初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试达标测试

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试达标测试，共29页。
专题22.17 二次函数图象的平移（直通中考）
【知识要点】
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：


一、单选题
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江湖州·统考中考真题）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广西玉林·统考中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度     ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度     ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·四川巴中·统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ）
① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
8．（2017·陕西·中考真题）已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）
A．（1，-5） B．（3，-13） C．（2，-8） D．（4，-20）
9．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
10．（2012·广西桂林·中考真题）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ ）

A．y＝（x＋1）2－1 B．y＝（x＋1）2＋1
C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x－1）2－1
二、填空题
11．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
12．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
13．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
14．（2021·广东·统考中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
15．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 ．
16．（2019·江苏徐州·统考中考真题）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为 ．
17．（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．

18．（2012·四川广安·中考真题）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题
19．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．











20．（2023·上海·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．

















21．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．




22．（2022·上海·统考中考真题）已知：经过点，．
（1）求函数解析式；
（2）平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；
②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．







23．（2022·河北·统考中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．











24．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．





























参考答案
1．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
2．D
【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．
解：∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上
故选：D
【点拨】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次函数变化规律即可解答．
解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
4．D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
故选D．
【点拨】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
5．D
【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．
解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．
6．D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
7．D
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
8．C
解：，
∴点M（m，﹣m2﹣4），
∴点M′（﹣m，m2+4），
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴M（2，﹣8）．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的性质．
9．C
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
10．C
【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．
解：∵A在直线y=x上，
∴设A（m，m），
∵OA= ，
∴m2+m2=（）2，
解得：m=±1（m=－1舍去）．
∴A（1，1）．
∴抛物线解析式为：y＝（x－1）2＋1．
故选C．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．
11．（3，5）
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
解：抛物线的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
13．2或4/4或2
【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．
解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，
解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点拨】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
14．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
解：抛物线向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：，
即：
故答案为：．
【点拨】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
15．y＝x2+2x＋3
【分析】把y＝x2﹣2x＋3配方得，把顶点向左平移2个单位长度即可得所求抛物线的解析式．
解：把y＝x2﹣2x＋3配方得，其顶点坐标为（1,2），抛物线的顶点向左平移2个单位长度后为（-1,2），所以所得抛物线的解析式为，即y＝x2+2x＋3
故答案为：y＝x2+2x＋3．
【点拨】本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平移．
16．．
【分析】设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
解：设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得（舍去）或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案是：．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
17．．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
解：∵，，，，
∴，，
由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a