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    高考数学二轮复习题海集训10 空间向量(30题含答案)

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    高考数学二轮复习题海集训10 空间向量(30题含答案)

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    这是一份高考数学二轮复习题海集训10 空间向量(30题含答案),共11页。试卷主要包含了l2方向向量,若l1∥l2,则等内容,欢迎下载使用。
    2020高考数学(理数)题海集训10 空间向量
    一 、选择题
    已知向量=(2,4,5),=(3,x,y)分别是直线l1、l2方向向量,若l1∥l2,则( )
    A.x=6,y=15 B.x=3,y=7.5 C.x=3,y=15 D.x=6,y=7.5
    若向量=(1,1,x),=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件(﹣)(2)=﹣2,则x的值为(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4

    如图所示,在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(  )

    A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c


    若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(  )
    A.120°  B.60° C.30° D.60°或30°


    在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F满足=3,=3,则BE与DF所成角正弦值为( )
    A. B. C. D.
    (在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若AB=,则AB1与C1B所成的角的大小为( )

    A.60° B.90° C.75° D.105°
    已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(  )
    A.45° B.135° C.45°或135° D.90°





    已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是( )

    A. B. C. D.
    在四棱锥P­ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h=(  )
    A.1 B.2 C.13 D.26

    已知A(1,0,0),B(0,-1,1),+λ与的夹角为120°,则λ的值为(  )
    A.± B. C.- D.±

    已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2),且k+与2-互相垂直,则k的值是( )
    A.1 B.0.2 C.0.6 D.1.4
    如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为( )

    A. B.0 C.0.5 D.
    已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=(  )
    A.9 B.-9 C.-3 D.3

    已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z (x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的(  )
    A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    在下列命题中:
    ①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
    ②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
    ③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
    ④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.
    其中正确命题的个数是(  )
    A.0   B.1 C.2 D.3

    如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,A1M=AN=,
    则MN与平面BB1C1C的位置关系是(  )

    A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定

    在三棱柱ABC­A1B1C1中,底面是边长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为α,则sin α的值是(  )
    A. B. C. D.

    已知底面是边长为2的正方形的四棱锥P­ABCD中,四棱锥的侧棱长都为4,E是PB的中点,则异面直线AD与CE所成角的余弦值为(  )
    A. B. C. D.

    如图,在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论正确的是(  )

    A.DB1⊥D1P B.平面AD1P⊥平面A1DB1
    C.∠APD1的最大值为90° D.AP+PD1的最小值为

    在空间四边形ABCD中,则·+·+·的值为(  )
    A.-1 B.0 C.1 D.2

    二 、填空题
    在空间直角坐标系中,已知P(2,2,5)、Q(5,4,z)两点之间的距离为7,则z= .
    已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:
    ①AP⊥AB;
    ②AP⊥AD;
    ③是平面ABCD的法向量;
    ④∥.
    其中正确的是________.
    =(2,﹣3,5),=(﹣3,1,﹣4),则||= .
    △ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上高BD等于______.

    点P是二面角α­AB­β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α­AB­β的大小为________.

    已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为________.

    已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,现用基底{,,}表示向量,有=x+y+z,则x,y,z的值分别为________.

    已知长方体ABCD­A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D1P⊥PC,则AD的取值范围是________.

    如图,已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________.


    三 、解答题
    如图所示,四棱锥S­ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,点P为侧棱SD上的点.
    (1)求证:AC⊥SD;
    (2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.












    答案解析
    D.

    B.
    答案为:A;
    解析:=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.
    答案为:C.
    解析:设直线l与平面α所成的角为β,直线l与平面α的法向量的夹角为γ.
    则sin β=|cos γ|=|cos 120°|=.又因为0°≤β≤90°,所以β=30°.
    A.

    B.

    答案为:C.
    解析:cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°,其补角为135°.
    所以两平面所成的二面角为45°或135°.




    D.

    答案为:B.
    解析:设平面ABCD的一个法向量为n=(x,y,z).则⇒
    令y=4,则n=,则cos〈n,〉===-.
    因为=|cos〈n,〉|,所以h=×2=2.

    答案为:C;
    解析:+λ=(1,-λ,λ),cos 120°==-,得λ=±.
    经检验λ=不合题意,舍去,所以λ=-.

    D.
    B.

    答案为:B;
    解析:由题意设c=xa+yb,则(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),
    ∴解得λ=-9.


