≠0，解得x=1．
故选：B．  
3.【答案】A 
【解析】解：A、若a B、若a>b，则−4a<−4b，此选项正确；
C、若a>b，则1−a<1−b，此选项正确；
D、若a>b，则a+x>b+x，此选项正确．
故选：A．
利用不等式的性质判定得出答案即可．
此题考查不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号的方向不变．
性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，正数不等号的方向不变．
性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变改变．

4.【答案】B 
【解析】解：2×2x2x+2y=2×2x2(x+y)=2xx+y，因此分式的值不变．
故选：B．
可将式中的x，y都用2x，2y来表示，再将后来的式子与原式对比，即可得出答案．
此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．

5.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B．
由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

6.【答案】B 
【解析】解：由一次函数的图象可知，当x>1时，一次函数y1=x+b的图象在一次函数y2=kx+4的图象的上方，
∴关于x的不等式x+b>kx+4的解集是x>1．
故选：B．
直接根据一次函数的图象即可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：根据勾股定理可以得到：AC=BC= 5，AB= 10．
∵( 5)2+( 5)2=( 10)2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选：C．

8.【答案】C 
【解析】解：∵多项式x2−ax+12可分解为(x−3)(x+b)，
∴：−a=−3+b，12=−3b．
∴b=−4，a=7．
∴a+b=−4+7=3．
故选：C．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：−a=−3+b，12=−3b．
本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴DE=AB=10cm，△ABC≌△DEF，
∴S△ABC=S△DEF，HE=DE−DH=10−4=6(cm)，
即S梯形ABEH+S△CEH=S△CEH+S阴影部分，
∴S阴影部分=S梯形ABEH=12×(6+10)×6=48(cm2).
故选：B．
先根据平移的性质得到DE=AB=10cm，△ABC≌△DEF，则S△ABC=S△DEF，HE=6cm，所以S阴影部分=S梯形ABEH，然后根据梯形的面积公式计算即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行(或共线)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

10.【答案】A 
【解析】解：∵图中是正五边形．
∴∠EAB=108°．
∵太阳光线互相平行，∠ABG=46°，
∴∠FAE=180°−∠ABG−∠EAB=180°−46°−108°=26°．
故选：A．
先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，解题的关键是：根据正五边形的性质求出∠EAB的度数．

11.【答案】D 
【解析】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．

12.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
【解答】
解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，AB=BC∠ABD=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故选：C．  
13.【答案】D 
【解析】解：A.由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ=∠CAQ=12∠BAC=40°，
故选项A正确，不符合题意；
B.由作图可知，GQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=180°−∠BAC−∠ACB=30°，
∴DE=12BD，
故选项B正确，不符合题意；
C.∵∠B=30°，∠BAP=40°，
∴∠AFC=70°，
∵∠ACB=70°，
∴AF=AC，
故选项C正确，不符合题意；
D.∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
本题考查了尺规作图−作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．

14.【答案】A 
【解析】解：(1a+b+1a−b)÷★=2a+b，
∴被墨水遮住部分的代数式是(1a+b+1a−b)÷2a+b
=a−b+a+b(a+b)(a−b)⋅a+b2
=2aa−b⋅12
=aa−b；
故选：A．
根据已知分式得出被墨水遮住部分的代数式是(1a+b+1a−b)÷2a+b，再根据分式的运算法则进行计算即可；
本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

15.【答案】A 
【解析】
【分析】
先由题意得−1≤1−3x2<0，再解不等式组进行求解即可．
此题考查了新定义问题与一元一次不等式组的求解能力．理解新定义的意义是解题的关键．
【解答】
解：由题意得−1≤1−3x2<0，
即1−3x2<01−3x2≥−1，
解得13 故选：A．  
16.【答案】B 
【解析】解：如图，连接AC，

∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵BC=DC，
∴点A，C都在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分线段BD；
故①正确；
∵CE/​/AB，
∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，
故②正确；
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，
∴∠DCE=∠DFE−∠CDB=60°−40°=20°，
故③错误；
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB/​/CE，
∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，
∴CE=AE，
∵△ABD与△DEF都是等边三角形，AB=8，DE=2，
∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE−EF=AE−EF=AD−DE−EF=4，
故④正确，
故选：B．
由等边三角形的性质以及BC=DC即可判断①正确；由CE/​/AB得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确；求出∠DFE的度数即可判断③错误；求出CE=AE，再由△ABD与△DEF都是等边三角形，AB=8，DE=2，即可推出④正确．
本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．

17.【答案】−3 
【解析】解：∵点A(0,1)向下平移2个单位，得到点A1(a,−1)，点B(2,0)向左平移1个单位，得到点B1(1,b)，
∴线段AB向下平移2个单位，向左平移1个单位得到线段A1B1，
∴A1(−1,−1)，B1(1,−2)，
∴a=−1，b=−2，
∴a+b=−1−2=−3．
故答案为：−3．
先利用点A平移到A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．)

18.【答案】6 
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解本题的关键．
先把图补全，由折叠得：AM=MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得GN=6，可得答案．
【解答】
解：如图2，由折叠得：AM=MD，MN⊥AD，AD⊥BC，

∴GN//BC，
∴AG=BG，
∴GN是△ABC的中位线，
∴GN=12BC=12×12=6，
∵PM=GM，
∴MP+MN=GM+MN=GN=6．
故答案为：6．  
19.【答案】 7或 19 
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，
∴可分两种情况，当点Q在BD上时或当点Q在BD的反向延长线上时，
①当点Q在BD上时，如图，

∵在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，
∴∠ADB=90°，AD= 3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= AB2−AD2=3，
∵BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ=1，
∴QD=BD−BQ=2，
在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ= AD2+QD2= 7；
②当点Q在BD的反向延长线上时，如图，

∵在等边三角形ABC中，AB=2 3，点D为AC的中点，
∴∠ADB=90°，AD= 3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= AB2−AD2=3，
∵BP=1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ=1，
∴QD=BD+BQ=4，
在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ= AD2+QD2= 19；
综上，AQ的长为 7或 19．
故答案为： 7或 19．
根据题意可分两种情况讨论：①当点Q在BD上时，先根据勾股定理求出BD=3，再由旋转的性质可得BQ=1，则QD=2，再根据勾股定理即可求解；②当点Q在BD的反向延长线上时，先根据勾股定理求出BD=3，再由旋转的性质可得BQ=1，则QD=4，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、旋转的性质，解题关键是理解题意，利用分类讨论思想解决问题．

20.【答案】解：(1)由①x+1×2x=1+2得x=1或x=2；
由②x+x+2×3x=2+3得x=2或x=3；
由③x+3×4x=3+4得x=3或x=4，
则第四个方程为：x+4×5x=4+5，即x+20x=9，
由x+4×5x=4+5得：x=4或x=5；

(2)可得第n个方程为：x+n(n+1)x=2n+1，
解得：x=n或x=n+1；

(3)将原方程变形，(x+2)+n(n+1)x+2=n+(n+1)，
∴x+2=n或x+2=n+1，
∴方程的解是x=n−2，或x=n−1，
当n−2=10时，n=12，
当n−1=10时，n=11，
∴n的值是12或11． 
【解析】(1)根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程，进而求出该方程的解；
(2)利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可；
(3)利用已知解题方法得出方程的解．
此题主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解与其形式的规律是解题关键．

