四川省自贡市田家炳中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

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普高一（下）期中数学考试题
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
【详解】sin210°
＝sin（180°+30°）+cos60°
＝﹣sin30°+cos60°
．
故选A．
【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．
2. 若四边形满足，，则该四边形一定是（ ）
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 直角梯形
【答案】C
【解析】
【分析】根据可判断四边形为平行四边形，由可得，可判断四边形为菱形.
【详解】
因，所以，故，且，
故四边形为平行四边形，
由得，即，
所以平行四边形对角线互相垂直，故四边形为菱形.
故选：C
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则化简求解，然后求复数的模.
【详解】，
故，
故选：A
4. 如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量垂直，数量积为0，得，再代入模和夹角公式，即可求解.
【详解】由，则，
则，得，
所以.
故选：D
5. 在中， 分别是内角所对的边，若， 则形状为
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形
C. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形
【答案】C
【解析】
【详解】因为所以由余弦定理得，整理得，即三角形为直角三角形，故选C．
6. 已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先对复数进行化简，再由其实部为求出的值，从而可求出复数，进而得到结果.
【详解】解：，
因为复数的实部为，所以，解得，
所以，
所以，其在复平面上对应的点为在第三象限，
故选：C
【点睛】此题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.
7. 在中，角，，的对边分别是，若，则的周长为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 7.5
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，由余弦定理，得 ，即的周长为，故选A.
8. 将函数的图象分别向左、向右平移个单位后，所得的图象都关于轴对称，则的最小值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件写出平移后的解析式，再借助对称性求出满足的关系即可推理作答.
【详解】函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
因图象关于y轴对称，则，即，而，则，
向右平移个单位得函数的图象，函数关于y轴对称，
则有，即，而，则，
所以的最小值分别为，.
故选：A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 给出的下列函数值中符号为负的是（ ）
A. cos B. C. tan 2 D. sin 5
【答案】ACD
【解析】
【分析】先判断三角函数式中角的位置，进而根据各三角函数在不同象限的符号，得到答案．
【详解】A为负，，∴是第三象限角，∴；
B为正，∵，∴是第一象限角，∴；
C为负，∵，是第二象限角，∴；
D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴；
故选：ACD.
10. 下列结果为零向量的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量加减法运算方法即可逐项判断.
【详解】A项，；
B项，；
C项，；
D项，.
故选：BCD.
11. 中，下列说法不正确的是（ ）
A. B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理、余弦定理对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，所以A选项错误.
B选项，若，则，
所以为锐角，但无法判断两个角是否是锐角，所以B选项错误.
C选项，若，则，
由正弦定理得，所以C选项正确.
D选项，若，
由正弦定理得，所以D选项错误.
故选：ABD
12. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（　 　）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】化简得到，根据得到，从而得到，求出答案.
【详解】，
因为，，所以，
要想区间上有零点，
则，解得，
故的值可以是，；
故选：BD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上）
13. 一个半径为扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么该扇形的圆心角是______，面积是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设扇形的圆心角的弧度数为，根据题中条件可列等式求出的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，则，解得，
该扇形的面积为.
故答案为：；.
14. 已知向量，若，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直与数量积间的关系，得到，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，解得.
故答案为：.
15. 当时，函数的最小值是_______，最大值是________．
【答案】 ①. ， ②. 2
【解析】
【详解】，
当，有，
则当时，函数的最小值为；
当时，函数的最大值为．
16. 关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）
【答案】②
【解析】
【分析】根据向量概念和运算的判断，逐一进行验证
【详解】对于①，向量不满足消去律，错；对于②，两向量平行的坐标表示知正确；对③，在加减法构成的平行四边形中，由几何意义可得到所求角为，错；则正确的命题为②．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）已知向量，，若，求k的值；
（2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反?
【答案】（1）；（2）共线，相同.
【解析】
【分析】（1）计算出，由平行关系得到方程，求出k的值；
（2）计算出，从而得到，得到答案.
【详解】（1），
，
因为，所以，解得.
（2）因为，
，
因为，所以，所以与共线.
又，所以与的方向相同.
18. 已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，将要求的表达式转化只含的形式，由此求得表达式的值.
（2）利用“”的代换的方法求得表达式的值.
【小问1详解】
由于，所以，
所以
【小问2详解】


.
19. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.

（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值.
【答案】（1）14海里小时；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意知，，，.
在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度.
（2）在△中，，，，，
由正弦定理，即可解出的值.
【小问1详解】
(1）依题意，，，，.
在△中，由余弦定理，得

.
解得.故渔船甲的速度为海里小时.
即渔船甲的速度为14海里小时.
【小问2详解】
在△中，因为，，，，
由正弦定理，得，即.
的值为.
20. （1）在中，，求；
（2）若的面积为，求边的长度 .
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理求出，根据两角和的正弦公式求出，再根据三角形面积公式可求出结果；
（2）根据三角形的面积公式求出，从而得为等边三角形，所以.
【详解】（1）因为，
所以，

，
所以.
（2）因为的面积为，
所以，即，解得，
所以为等边三角形，所以.
21. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求在区间上的单调递增区间．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）化简根据即可得出结果.
（2）利用整体的思想求出函数单调性.
【详解】（1）
，
的最小正周期为．
（2）由（1）
令
所以的单调递增区间为：
当时的单调递增区间为：
当时的单调递增区间为：
所以在区间上的单调递增区间为：
22. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式及对称中心坐标：
（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；
（2）由图象平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
【小问2详解】
由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.