广东省肇庆鼎湖中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份广东省肇庆鼎湖中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 如图所示，用符号语言可表达为等内容，欢迎下载使用。

肇庆鼎湖中学2025届高一级下学期第一次月考试题
数学
考试时间：120分钟满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一､单选题（本题共8题，每题5分，共40分.每题只有一个正确答案.）
1. 设复数满足 ，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘除法规则和复数的实部虚部定义求解.
【详解】因为复数满足 ，即 ，
所以 ，所以复数的虚部是；
故选：D
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的计算方法计算即可.
【详解】.
故选：A
3. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）

A. ，， B. ，，
C. ，，， D. ，，，
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．
【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A．
4. 根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A. 不相交的直线是平行直线 B. 经过两条平行直线有且只有一个平面
C. 不共线的三点确定一个平面 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间直线的位置关系判断A；利用平面基本事实判断BC；利用棱台的定义判断D作答.
【详解】对于A，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A错误；
对于B，两条平行直线确定一个平面，B正确；
对于C，不共线的三点确定一个平面，C正确；
对于D，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确.
故选：A
5. 如图，是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（ ）

A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】在直观图中，利用余弦定理求出，再由斜二测画图法求出及，借助勾股定理求解作答.
【详解】在中，，，由余弦定理得：
，即，而，解得，
由斜二测画图法知：，，
在中，，所以.
故选：C

6. 棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体的对称性得到内切球的球心为正方体的中心，然后求体积即可.
【详解】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，
即球的体积为.
故选：B.
7. 连续抛掷一枚骰子次，则第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由古典概型概率公式计算即可.
【详解】方法一：
连续抛掷一枚骰子次，用表示第次和第次正面向上的数字分别为，，则基本事件有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个，
设事件“第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大”，
则事件中基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，
∴.
∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为.
方法二：
连续抛掷一枚骰子次，第次正面向上的数字有种，第次正面向上的数字有种，
∴连续抛掷一枚骰子次，基本事件有个；
其中，第次正面向上的数字与第次正面向上的数字相等的基本事件有个，
而第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件，与第次正面向上的数字比第次正面向上的数字小的基本事件数量相同，
∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件有个，
∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为.
故选：A.
8. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测．下表是对A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果．下列说法正确的是（ ）
A
43
72
73
98
63
86
65
75
81
78
B
82
68
71
37
61
65
58
68
77
94

A. A企业该指标值的极差较大 B. A企业该指标值的中位数较小
C. B企业该指标值的平均数较大 D. B企业该指标值的众数与中位数相等
【答案】D
【解析】
【分析】将A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果从小到大排列，然后逐一判断即可.
【详解】将A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果从小到大排列：
A企业：43,63,65,72,73,75,78,81,86,98.
B企业：37,58,61,65,68,68,71,77,82,94.
A企业的极差为，B企业的极差为，A错误；
A企业中位数为，B企业的中位数为，B错误；
A企业的平均数为，B企业的平均数为，C错误；
由上可知，B企业该指标值的众数与中位数都为，D正确.
故选：D.
二､多选题（本题共4题，每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.）
9. 下面是长方体的几条棱，其中符合条件“与直线既不相交也不平行”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出长方体分析，寻找与直线异面直线即可.
【详解】如图所示，

由题意知与直线既不相交也不平行，
则直线，直线，直线均与直线异面，
而直线与直线平行，所以B不正确， A、C、D正确，
故选：ACD.
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，A选项正确.
，所以B选项错误.
，
所以，所以C选项正确.
，所以D选项错误.
故选：AC
11. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A. 平均数为3 B. 标准差为
C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4.5
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式可判定A；根据方差、标准差的计算公式可判定B；由众数的概念可判定C；由百分位数的概念可判定D.
【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为，所以A项正确；
由方差的公式，可得，所以标准差为，所以B项不正确；
根据众数的概念，可得数据的众数为和，所以C项正确；
数据从小到大排序：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，根据百分位数的概念，可得第85百分位数是第9个数据的值，即为5，所以D项不正确.
故选：AC.
12. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（ ）