21.【答案】解：(1)20232−2022×2024
=20232−(2023−1)×(2023+1)
=20232−(20232−12)
=20232−20232+12
=1；
(2)1012+101×198+992
=(101+99)2
=2002
=40000；
(3)11−x÷x2+2xx2−2x+1+1x+2
=−1x−1÷x(x+2)(x−1)2+1x+2
=−1x−1×(x−1)2x(x+2)+1x+2
=−x−1x(x+2)+1x+2
=−x−1x(x+2)+xx(x+2)
=1−x+xx(x+2)
=1x(x+2)，
∵x在分母上，
∴x≠0且x≠1，
∴x=2，
将x=2代入得：12×(2+2)
=18． 
【解析】(1)利用平方差公式进行化简求值；
(2)利用完全平方公式进行化简求值；
(3)利用因式分解法化简再代入求值．
本题主要考查了分式的化简，完全平方公式，平方差公式以及分母的性质．

22.【答案】(−3,1) 
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；

(3)△A2B2C2与△ABC关于点(−3,1)成中心对称．
故答案为(−3,1)．
(1)利用点A和点A1的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到得到B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)根据关于原点对称的点的坐标得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
(3)连接BB2、CC2，则BB2、CC2，AA2都经过点P，于是可判断点P为对称中心．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

23.【答案】OE=OF 
【解析】解：(1)补充的条件为：OE=OF，使四边形DEBF是平行四边形．
故答案为：OE=OF(答案不唯一)．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
又∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(1)补充一个条件使四边形DEBF是平行四边形即可；
(2)由平行四边形的性质得OB=OD，再由OE=OF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键．

24.【答案】8  24  48  是  2 
【解析】解：(1)32−1=9−1=8；52−1=25−1=24；72−1=49−1=48；
故答案为：8；24；48；是；
(2)任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数；
设奇数为2n+1，
则有(2n+1)2−1=(2n+1)2−12=2n(2n+2)=4n(n+1)，
又n，n+1是两个连续的整数，
则其中必有一个是2的倍数，
所以，有(2n+1)2−1能被8整除；
(3)设奇数为2n+1，
则有(2n+1)2+1=4n2+4n+2=2(2n2+2n+1)，
所以任意奇数的平方加上1后一定是2的倍数．
故答案为：2．
(1)32−1=9−1=8；52−1=25−1=24；72−1=49−1=48；
(2)设奇数为2n+1(n为整数)，计算(2n+1)2−1的结果即可；
(3)设奇数为2n+1(n为整数)，计算(2n+1)2+1的结果即可．
本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解相关知识点，解题的关键是能正确运用公式的特征进行计算．

25.【答案】解：(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，
根据题意得：3×1600x=6000x+2，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为8元．
(2)设销售单价为m元，
则第一批进货数量为：1600÷8=200(瓶)，
第二次进货数量为：200×3=600(瓶)，
根据题意得：200(m−8)+600m−(8+2)≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元． 
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，根据数量=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值，即可得出结论．

26.【答案】(1)证明：如图1，

由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠CAG，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△ACG(SAS)；
(2)①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF/​/BC，AE=12AB，AF=12AC，
∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，
∵∠EAH=∠FAG，AH=AG，
∴△AEH≌△AFG(SAS)，
∴∠AFG=∠AEH=45°，
∴∠HFG=45°+45°=90°；
②分两种情况：
i)如图3，AQ=QG时，

∵AQ=QG，
∴∠QAG=∠AGQ，
∵∠HAG=∠HAQ+∠QAG=∠AHG+∠AGH=90°，
∴∠QAH=∠AHQ，
∴AQ=QH=QG，
∵AH=AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG=∠AFH=45°，
∴∠FGQ=∠FHQ=45°，
∴∠HFG=∠AGF=∠AHF=90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC=4，
∴AF=2，
∴FG=EH= 2，
∴当EH的长度为 2时，△AQG为等腰三角形；
ii)如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，

∵∠AEH=∠AGQ=45°，∠EAH=∠GAQ，
∴∠AHE=∠AQG=∠EAH，
∴EH=AE=2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为 2或2时，△AQG为等腰三角形． 
【解析】(1)根据SAS可证明△AHB≌△AGC；
(2)①证明△AEH≌△AFG(SAS)，可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i)如图3，AQ=QG时，ii)如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．