第1讲 立体几何选填专项冲刺-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第1讲　素养提升之立体几何选填专项冲刺
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：空间几何体外接球
突破二：空间几何体内切球
突破三：用基底表示向量
突破四：向量模及最值
突破五：向量数量积最值
突破六：空间向量的平行与垂直
突破七：异面直线所成角
突破八：直线与平面所成角
突破九：二面角
突破十：空间距离
突破十一：立体几何综合问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、空间向量的数量积
1.1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
1.2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
1.3、向量的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．

1.4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
2、空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法

减法

数乘

数量积

3、空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
3.1、两个向量的平行与垂直


平行（）

垂直（）
（均非零向量）
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
3.2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3.3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
3.4、两点间的距离公式
已知，则
4、用向量法求空间距离
4.1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：

4.2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.

5、用向量法求空间角
5.1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则
①
②.


5.2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）

5.3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.

若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
第二部分：重难点题型突破
突破一：空间几何体外接球
1．（2022·四川成都·一模（理））已知边长为的菱形中，，沿对角线把折起，使二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．



2．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）已知正三棱锥，若平面，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）三棱锥中，平面，其外接球表面积为，则三棱锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，则其外接球体积最小值为（    ）
A． B．
C． D．
5．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知点是长方体的外接球球心，为球面上一点，，若与所成的角为，则四棱锥的体积的最大值为__________．
6．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积为___________.
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________．

突破二：空间几何体内切球
1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别为，，则必有（    ）

A． B． C． D．的大小不能确定
3．（2022·福建·高三阶段练习）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ）

A． B． C． D．
4．（2022·河北张家口·高二期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为__________．
5．（2022·湖南·雅礼中学高二阶段练习）如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则球的体积为________，平面截球的截面面积为________．

突破三：用基底表示向量
1．（2022·甘肃·测试·编辑教研五高二期末（理））如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）

A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古·包头一中高二期中（理））已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（    ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（    ）

A． B．
C． D．
4．（2022·四川·射洪中学高二期中（理））如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　）

A． B． C． D．

突破四：向量模及最值
1．（2022·四川南充·高三期中（文））如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段长度的最小值是（    ）

A． B．3 C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（   ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）如图，正方体的棱长为2，点在上，点在上，且，面，则的长为（    ）．

A． B． C．2 D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度的最大值为（    ）

A． B． C． D．3
5．（2022·辽宁·沈阳市第十中学高二阶段练习）向量，若，则__________．
6．（2022·河南·高二阶段练习）设，向量，且，则___________.
7．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．
突破五：向量数量积最值
1．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江台州·高二期中）已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．
3．（2022·贵州·高二期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
4．（2022·广东·江门市广雅中学高二期中）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
5．（2022·上海·高二专题练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）在棱长为1的正方体中，点E为底面内一动点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

突破六：空间向量的平行与垂直
1．（2022·安徽·亳州二中高二期中）设，向量，，，且，，则（    ）
A． B． C．4 D．3
2．（2022·山东·聊城市茌平区第二中学高二阶段练习）已知，，，，，则与夹角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·大庆二中高二阶段练习）已知两个向量，，且，则的值为（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2022·河南·北大公学禹州国际学校高二开学考试）如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，E是的中点，F是上一点，当时，（    ）

A．3 B． C． D．2
5．（2022·山东·莱州市第一中学高二阶段练习）已知向量，点．在直线上，存在一点E，使得，则点E的坐标为___________．
6．（2022·山东省实验中学高二期中）已知，，且与垂直，则的值为___________.
突破七：异面直线所成角
1．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）如图，分别是正方形的边的中点，将沿着折起到的位置，使平面平面，连接，，则所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·河北张家口·高二期中）如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）．

A． B． C． D．
3．（2022·河南·高二阶段练习（文））如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ）

A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为，则（    ）
A． B．4 C．2 D．3
5．（2022·辽宁沈阳·高二期中）已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（    ）
A．2 B． C．4 D．1
突破八：直线与平面所成角

1．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA1=2BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点，则直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）在四棱雉中，平面，，底面是边长为4的菱形，且，是的中点，则与平面所成的角的正切值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆锥的底面圆心为，顶点为，侧面展开图对应扇形的圆心角为，，是底面圆周上的两点，与平面所成角的正弦值为，则与所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江·余姚中学高二阶段练习）已知圆柱中，点在圆上，，，点、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为__________.
5．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知几何体如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则___________.

