吉林省辉南县第六中学2022-2023学年高二下学期第一次半月考数学试题（解析版）

这是一份吉林省辉南县第六中学2022-2023学年高二下学期第一次半月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 函数的图象大致为， 下列计算正确的是， 已知等内容，欢迎下载使用。
高二数学半月考（一）
一.选择题（共8小题）
1. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可.
【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中，
所以，
所以，，
，.
故D错误，ABC正确.
故选：D
2. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得函数不偶函数，图象不关于轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．
【详解】解：，所以的图象不关于轴对称，排除选项B，C，
又因为，排除A.
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.
3. 已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意构造函数，借助函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
∴在R上为增函数，∴可化为，∴．
故选C
【点睛】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.
4. 2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家.现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据古典概型的计算公式求，再结合条件概率公式运算求解.
【详解】事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，
则，，，
故选：A
5. 在的展开式中，记项的系数为，则（ ）
A. 45 B. 60 C. 72 D. 96
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由于的展开式为，且的展开式，
记项的系数为，所以，，
故.
故选：D
6. 甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为，，摸出红球个数Y的均值和方差分别为，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出随机变量和的所有可能取值及其对应的概率，由数学期望和方差的计算公式即可求解．
【详解】解：由题意，甲箱中摸到白球的概率为，红球的概率为，
乙箱中摸到白球的概率为，红球的概率为，
由题意可知的可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以，
；
由题意可知的可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以，
；
所以，．
故选：C．
7. 老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择.乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为不合理的是（ ）
A. 若乘坐线路B，前一定能到家
B. 乘坐线路A和乘坐线路B在前到家的可能性一样
C. 乘坐线路B比乘坐线路A在前到家可能性更大
D. 若乘坐线路A，则在前到家的可能性不超过1%
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，因，
所以乘坐线路B，前不一定能到家，选项A错误：
对于B，，
，所以选项B正确；
对于C，，
，选项C正确；
对于D，，选项D正确.
故选：A
8. 今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有种
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分两类，分别讨论两个小孩坐在一块和两个小孩不坐在一块所包含的情况，最后求和即可.
【详解】第一类：只用两辆缆车，
若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；
若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；
第二类：用三辆缆车，
若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；
若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；
综上不同的乘车方式有种.
故选C
【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记分类加法与分类乘法计算原理，即可分情况讨论，写出结果，属于常考题型.
二.多选题（共4小题）
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可．
【详解】A选项，，故A选项正确；
B选项，，故B选项错误；
C选项，，故C选项正确；
D选项，，故D选项错误；
故选：AC
10. 已知（），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，n=5
C. 若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13 D. 当n=4时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得，从而可求出的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当时，将代入结合可求得的值
【详解】，A正确；
的系数，则，所以，B正确；
若的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数，则n等于12，当n为奇数，则n等于11或13，C错误；
当时，，
令，则，又，
所以，D正确.
故选：ABD
11. 已知离散型随机变量X的分布列如下，则（ ）
X
1
2
3
4
P





A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案.
【详解】由题意可知，，解得或．
当时，，故，A不正确，B正确.
，C正确．
，
则．D正确．
故选：BCD
12. 已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是（ ）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.85 D. 0.75
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据的图象有两个交点来求得的取值范围，进而求得正确答案.
【详解】画出的图象如下图所示，
直线过坐标原点，
当时，不满足方程有两个不相等的实根，
当时，直线与射线所在直线平行，，
要使方程有两个不相等的实根，由图可知，
ABCD四个选项都符合题意.
故选：ABCD
【点睛】求解方程的根的个数问题，可以转化为两个函数交点个数问题来进行研究.具体解题过程中，根据题目所给方程的形式进行转化，转化为两个可以画出图象的函数，画出两个函数的图象，根据图象来求得参数的取值范围.
三.填空题（共4小题）
13. 某同学高考后参加国内3所名牌大学，，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，，招生考试的概率分别为，，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为___________；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为___________.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值．
【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，
该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，
由得，，
，即，
解得或，
又，，
，
，
该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为．
故答案为：，．
14. 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值.
【详解】随机变量服从正态分布，∴，
由，得，
又，
∴，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.
15. 设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】 ，， , ,
所以==．
16. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件，相互独立；②；③；④；⑤．
【答案】③④⑤
【解析】
【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤.
【详解】依题意，，和是两两互斥事件，
，，
又，①②错误；
又，，


，③④正确；
，⑤正确；
故答案为：③④⑤.
四.解答题（共2小题）
17. 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为.
（1）计算甲掷硬币国徽面朝上不同次数的概率；
（2）现规定：若，则甲胜；若，则乙胜.你认为这种规定合理吗？为什么？
【答案】（1）答案见解析
（2）合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得正确答案.
（2）分别计算出甲胜或乙胜的概率，由此作出判断.
【小问1详解】
根据相互独立事件概率乘法公式得：
甲国徽面朝上次数m
3
2
1
0





乙国徽面朝上次数n
2
1
0




【小问2详解】这种规定是合理的.
这是因为甲获胜，则，
当时，，其概率为；
当时，，其概率为；
当时，，其概率为；
∴甲获胜的概率为.
若乙获胜，则，
当时，，其概率为；
当时，，其概率为；
当时，，其概率为；
∴乙获胜的概率为.
甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的.
18. 作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了.若某生由于种种原因，每天只能骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车，对每个路口遇见红灯情况统计如下：
红灯
1
2
3
4
5
等待时间（秒）
60
60
90
30
90

（1）设学校规定后（含）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；
（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求的值；
（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）分类，根据独立事件的概率乘法公式可得；
（2）利用二项分布概率公式可得；
（3）先确定Y的取值，然后根据独立事件的概率乘法公式求得相应概率，再由期望公式可得.
【小问1详解】
由题意知，不管路口4是否遇到红灯，只要1，2，3，5路口同时遇到红灯，该同学就会迟到，
∴这名学生迟到的概率：.
【小问2详解】
由题意知.
∴.
【小问3详解】
由题意知Y=0，1，2，3，4，5.
，，
，，
，，
∴随机变量Y的分布列：
Y
0
1
2
3
4
5
P






∴.