    答案为:B;
    解析:当x=2,y=-3,z=2时,=2-3+2.
    则-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,
    根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,
    根据共面向量定理,设=m+n (m,n∈R),
    即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)+m+n,
    即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.
    故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.

    答案为:A;
    解析:a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②错误;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.

    答案为:B.
    解析:因为正方体的棱长为a,A1M=AN=,所以=,=,
    所以=++=++=(+)++(+)=+,
    又是平面B1BCC1的一个法向量,且·=·=0,
    所以⊥,又MN⊄平面B1BCC1,所以MN∥平面B1BCC1.

    答案为:D.
    如图,建立空间直角坐标系A­xyz,易求点D,

    平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),
    所以cos〈n,〉==,即sin α=.

    答案为:A;
    解析:设O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,
    则A(1,-1,0),D(-1,-1,0),C(-1,1,0),E(,,),
    所以=(-2,0,0),=,
    所以|cos〈,〉|===,故选A.


    答案为:B.
    解析:建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz,则有D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),
    C(0,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),
    ∵=(0,1,-1),又P为线段A1B上的动点,
    ∴设P(1,λ,1-λ)(0<λ<1),
    ∴=(-1,0,1),=(1,λ,-λ),设n=(x,y,z)是平面AD1P的法向量,
    则有即可取n=,
    又平面A1DB1的法向量可为=(-1,0,1),∵·n=0,
    ∴平面AD1P⊥平面A1DB1.故选B.


    答案为:B;
    解析:法一:如图,令=a,=b,=c,则·+·+·
    =·(-)+·(-)+·(-)
    =a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.

    法二:在三棱锥A­BCD中,不妨令其各棱长都相等,则正四面体的对棱互相垂直.
    所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.



    一 、填空题
    答案为:11或﹣1.
    答案为:①②③;
    解析:∵·=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,故①正确;
    ·=-4+4+0=0,∴AP⊥AD,故②正确;
    由①②知AP⊥平面ABCD,故③正确,④不正确.

    答案为:;
    答案为:5;
    解析:设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),
    ∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ,∴D(1,4λ-1,2-3λ),
    ∴=(-4,4λ+5,-3λ),∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0,
    解得λ=-,∴=,∴||= =5.

    答案为:90°;
    解析:不妨设PM=a,PN=b,如图.

    作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F,因为∠EPM=∠FPN=45°,所以PE=a,PF=b,
    所以·=(-)·(-)=·-·-·+·
    =abcos 60°-a×bcos 45°-abcos 45°+a×b=--+=0,
    ∴⊥,∴二面角α­AB­β的大小为90°.

    答案为:;
    解析:设PA=AD=1,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示
    的空间直角坐标系A­xyz,则P(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),
    D(0,1,0),∴=(-1,0,0),=(0,1,-1).
    设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则有即
    可取n=(0,1,1).易知平面PAB的一个法向量为=(0,1,0),
    则cos〈n,〉===
    ∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为.


    答案为:,,;
    解析:∵=+=+=+(-)
    =+=++,∴x=,y=,z=.


    答案为:(0,1];
    解析:如图,以D1为原点建立空间直角坐标系D1­xyz.

    设AD=a(a>0),AP=x(0≤x≤2),则P(a,x,2),C(0,2,2),
    所以=(a,x,2),=(a,x-2,0),
    因为D1P⊥PC,所以·=0,即a2+x(x-2)=0,a==.
    当0≤x≤2时,a∈(0,1].即AD的取值范围是(0,1].


    答案为:;
    解析:以O为原点,OA所在直线为x轴,过O且平行于AB的直线为y轴,OP所在直线为z轴,
    建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz,则B(1,2,0),P(0,0,2),C(-1,2,0),
    M,O(0,0,0),=(0,0,2),=(-1,2,0),=.
    设平面PCO的法向量为m=(x,y,z),则可取m=(2,1,0),
    设直线BM与平面PCO所成的角为θ,
    则sin θ=|cos〈m,〉|===.


    解:
    (1)证明:连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.连接SO,由题意知SO⊥平面ABCD.
    以O为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.

    设底面边长为a,则高SO=a,于是S,D,B,
    C,=,=,
    则·=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
    (2)棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.
    理由如下:由已知条件知是平面PAC的一个法向量,
    且=,=,=.
    设=t,则=+=+t=,
    而·=0⇒t=.
    即当SE∶EC=2∶1时,⊥.
    而BE⊄平面PAC,故BE∥平面PAC.



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