A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上的减区间为
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角函数图象的性质即可求解.
【详解】∵，∴，∴．
又∵，得（舍）或，
因为，∴，
∴，
其图象对称轴为，．当时，，故A正确；
∵，，，
∴的图象关于点对称，故B正确；
∵函数的单调递减区间为，．
∴，，
∴当时，在上单调递减，
所以在上单调递减，故C正确；
∵．故D错误．
故选:ABC.
三､填空题（本题共4题，每题5分，共20分.）
13. 某年某博物馆接待参观者61.3万人次.据统计，18岁以下（不含18岁）的参观人数占总参观人数的11%；岁的参观人数最多，占总参观人数的62%；24岁以上（不含24岁）的参观人数占总参观人数的27%.为了解参观者对博物馆展览内容的需求及建议现采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取岁的人数为___________________.
【答案】124
【解析】
【分析】由题可得抽样比为，据此可得答案.
【详解】由题可得应抽取人数为.
故答案为：124
14. 事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则______.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据互斥事件概率运算性质求解.
【详解】因为事件A、B都不发生的概率为，
所以,
又因为代入上式可得，
所以，
故答案为: .
15. 已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】画出图形，利用三角形法则表示出向量，然后根据向量数量积计算即可.
【详解】如图所示：

由，
又在边长为2的正方形中，
所以，
所以，
故答案为：4.
16. 如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为__．

【答案】
【解析】
【分析】把正三棱柱沿侧棱剪开再展开，求解直角三角形即可得到答案．
【详解】正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1 的长为最短路程．
因此蚂蚁爬行的最短路程为．
故答案为：．

四､解答题（本题共6题，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 如图，平面上，，三点的坐标分别为,,.

（1）写出向量，，的坐标；
（2）如果四边形是平行四边形，求的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；
（2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解.
【小问1详解】

【小问2详解】
设，由可得，所以 ，故
18. 的内角的对边分别为，若，求：
（1）的值；
（2）和的面积．
【答案】（1）
（2），三角形面积为
【解析】
【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可；
（2）由同角三角函数平方关系求，应用正弦定理求，三角形面积公式求的面积.
【小问1详解】
由余弦定理得：，解得．
【小问2详解】
由，则，
由正弦定理得，又，则，
．
19. 如图，已知正三棱柱的底面边长是2，､分别是､的中点，､分别是､的中点，.

（1）求正三棱柱的表面积：
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正三棱柱的几何性质，结合等边三角形以及直角三角形的性质，求得边长，利用表面积计算公式，可得答案；
（2）根据长方形的几何性质，利用全等三角形的性质以及菱形的定义，可得答案.
【小问1详解】
在正三棱锥中，易知平面，，
因为平面，所以，
在等边中，为的中点，，
在中，，
由为的中点，则，
正三棱柱的表面积.
【小问2详解】
连接，如下图：

在正三棱柱中，四边形为长方形，
因为分别为的中点，
所以，，
易知，
则，所以四边形为菱形，
故.
20. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，其余均为不中奖．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求：
（1）事件，，的概率；
（2）1张奖券中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【答案】（1）事件，，的概率分别为，，；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（3）根据对立事件的概率计算方法，即可求解．
【小问1详解】
由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
故，，；
【小问2详解】
1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，
设“1张奖券中奖”这个事件为，则，
∵，，两两互斥，
∴．
∴1张奖券的中奖概率为；
【小问3详解】
设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件，

则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴，
∴1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为．
21. 某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了200名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间（以下简称为购票用时，单位为min），下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），解答下列问题：
分组
频数
频率

20
0.10





0.50

60
0.30
合计
200
1.00

（1）分别求出表中缺失的数据，，；并将频率分布直方图补充完整；
（2）用每一组的两个端点的平均值来代替这一组的数据，求这个车站每位旅客购票平均所用的时间.
【答案】（1），，，频率分布直方图答案见解析
（2）分钟
【解析】
【分析】（1）根据频率､频数求得，，，根据频率分布直方图的知识补全频率分布直方图；
（2）根据由频率分布直方图求平均数方法求得平均数.
【小问1详解】
，，，
第一组和第二组的频率相同，由此补全频率分布直方图如下图所示：
【小问2详解】
每位旅客购票平均所用的时间为分钟.
22. 如图所求扇形的半径为1，圆心角为，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记.

（1）当时，求的值；
（2）记矩形的面积为，求最大值，并求此时的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，再由，求得，利用二倍角公式求出；（2）利用，分别表示出，求出面积表达式，得到最大值．
【小问1详解】
，所以，
所以．
【小问2详解】
，
所以

所以当，即，．