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湖南省长沙市浏阳市第六中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题（解析版）
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这是一份湖南省长沙市浏阳市第六中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浏阳六中高一年级2022年入学考试
数学试卷
时量：90分钟 总分：120分
一、单选题（32分）
1. 集合,等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式即可求得集合中的元素．
【详解】由，可得，又，
所以集合,．
故选：C．
2. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，
所以.
故选：A
3. 命题“，”的否定形式为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定可出结果.
【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，.
故选：D.
4. 若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为的零点所在的区间为，又函数在R上单调递增，则需，
即，解得.
故选：C.
5. 下列说法中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
分析】
根据不等式的性质逐个判断可得答案.
【详解】对于A，当时，，故A不正确；
对于B，若，则，则，故B正确；
对于C，当时，不成立，故C不正确；
对于D，若，当时，有，故D不正确.
故选：B
6. 在中，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中， ，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.
【详解】解：∵在中，，
∴，又，，
∴，，
∴
.
故选：B.
【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
7. 函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A. -8 B. -9 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令，可得点，设，把代入可得，从而可得的值.
【详解】∵，令，得，
∴，
∴的图象恒过点，
设，把代入得，
∴，∴，∴.
故选：A
8. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得，再，运用基本不等式可得选项．
【详解】由得，
，
当且仅当且，即.时，等号成立.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题（20分）
9. 下列四个命题中正确的命题是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 当时恒有
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据特殊角对应的三角函数值，以及诱导公式，可判断A错；根据二次函数的性质，可判断B正确；根据二倍角的余弦公式，可判断C正确；根据特殊值法，可判断D错.
【详解】A选项，，故A错；
B选项，函数是开口向上，且对称轴为的二次函数，所以其在上单调递增；故B正确；
C选项，，故C正确；
D选项，当，时，满足，但此时，故D错.
故选：BC.
10. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于ABC：通过解方程可得答案；对于D，通过作出两个函数的图象可得答案.
【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，
对于A：当时，该方程无解，故A不满足；
对于B：当，时，解得，故B满足；
对于C：当，即时，无实数根，故C不满足；
对于D；画出与的图象显然有交点，即存在一个点，使得，故D满足；
综上，BD均满足.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.
11. 已知函数的图象为C，则（ ）
A. 图象C关于直线对称
B. 图象C关于对称
C. 函数在区间内是增函数
D. 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的对称性、单调性判断ABC；利用平移变换判断D作答.
【详解】由，得图象C关于直线对称，A正确；
由，得图象C关于对称，B正确；
当时，，而正弦函数在上单调递增，
所以函数在区间内是增函数，C正确；
由的图象向右平移个单位长度得的图象，D错误.
故选：ABC
12. 下列结论中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据幂函数的性质判断A、B，根据指数函数的性质判断C、D.
【详解】对于A：因为在上单调递增，又，所以，故A错误；
对于B：在上单调递减，又，所以，故B错误；
对于C：因为，又在上单调递增，
且，所以，即，故C错误；
对于D：，，所以，故D正确；
故选：ABC
三、填空题（20分）
13. ．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果.
【详解】.
故答案为
【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.
14. 已知函数则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数知识可得，根据分段函数的解析式可得结果.
【详解】因为，所以.
故答案为：
15. 函数的定义域为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【详解】函数
，解得，
函数的定义域为.
故答案为
【点睛】本题考查函数定义域，考查对数函数和二次根式的性质.
1、函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，求函数定义域的步骤：
（1）写出使函数有意义的不等式（组）；
（2）解不等式（组）；
（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）
2、求函数定义域的主要考虑如下：
（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零；
（2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；
（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
（4）特殊位置：正切函数，
（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
（6）复合函数定义域，本着内层函数的值域为外层函数定义域的原则求得定义域；
（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.
16. 中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”，具体方案如下：
方案代号
基本月租(元)
免费时间(分钟)
超过免费时间的话费(元/分钟)
1
30
48
0.60
2
98
170
0.60
3
168
330
0.50
4
268
600
0.45
5
388
1000
0.40
6
568
1700
0.35
7
788
2588
0.30
某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择方案______________较合算.
