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数学八年级上册1 探索勾股定理精品ppt课件
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这是一份数学八年级上册1 探索勾股定理精品ppt课件，共36页。
1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2.如何验证勾股定理呢 ？
1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
问题思考 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.
小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？
大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者___________
可得等式
你能用右图验证勾股定理吗？
所以a2+b2=c2 .
=a2+b2+2ab-2ab
小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_______
=2ab+a2+b2-2ab
所以a2 + b2 = c2
所以c2 = b2 + a2
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.
意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法
请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！
S多边形A′B′C′D′E′F′
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是( ) A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=(a+b)2
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
点B表示10s后汽车距小王500m
小王距离公路400m，所以∠C是直角
点A、B、C构成直角三角形
即它行驶的速度为108 km/h.
总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为
300×6×60=108000(m),
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？
在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.
因为AB=5，AC=4,所以BC2=52-42.
所以BC2=9,所以BC=3，
答：飞机每小时飞行540km.
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm， 则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想
答：这个三角形的面积为48cm2.
下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.
解：设正方形的边长为x厘米 , 则
x2 =172-152 =64
答：正方形的面积是64平方厘米.
议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
锐角三角形：a2+b2 ＞ c2
钝角三角形：a2+b2 ＜ c2
直角三角形：a2+b2=c2
提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A． B． C． D．
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )A．5 B．6 C．7 D．25
3．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为( ) A．16 B．12 C．9 D．7
4．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答．
解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB=8 m，CD=2 m， 两棵树之间的距离BD=8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE=CD=2 m，EC=BD=8 m， AE=AB-BE=8-2=6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2， 即AC2=62+82=100，所以AC=10 m.答：这只小鸟至少要飞10 m．
一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离.
思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题.或者说：画出图形，运用勾股定理.
解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在C处. 且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=90°
由勾股定理，可以得到AB2+AC2=BC2即122+52=BC2所以BC=13 （海里）
答： 1小时后快艇与小船之间的距离为13海里.
首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2.如何验证勾股定理呢 ？
1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
问题思考 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.
小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？
大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者___________
可得等式
你能用右图验证勾股定理吗？
所以a2+b2=c2 .
=a2+b2+2ab-2ab
小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_______
=2ab+a2+b2-2ab
所以a2 + b2 = c2
所以c2 = b2 + a2
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.
意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法
请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！
S多边形A′B′C′D′E′F′
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是( ) A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=(a+b)2
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
点B表示10s后汽车距小王500m
小王距离公路400m，所以∠C是直角
点A、B、C构成直角三角形
即它行驶的速度为108 km/h.
总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为
300×6×60=108000(m),
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？
在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.
因为AB=5，AC=4,所以BC2=52-42.
所以BC2=9,所以BC=3，
答：飞机每小时飞行540km.
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm， 则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想
答：这个三角形的面积为48cm2.
下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.
解：设正方形的边长为x厘米 , 则
x2 =172-152 =64
答：正方形的面积是64平方厘米.
议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
锐角三角形：a2+b2 ＞ c2
钝角三角形：a2+b2 ＜ c2
直角三角形：a2+b2=c2
提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A． B． C． D．
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )A．5 B．6 C．7 D．25
3．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为( ) A．16 B．12 C．9 D．7
4．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答．
解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB=8 m，CD=2 m， 两棵树之间的距离BD=8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE=CD=2 m，EC=BD=8 m， AE=AB-BE=8-2=6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2， 即AC2=62+82=100，所以AC=10 m.答：这只小鸟至少要飞10 m．
一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离.
思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题.或者说：画出图形，运用勾股定理.
解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在C处. 且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=90°
由勾股定理，可以得到AB2+AC2=BC2即122+52=BC2所以BC=13 （海里）
答： 1小时后快艇与小船之间的距离为13海里.
首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
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