第2讲+三角恒等变换与解三角形（重难点题型突破）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第2讲　三角恒等变换与解三角形
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
突破二：已知三角函数值求角问题
突破三：三角函数式化简
突破四：和（差）角公式逆应用
突破五：拼凑角
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
突破七：判断三角形的形状
突破八：三角形面积相关问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
（2）
（3）
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
①
②
4、辅助角公式
(其中)
5、正弦定理

6、余弦定理
；


7余弦定理的推论
；
；

8、三角形常用面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).



第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））若为第二象限角，且，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知 ，则 的值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）求值_________．
4．（2022·河南焦作·一模（理））计算：___________.

突破二：已知三角函数值求角问题
1．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知，则（    ）
A． B． C． D．或
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））已知，，且，，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知，均为锐角，且，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（    ）
A． B． C． D．
突破三：三角函数式化简
1．（2022·广东汕头·高三期中）的值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数（且）的图像过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）化简：＝________.
4．（2022·全国·高三专题练习）化简：值是________．
5．（2022·山西忻州·高三阶段练习）（1）已知，求；
（2）已知，，且，，求的值．



突破四：和（差）角公式逆应用
1．（2022·江苏·高三专题练习） （    ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（       ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知，则的可能值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·海安市立发中学高三期中）在中，若，则_________.
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知，，，则 __________


突破五：拼凑角
1．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津·高三期中）已知，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·山西忻州·高三阶段练习）若，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东烟台·高三期中）已知，则______．
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）在中，，，，此三角形解的情况为（    ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
2．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
3．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）在中，已知，则满足条件的三角形（    ）
A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则此三角形（    ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（    ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定

角度2：利用正弦定理解三角形
1．（2022·四川·成都市第二十中学校高三期中） 中， 已知 、 、 分别是角 、 、 的对边， 且 ， 、 、 成等差数列， 则角（    ）
A． B． C． 或 . D． 或
2．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，，则__________．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______．
5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知在中，，，，则_________ ．



角度3：利用余弦定理解三角形
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则B＝______．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）在中，角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为___________.
3．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）设的内角的对边分别为，，则__．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的面积S为___________．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形的三边分别是，，，则该三角形的内切圆的半径是________.
6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acos B－bcosA）＝16，a－b＝2，∠C＝，则c的值等于___．

角度4：正余弦定理综合应用
1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））在中，内角，， 所对的边分别为 ．已知．则（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（理））钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（    ）
A．9 B． C．6 D．
3．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）在中，角所对的边为，若，且的面积，则的取值范围是______．
4．（2022·江西赣州·高三期中（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c是a，b的等比中项，且的面积为，则_________．
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角的平分线交于点M，若，则______．

6．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在中，为上一点，，，则______；若，则______．


突破七：判断三角形的形状
1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（    ）
A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））在中，已知，那么一定是（    ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
3．（2022·四川·模拟预测（文））在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（    ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则一定是（    ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（    ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形

突破八：三角形面积相关问题
1．（2022·贵州·模拟预测（文））在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，且，若，则的最小值是（    ）
A． B．6 C． D．4
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））在中，已知，AC＝4，则的面积为（    ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知的内角所对的边分别为，记的面积为.若，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津二十中高三阶段练习）已知是内的一点，且，则的最小值是（    ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且，则的面积为_________________．
6．（2022·江苏常州·高三期中）在中，，，边上的中线长为，则的面积为______．
7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））在中，，点D在线段AC上，且，，则面积的最大值为_________．
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______．

第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏南通·高三期中）已知，，则等于(    )
A． B． C． D．
3．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））若，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·宜都二中高三期中）等于（    ）
A． B． C． D．2
5．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）的值为（    ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（    ）

A．9 B．4 C．3 D．8
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江西省丰城中学高三期中（文））已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．（2022·重庆·高三阶段练习）在中，，，为内角，，的对边，，记的面积为，则（    ）
A．一定是锐角三角形 B．
C．角最大为 D．
10．（2022·河北·高三阶段练习）已知，，则（    ）
A． B． C． D．3
三、填空题
11．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））若是第二象限角，且，则等于___________.
12．（2022·全国·高三阶段练习（理））锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为________________．
13．（2022·天津·高三期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则b边的最小值为______.
14．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在中，角所对的边分别为，若，且，则__________．