【答案】3
【解析】
【分析】
通话时间平均320分钟，可以选择方案1、2、3，分别计算出3种方案的话费，哪一个话费少，这个方案就较合算．
【详解】月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：(元)；
方案2月话费为：(元)；
方案3的月话费为168元．
其它方案的月话费至少为268元.经比较，选择方案3较合算．
故答案为：3．
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)有多个不同的函数模型进行比较时，需要把各个模型都进行计算，然后比较，得到最优解.
四、解答题（48分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则及性质计算可得；
（2）根据指数幂的运算法则计算可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知奇函数（a为常数）．
（1）求a的值；
（2）若函数有2个零点，求实数k的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数中求解即可；
（2）函数有2个零点，可转为为也即函数与的图象有两个交点，结合图象即可求解
【小问1详解】
由是上的奇函数，可得，
所以，解得，经检验满足奇函数，
所以；
【小问2详解】
函数有2个零点，
可得方程函数有2个根，即有2个零点，
也即函数与的图象有两个交点，由图象可知
所以实数得取值范围是
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）求图象的对称轴方程；
（2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式及诱导公式，可得函数的解析式，进而求出函数的对称轴的方程；
（2）由函数的平移可得的解析式，再由自变量的范围，求出函数的值域．
【小问1详解】
，
，所以函数的最小正周期，可得，
所以，
可得对称轴满足的条件，，
即对称轴方程为，；
【小问2详解】
由（1）可得，
因为,，
所以,，
所以,，
所以的值域为．
20. 已知定义域为函数．
（1）判断的奇偶性
（2）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数 （2）减函数,证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论；
（2）在上为减函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤；
（3）由的奇偶性和单调性，可得，即恒成立，再由二次函数的最值求法，可得所求范围．
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
可得为奇函数；
【小问2详解】
函数在上为减函数．
证明：设，，且，，
由，可得，所以，即，
所以在上为减函数；
【小问3详解】
对于任意，不等式恒成立，
可得，
因为在上为减函数，可得，即恒成立，
由，
所以，即的取值范围是．
浏阳六中高一年级2022年入学考试
数学试卷
时量：90分钟 总分：120分
一、单选题（32分）
1. 集合,等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式即可求得集合中的元素．
【详解】由，可得，又，
所以集合,．
故选：C．
2. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，
所以.
故选：A
3. 命题“，”的否定形式为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定可出结果.
【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，.
故选：D.
4. 若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为的零点所在的区间为，又函数在R上单调递增，则需，
即，解得.
故选：C.
5. 下列说法中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
分析】
根据不等式的性质逐个判断可得答案.
【详解】对于A，当时，，故A不正确；
对于B，若，则，则，故B正确；
对于C，当时，不成立，故C不正确；
对于D，若，当时，有，故D不正确.
故选：B
6. 在中，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中， ，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.
【详解】解：∵在中，，
∴，又，，
∴，，
∴
.
故选：B.
【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
7. 函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A. -8 B. -9 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令，可得点，设，把代入可得，从而可得的值.
【详解】∵，令，得，
∴，
∴的图象恒过点，
设，把代入得，
∴，∴，∴.
故选：A
8. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得，再，运用基本不等式可得选项．
【详解】由得，
，
当且仅当且，即.时，等号成立.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题（20分）
9. 下列四个命题中正确的命题是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 当时恒有
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据特殊角对应的三角函数值，以及诱导公式，可判断A错；根据二次函数的性质，可判断B正确；根据二倍角的余弦公式，可判断C正确；根据特殊值法，可判断D错.
【详解】A选项，，故A错；
B选项，函数是开口向上，且对称轴为的二次函数，所以其在上单调递增；故B正确；
C选项，，故C正确；
D选项，当，时，满足，但此时，故D错.
故选：BC.
10. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于ABC：通过解方程可得答案；对于D，通过作出两个函数的图象可得答案.
【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，
对于A：当时，该方程无解，故A不满足；
对于B：当，时，解得，故B满足；
对于C：当，即时，无实数根，故C不满足；
对于D；画出与的图象显然有交点，即存在一个点，使得，故D满足；
综上，BD均满足.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.
