高考数学一轮复习夯基练习：空间向量及空间位置关系(含答案)

夯基练习 空间向量及空间位置关系

一 、选择题

1.设l1的方向向量为a=(1,2，－2)，l2的方向向量为b=(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m=(　　)

A.1            B.2         C.0.5            D.3

2.空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且=2，N为BC中点，则为(　　)

A.a－b＋c      B.－a＋b＋c     C.a＋b－c      D.a＋b－c

3.已知a=(1，－2,1)，a＋b=(－1,2，－1)，则b等于(　　)

A.(2，－4,2)　  B.(－2,4，－2)  C.(－2,0，－2)    D.(2,1，－3)

4.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　)

A.0            B.          C.－          D.

5.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是(　　)

A.3a，a－b，a＋2b　             B.2b，b－2a，b＋2a

C.a,2b，b－c                    D.c，a＋c，a－c

6.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A.　          B.          C.           D.

7.以正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是(　　)　　　　　　　　　

A.(1，，)    B.(1,1，)    C.(，，)     D.(，，1)

8.已知直线l1的一个方向向量为a=(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b=(2，－2,0)，则两直线所成角的余弦值为(　　)

A.1                B.             C.               D.

9.已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a=(4，－1，0)，b=(1,4,5)，c=(－3,12，－9)，则(　　)

A.l1⊥l2，但l1与l3不垂直

B.l1⊥l3，但l1与l2不垂直

C.l2⊥l3，但l2与l1不垂直

D.l1，l2，l3两两互相垂直

10.已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于(　　)

A.＋＋         B.(＋＋)

C.(＋＋)         D.＋＋

11.已知向量=(2，4，5)，=(3，x，y)分别是直线l1、l2方向向量，若l1∥l2，则(  )

A.x=6，y=15        B.x=3，y=7.5        C.x=3，y=15          D.x=6，y=7.5

12.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)

A.(1,2,3)           B.(1,3,2)     C.(2,1,3)           D.(3,2,1)

二 、填空题

13.在棱长为a正方体ABCD­A′B′C′D′中，E是BC中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为_____.

14.若a=(x,2,2)，b=(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________.

15.=(2，﹣3，5)，=(﹣3，1，﹣4)，则||=        .

16.在直角坐标系O­xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________.

三 、解答题

17.若a=(1,5，－1)，b=(－2,3,5).分别求满足下列条件的实数k的值：

(1)(ka＋b)∥(a－3b)；

(2)(ka＋b)⊥(a－3b).

18.如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标.

19.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5).

(1)求△ABC的面积；

(2)求△ABC中AB边上的高.

20.已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.

求证：AB1⊥MN.

参考答案

1.答案为：B；

解析：l1⊥l2⇒a·b=－2＋6－2m=0⇒m=2.

2.答案为：B；

解析：=＋＋

=＋－＋(－)=－＋＋=－a＋b＋c.

3.答案为：B；

解析：b=(a＋b)－a=(－1,2，－1)－(1，－2,1)=(－2,4，－2).

4.答案为：A；

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0).所以=(－2，－2,3)，

=(－2,2,0).所以cos〈，〉==0.

5.答案为：C；

解析：对于A，有3a=2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基；同理可判断B、D错误.

6.答案为：A；

解析：设CA=2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1=(0,2,1)，

可得向量=(－2,2,1)，=(0,2，－1)，

由向量的夹角公式得cos〈，〉===.

7.答案为：C；

解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，∴=(1,1,1)，

∴与共线的向量的坐标可以是(，，).

8.答案为：D；

解析：cos〈a，b〉====.

9.答案为：A；

解析：∵a·b=(4，－1,0)·(1,4,5)=4－4＋0=0，

a·c=(4，－1,0)·(－3,12，－9)=－12－12=－24≠0.

b·c=(1,4,5)·(－3,12，－9)=－3＋48－45=0，

∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.

∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.

10.答案为：B；

解析：如图，

=(＋)=＋×(＋)=＋＋=(＋＋).

11.D.

12.答案为：A；

解析：=(2,4,6)，且(2,4,6)=2(1,2,3)，∴直线l的一个方向向量是(1,2,3).

二 、填空题

13.答案为：；

解析：如图所示建立空间直角坐标系，

则A′(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E，

则=(a，a，－a)，=，

cos〈，〉==.

14.答案为：(－∞，－2)；

解析：a·b=2x－2×3＋2×5=2x＋4，设a，b的夹角为θ，

因为θ为钝角，所以cos θ=<0，

又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，

所以实数x的取值范围是(－∞，2).

15.答案为：；

16.答案为：或；

解析：由OP⊥OQ，得·=0.即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)=0.

∴cos x=0或cos x=.∵x∈[0，π]，∴x=或x=.

三 、解答题

17.解：ka＋b=(k－2,5k＋3，－k＋5)，

a－3b=(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)=(7，－4，－16).

(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，

则==，解得k=－.

(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，

则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)=0，

解得k=.

18.解：∵PA=AB=AD=1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴，，是两两垂直的单位向量.

设=e1，=e2，=e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.

法一：∵=＋＋

=－＋＋

=－＋＋(＋)

=－＋＋(＋＋)

=＋=e2＋e3，

∴=.

法二：如图所示，连接AC，BD交于点O.则O为AC，BD的中点，连接MO，ON，

∴==，=，

∴=＋=＋=e2＋e3.

∴=.

19.解：

(1)由已知得=(1，－3,2)，=(2,0，－8)，

∴||= =，||==2，

·=1×2＋(－3)×0＋2×(－8)=－14，

cos〈，〉===，

sin〈，〉==.

∴S△ABC=||·||·sin〈，〉=××2×=3.

(2)设AB边上的高为CD，则||==3.

20.解：(坐标法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得

A，B，C，N，B1，

∵M为BC中点，∴M.

∴=，=(1,0,1)，·=－＋0＋=0.

∴⊥.∴AB1⊥MN.