甘肃省临夏州临夏县中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

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临夏县中学2022—2023学年度第二学期第一次月考检测试卷
高二 数学
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知数列，，，，，则是它的（ ）
A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项
【答案】D
【解析】
【分析】分析出，代入求解即可.
【详解】数列即： ，
据此可得数列的通项公式为： ，
由 解得： ，即是这个数列的第12 项.
故选：D.
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=
A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．
解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故选C
考点：等比数列的前n项和．

3. 若圆圆心在直线上，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可得到、的关系．
【详解】解：圆的圆心坐标是，圆的圆心在直线上，所以，即．
故选：C．
4. 若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解法一：∵点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，∴4m＋3n－10＝0.
欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．

当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.
∴m2＋n2的最小值为4.
解法二：由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A，B，
直角三角形OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝ ＝，
斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根．
∵S△OAB＝OA·OB＝AB·h，∴h＝＝＝2，
∴m2＋n2的最小值为h2＝4.
5. 抛物线的准线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线方程标准化后写出抛物线准线方程即可求得结果.
【详解】抛物线化为标准方程，
所以准线方程是，
所以，
解得.
故选：B.
6. 椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定的椭圆方程直接求出焦距作答.
【详解】椭圆的半焦距，
所以椭圆的焦距为2.
故选：C
7. 7人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，那么不同的排法总数是
A. 1440 B. 3600
C. 4320 D. 4800
【答案】B
【解析】
【分析】第一步，除甲、乙以外的5人全排列；第二步，从6个空中选2个排甲乙；最后，把两步的结果相乘可得答案．
【详解】解：除甲、乙以外的5人全排列，共有种结果，5人排队后会出现6个空，从中选出2个排甲、乙，有种结果．所以满足条件的排队总数=（种），故选B．
【点睛】不相邻的排列问题要用插空法．
8. 某小区的全员核酸检测共安排了三处检测点，现将招募的6名志愿者平均分配到这三处检测点，则不同的安排方法有（ ）
A. 45种 B. 90种 C. 180种 D. 720种
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分组分配方法列式计算作答.
【详解】依题意，从6名志愿者中任取2名安排到第1个检测点，有种方法，
再从余下4名志愿者中取2名安排到第2个检测点，有种方法，
最后2名志愿者安排到第3个检测点，有种方法，
所以不同的安排方法有（种）.
故选：B
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，则（ ）
A. 可组成120个四位数
B. 可组成24个是5的倍数的四位数
C. 可组成72个是奇数的四位数
D. 可组成48个是偶数的四位数
【答案】ABCD
【解析】
【分析】按要求列式计算判断A；求出5为个位数字的四位数个数判断B；求出个位数字是奇数字的四位数个数判断C；求出个位数字是偶数字的四位数个数判断D作答.
【详解】对于A，组成无重复数字的四位数个数是，A正确；
对于B，5为个位数字的四位数个数是，B正确；
对于C，个位数字是奇数字的四位数个数是，C正确；
对于D，个位数字是偶数字的四位数个数是，D正确.
故选：ABCD
10. 已知直线与直线平行，且与的距离是，则直线的方程可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，设出直线的方程，再利用平行间距离列式计算作答.
【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为，
于是，解得或，
所以直线的方程为或，AD正确，BC错误.
故选：AD
11. 下列双曲线的渐近线方程为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】的渐近线方程为：，的渐近线方程为：.
【详解】A选项，的渐近线方程为，A正确；
B选项，的渐近线方程为：，B错误；
C选项，的渐近线方程为：，C错误；
D选项，的渐近线方程为：，D正确.
故选：AD
12. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 上存在与原点距离等于1的点
【答案】CD
【解析】
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，对于计算出原点到直的距离即可判断
【详解】解：因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；
因为经过点，所以直线的方程为，令，则，
所以在轴上的截距为，所以B错误；
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，所以与直线垂直，所以C正确；
因为原点到直线的距离为，
所以上存在与原点距离等于1的点，所以D正确，
故选：CD
【点睛】此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数列中，，则125是这个数列的第_______项.
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件，解方程求出n值作答.
【详解】由，得，而，解得，
所以125是这个数列的第8项.
故答案为：8
14. 在y轴上截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行得出所求直线斜率，再写出斜截式方程．
【详解】直线的斜率为－3，
故答案：．
15. 椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答.
详解】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长，
所以所求椭圆标准方程是.
故答案为：
16. 的展开式中第6项的系数是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式通项得，令即可得到答案.
【详解】由的二项展开式的通项公式
可得，
展开式中第6项为