6．（2022·全国·高三专题练习）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是__________________．
突破九：二面角

1．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高二期中）已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（    ）

A．2 B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，中点为，则二面角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东·日照一中高二阶段练习）已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ）
A．2 B． C． D．
4．（2022·河南·安阳县实验中学高二开学考试（理））在矩形中，，，沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，则__________.
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高二阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为______．

6．（2022·福建·泉州七中高二阶段练习）如图所示，在四棱锥中，//，且，若，，则二面角的余弦值为______．

突破十：空间距离
1．（2022·浙江·高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，在线段上，且，则点到平面的距离为（    ）
A． B． C． D．3
2．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）

A． B． C． D．
3．（2022·山西省运城中学校高二期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ）

A． B．2 C． D．
4．（2022·浙江·高二期中）在棱长为3的正方体中，平面与平面之间的距离为（    ）
A．1 B． C． D．2
5．（2022·重庆·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______ .

6．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.

突破十一：立体几何综合问题

1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，，点M在棱上，且，平面与平面的夹角为，则下列说法错误的是（    ）

A．平面平面 B．
C．点M到平面的距离为 D．多面体的体积为
2．（2022·全国·模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面 ，，，点G是P在平面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点分别为棱的中点，则下列说法错误的是（    ）
A．平面
B．直线和直线所成的角为
C．过点的平面与四棱锥表面交线的周长为
D．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆
4．（多选）（2022·广东·高三阶段练习）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（    ）

A．直线⊥平面
B．直线平面
C．异面直线AP与所成角的取值范围是
D．三棱锥体积为定值
5．（多选）（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，正方体棱长为1，点是线段上的一个动点，下列结论中正确的是（    ）

A．存在点，使得
B．三棱锥的体积为定值
C．若动点在以点为球心，为半径的球面上，则的最小值为
D．过点，，作正方体的截面，则截面多边形的周长的取值范围是
6．（多选）（2022·广东惠州·高二阶段练习）在棱长为1的正方体中,已知E为线段的中点,点F和点P分别满足,,其中,则下列说法正确的是（    ）
A．当时,平面与平面FAC的夹角余弦值为
B．当时,四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对,使得平面PDF
7．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）如图，正方体的棱长为，分别是棱的中点，过点的平面分别与直线交于点，为侧面（含边界）上的一个动点.给出以下命题：

①四边形一定为菱形；
②四棱锥的体积为定值；
③平面与平面所成的角不大于；
④的最小值为.
其中正确命题的序号是______.
8．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：

①存在点，使得，且这样的点有两个；
②的面积越来越小；
③四面体的体积不变.
所有正确的结论的序号是__________.
9．（2022·北京师大附中高三阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点，是棱上的动点（不与端点，重合）.给出下列说法：
①当变化时，三棱锥的体积不变；
②当变化时，平面内总存在与平面平行的直线；
③当为中点时，异面直线与所成角的余弦值为；
④存在点，使得直线.
其中所有正确的说法是______.

第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）在棱长为2的正方体中挖掉一个体积最大的圆锥（圆锥的底面在正方体的底面上），再将该圆锥重新熔成一个圆柱，则该圆柱表面积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·高二阶段练习）已知棱长为12的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最长为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则它的内切球的半径为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（     ）

A． B．
C． D．
5．（2022·江西·高二阶段练习）如图，在长方体中， ，当 时，有平面，则实数的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．
6．（2022·湖南岳阳·高二期中）平行六面体中，则它的对角线的长度为（    ）

A．4 B． C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱的底面为正三角形，M，N分别为AC，的中点，若，则异面直线与MN所成角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（2022·上海·模拟预测）如图，正方体中，M是的中点，则（    ）

A．直线与直线相交，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线AC异面，直线平面
D．直线与直线垂直，直线∥平面
二、多选题
9．（2022·辽宁沈阳·高二期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ）

A．
B．
C．直线AC与直线是相交直线
D．与AC所成角的余弦值为
10．（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E、F、G、M分别为的中点．则（    ）
A．与平面夹角余弦值为 B．与所成角为
C．平面EFB D．平面⊥平面
11．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ）

A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
三、填空题
12．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为__________.
13．（2022·江苏南通·高三阶段练习）如图为某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，它的表面是由正三角形和正方形组成，设被截正方体的棱长为2a，若球О以该几何体的中心为球心，且与正三角形表面相切，则该球被其中一个正方形表面截得的截面面积为__________.

14．（2022·北京·杨镇第一中学高二期中）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，给出下面四个结论：
①点可以是棱的四等分点，且靠近点；
②线段的最大值为；
③点的轨迹是正方形；
④点轨迹的长度为．
则其中所有正确结论的序号是________．
（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分）

四、双空题
15．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）如图1，是平行四边形，，如图2，把平行四边形沿对角线折起，则三棱锥体积的最大值为______________．若与成角，则的长为______________．

16．（2022·天津河北·高二期中）在棱长为2的正方体中，E为的中点，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点到直线的距离为______________；点D到平面的距离为______________．