四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊复习（文科）数学试题六

成都石室中学高2023届数学二诊模拟六（文）

姓名        班级              

一．选择题：

1．设集合，，则

A． B． C． D．

2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为

A．1 B．0 C．1 D．1或1

3．非零向量，满足向量+与向量-的夹角为，下列结论中一定成立的是

A．= B．⊥ C．||=|| D．//

4．如图是函数图像的一部分，设函数，，则可以表示为

A． B．

C． D．

5．在区间上随机取一个实数，使直线与圆相交的概率为

A． B． C． D．

6．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列命题中错误的是

A．AE⊥平面PAB                                   B．直线PD与平面ABC所成角为45°

C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行      D．直线CD与PB所成的角的余弦值为

7．把函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若在上是增函数，则的最大值为

A． B． C． D．

8．已知点是曲线C：y＝+1上的点，曲线C在点P处的切线平行于直线6x﹣3y﹣7＝0，则实数a的值为

A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2

9．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：）

A．9 B．8 C．7 D．6

10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　)

A.f(log27)<f(－5)<f(6)        B.f(log27)<f(6)<f(－5)      C.f(－5)<f(log27)<f(6)    D.f(－5)<f(6)<f(log27)

11．已知双曲线的右焦点为，点，在双曲线的同一条渐近线上，为坐标原点．若直线平行于双曲线的另一条渐近线，且，，则该双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

12.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)＝2x－2－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.          C.   D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．计算的值为________．

14．函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数，___________.

15.点M是双曲线x2－＝1渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则圆M的半径的最小值等于________.

16. 已知四棱锥中，底面是梯形，且，，，，且，，则三棱锥外接球的表面积为________.

三、解答题：

（一）必做题：共60分．

17．（12分）已知数列中，，.

（Ⅰ）判断数列是否为等差数列，并说明理由；

（Ⅱ）求数列的前项和

18．（12分）某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务.现统计了前8天每天(用，2，…，8表示)的接种人数(单位：百)相关数据，并制作成如图所示的散点图：

（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程(系数精确到0.01)；

（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人.

参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

19．（12分）如图所示，是等边三角形，，，面面，．

（1）求证：；

（2）求四面体的体积．

20．（12分）已知椭圆的焦点为，且过点．

(1)求的方程；

(2)设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

21．（12分）已知函数，，其中.

（1）若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数的取值范围；

（2）若在上存在一点，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上

（Ⅰ）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；

（Ⅱ）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数的定义域为.

(1)求实数的范围；

(2)若的最大值为，当正数满足时，求的最小值.

参考答案

1．A  2．C   3．C  4．D  5．C  6．D 7．D  8．A  9．C  10．C  11．B  12．B

10.解析　由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期T＝4.

又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，

所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.

又2<log27<3，所以0<log27－2<1，即0<log2<1，

∵x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)∈[0，1]，

∴f(log27)＝－f(log27－2)＝－f

＝－log2＝－log2，

又1<log2<2，所以0<log2<1，

所以－1<－log2<0，

所以f(－5)<f(log27)<f(6).

答案　C

12.解析　由f(x)＝2x－2－1＝0，得x＝2.

依题意|2－β|<1，解得1<β<3.

又g(β)＝β2－aeβ＝0，得a＝，1<β<3.

设φ(x)＝，x∈(1，3)，则φ′(x)＝，

当1<x<2时，φ′(x)>0；2<x<3时，φ′(x)<0，

∴φ(x)在x＝2处有极大值，且φ(2)＝，

又φ(1)＝，φ(3)＝且φ(1)<φ(3).

∴φ(x)的值域为，故a的取值范围为.

13．     14．（答案不唯一） 15. －1       16．

15解析　不妨设点M是渐近线2x－y＝0上一点.

∵圆C：x2＋y2－4x＋3＝0的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，

∴圆心C(2，0)，半径R＝1.若圆M的半径最小，则圆M与圆C外切，且直线MC与直线2x－y＝0垂直.

因此圆M的半径的最小值rmin＝|MC|min－R.

由于|MC|min＝＝，故rmin＝－1.

答案　－1

17．解：（1）因为，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；

（2）由（1）知：

数列的通项公式为：，

则，

①，

②，

①②得：

，   则.

18．（1）由题意，得，，

，所以关于的回归方程为.

（2）第10天接种人数的预报值，

第10天接种人数的预报值为2145人.

当时，的预报值；

当时，的预报值，

故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人.

19．解：（1）证明：，，又是等边三角形，

，又，

在中，由余弦定理可得，

，

，故，又，；

（2）解：取的中点，连接，由，得，

又平面平面，且平面平面，

平面，且求得．

由，平面平面，

可得平面，则与到底面的距离相等，

则四面体的体积．

20．(1)解：设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，

因为，

所以，即．

又因为，

所以，

又椭圆的焦点在轴上，且中心在坐标原点，

所以的方程为．

(2)因为，则，又因为为的中点，

所以，易知点，

设．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由,得，

所以，

由韦达定理可得，

，

则

，

化简可得，即．

若，则直线的方程为，此时直线过顶点，不符合题意；

若，易知满足，此时直线的方程为，直线过定点；

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，

所以，

则，

，

因为，解得，直线过点．综上，直线过定点．

21．（1），，即；

令，由题意得只需函数在上有唯一的零点；

又，其中，

①当时，恒成立，单调递增，

又，则函数在区间上有唯一的零点；

②当时，恒成立，单调递减，

又，则函数在区间上有唯一的零点；

③当时，当时，

，单调递减，又，

，则函数在区间上有唯一的零点；

当时，，单调递增，则当时符合题意，

即，

所以，当时，则函数在区间上有唯一的零点；

所以实数的取值范围是.

22．解：（1）因为点，所以；

由得

于是的直角坐标方程为；

的参数方程为：  （t为参数）     

（2）由： ，

将的参数方程代入得

，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知，

，                      

所以．

23(1)解：函数的定义域为，

恒成立，

，

，.

(2)由（1）知，由柯西不等式知，

，

当且仅当时取等号，

的最小值为.