所以展开式中第6项的系数为.
故答案为：.
四、解答题：（共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求等差数列的通项公式；
（2）求的最小值及对应的n值．
【答案】（1）；
（2）的最小值为，对应.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差即可求解作答.
（2）由数列的单调性求出的最小值及对应的n值作答.
【小问1详解】
等差数列中，，，则的公差，
所以等差数列的通项公式.
小问2详解】
由（1）知，等差数列单调递增，由，得，解得，
因此数列前15项均为负数，从第16项起均为正数，
所以当时，取得最小值.
18. 求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且分别与直线2x－y－1＝0：
(1)平行的直线方程；
(2)垂直的直线方程．
【答案】(1)2x－y＋1＝0.
(2)x＋2y－7＝0.
【解析】
【分析】由题意，联立方程组，解得与的交点为．
(1)设所求直线方程为，把点，代入直线方程，解得，即可求解；
(2)设所求直线方程为，把点，代入直线方程，解得，即可求解；
【详解】由题意，联立方程组，解得，即与的交点为．
(1)设与直线平行的直线方程为，
把点，代入直线方程，得，解得，
∴所求直线方程为2x－y＋1＝0.
(2)设与直线垂直的直线方程为，
把点，代入直线方程，得，解得，
即所求直线方程为x＋2y－7＝0.
【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中解答中牢记两条直线的位置关系，合理设出所求的直线方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
19. 已知圆C的圆心在y轴上，且经过，两点，求圆C的标准方程.
【答案】.
【解析】
【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线与y轴的交点坐标，即可求解作答.
【详解】点，，则线段的中点坐标为，显然线段的中垂线过点，

而点在y轴上，因此圆C的圆心坐标为，半径，
所以圆C的标准方程为.
20. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，且．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）若点P在第二象限，，求△的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设椭圆的标准方程为且，根据椭圆的定义求得，进而求得的值，即可求解；
（2）根据椭圆的定义，得到，结合余弦定理列出方程，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，焦距为，
由椭圆的两焦点分别为，，可得，，
∴，可得，
∴，则，
∴椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
∵在第二象限，，在△中，由．
∴根据余弦定理得，即，解得，
∴．
21. 6人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站右端，也不站左端；
（2）甲、乙站在两端；
（3）甲不站左端，乙不站右端.
【答案】（1）480；
（2）48； （3）504.
【解析】
【分析】（1）先排甲的位置，再排余下人的位置即可列式作答.
（2）先安排甲乙站位，再排余下人的位置即可列式作答.
（3）由6个人的全排列，去掉不符合要求的排法作答.
【小问1详解】
先安排甲的位置，有种方法，再安排其他5人的位置有种方法，
所以甲不站右端，也不站左端共有（种）.
【小问2详解】
先安排甲乙有种方法，再安排其他4人的位置有种方法，
所以甲、乙站在两端共有（种）.
【小问3详解】
6人的全排列有种方法，甲站左端有种方法，乙站右端有种方法，甲站左端且乙站右端有种方法，
所以甲不站左端，乙不站右端共有（种）.
22. 已知P为抛物线上任意一点，求点P到直线的最小距离.
【答案】
【解析】
【分析】设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合二次函数求出最小值作答.
【详解】依题意，设，则点到直线的距离，
因此当时，，
所以点P到直线的最小距离为.