11. 已知函数的图象为C，则（ ）
A. 图象C关于直线对称
B. 图象C关于对称
C. 函数在区间内是增函数
D. 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的对称性、单调性判断ABC；利用平移变换判断D作答.
【详解】由，得图象C关于直线对称，A正确；
由，得图象C关于对称，B正确；
当时，，而正弦函数在上单调递增，
所以函数在区间内是增函数，C正确；
由的图象向右平移个单位长度得的图象，D错误.
故选：ABC
12. 下列结论中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据幂函数的性质判断A、B，根据指数函数的性质判断C、D.
【详解】对于A：因为在上单调递增，又，所以，故A错误；
对于B：在上单调递减，又，所以，故B错误；
对于C：因为，又在上单调递增，
且，所以，即，故C错误；
对于D：，，所以，故D正确；
故选：ABC
三、填空题（20分）
13. ．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果.
【详解】.
故答案为
【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.
14. 已知函数则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数知识可得，根据分段函数的解析式可得结果.
【详解】因为，所以.
故答案为：
15. 函数的定义域为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【详解】函数
，解得，
函数的定义域为.
故答案为
【点睛】本题考查函数定义域，考查对数函数和二次根式的性质.
1、函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，求函数定义域的步骤：
（1）写出使函数有意义的不等式（组）；
（2）解不等式（组）；
（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）
2、求函数定义域的主要考虑如下：
（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零；
（2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；
（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
（4）特殊位置：正切函数，
（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
（6）复合函数定义域，本着内层函数的值域为外层函数定义域的原则求得定义域；
（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.
16. 中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”，具体方案如下：
方案代号
基本月租(元)
免费时间(分钟)
超过免费时间的话费(元/分钟)
1
30
48
0.60
2
98
170
0.60
3
168
330
0.50
4
268
600
0.45
5
388
1000
0.40
6
568
1700
0.35
7
788
2588
0.30
某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择方案______________较合算.
【答案】3
【解析】
【分析】
通话时间平均320分钟，可以选择方案1、2、3，分别计算出3种方案的话费，哪一个话费少，这个方案就较合算．
【详解】月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：(元)；
方案2月话费为：(元)；
方案3的月话费为168元．
其它方案的月话费至少为268元.经比较，选择方案3较合算．
故答案为：3．
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)有多个不同的函数模型进行比较时，需要把各个模型都进行计算，然后比较，得到最优解.
四、解答题（48分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则及性质计算可得；
（2）根据指数幂的运算法则计算可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知奇函数（a为常数）．
（1）求a的值；
（2）若函数有2个零点，求实数k的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数中求解即可；
（2）函数有2个零点，可转为为也即函数与的图象有两个交点，结合图象即可求解
【小问1详解】
由是上的奇函数，可得，
所以，解得，经检验满足奇函数，
所以；
【小问2详解】
函数有2个零点，
可得方程函数有2个根，即有2个零点，
也即函数与的图象有两个交点，由图象可知
所以实数得取值范围是
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）求图象的对称轴方程；
（2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式及诱导公式，可得函数的解析式，进而求出函数的对称轴的方程；
（2）由函数的平移可得的解析式，再由自变量的范围，求出函数的值域．
【小问1详解】
，
，所以函数的最小正周期，可得，
所以，
可得对称轴满足的条件，，
即对称轴方程为，；
【小问2详解】
由（1）可得，
因为,，
所以,，
所以,，
所以的值域为．
20. 已知定义域为函数．
（1）判断的奇偶性
（2）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数 （2）减函数,证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论；
（2）在上为减函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤；
（3）由的奇偶性和单调性，可得，即恒成立，再由二次函数的最值求法，可得所求范围．
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
可得为奇函数；
【小问2详解】
函数在上为减函数．
证明：设，，且，，
由，可得，所以，即，
所以在上为减函数；
【小问3详解】
对于任意，不等式恒成立，
可得，
因为在上为减函数，可得，即恒成立，
由，
所以，即的取值范围是．
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