专题14 对数函数概念及图像应用归类-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

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专题14 对数函数概念及图像应用归类

目录
【题型一】换底公式应用 2
【题型二】对数式恒等变形 2
【题型三】对数函数图像 3
【题型四】对数函数奇偶性“识图” 4
【题型五】复合型对数函数单调性 5
【题型六】对数函数定义域R值域R型 5
【题型七】解对数方程 6
【题型八】解对数不等式 6
【题型九】指对函数：原函数与反函数 6
【题型十】指数函数与对数函数对称性 7
培优第一阶——基础过关练 7
培优第二阶——能力提升练 9
培优第三阶——培优拔尖练 9


综述
1.（1）对数的概念
一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）对数的基本性质
①当，且时，
②负数和0没有对数．
③特殊值：1的对数是0，即0（，且）；底数的对数是1，即（，且）．
（3）常用对数与自然对数
名称
定义
记法
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
lg
自然对数
以无理数为底的对数称为自然对数
ln


2.对数运算公式
(a>0且a≠1，M>0，N>0)
(1)指对互化： x＝logbN .
(2)对数的运算法则：
①loga(MN)＝logaM＋logaN
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；
④logamMn＝logaM．
(3) 对数的性质：
①a＝ N ；
②logaaN＝ N (a>0且a≠1)．
(4)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝；
②换底推广：logab＝ ， logab·logbc·logcd＝logad.


【题型一】换底公式应用
【典例分析】
已知，，则的值不可能是（    ）
A． B． C． D．

【变式训练】
1.已知，，则_________．（用a，b表示）

2.已知，，则用a，b表示的值为______.

3.已知，，则可以用，表示为___________.
【题型二】对数式恒等变形
【典例分析】
设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．

【变式训练】
1.若，，均为正数，且，与最接近的整数为__________.

2..若正数a、b满足，则的值为（    ）
A． B． C． D．

3.已知，，，则下列说法错误的是（    ）
A． B． C． D．
【题型三】对数函数图像
【典例分析】
以下条件，①；②；③；④；⑤，；⑥，.能够使得：成立的有________.


【变式训练】
1.．已知图中曲线分别是函数，，，的图像，则的大小关系是（    ）

A． B．
C． D．


2.函数的图象大致为（　　）
A．B．C． D．
3.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，


【题型四】对数函数奇偶性“识图”
【典例分析】
函数的图象大致为（    ）
A．B．C． D．


【变式训练】
1.函数的部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．

2.函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．

3.函数的部分图象大致为（    ）
A．B．C． D．
【题型五】复合型对数函数单调性
【典例分析】
已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________


【变式训练】
1.若函数在是增函数,则实数的取值范围是___________．

2.若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________．

3..已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【题型六】对数函数定义域R值域R型
【典例分析】
当时，函数的值域为，则的最大值为__________.


【变式训练】
1.若函数有最小值，则a的取值范围为______．

2.已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________.

3.已知函数的值域为R，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．
【题型七】解对数方程
【典例分析】
甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（    ）
A． B． C． D．

【变式训练】
1.已知函数，若，则实数=______.

2.若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____．

3.已知函数,则方程的解为____________．


【题型八】解对数不等式
【典例分析】
若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．


【变式训练】
1.不等式的解集为__________.

2.已知函数，则满足的x的取值范围是________．

3.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________.


【题型九】指对函数：原函数与反函数
【典例分析】
函数的反函数是（    ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1.设函数的反函数为，则函数的图像是（    ）
A．B．C． D．

2.函数的反函数___________．

3.设函数存在反函数，且函数的图象过点．则函数的图象一定过点___________．
【题型十】指数函数与对数函数对称性
【典例分析】
设分别是方程 和的根（其中）, 则 的取值范围是
A． B． C． D．


【变式训练】
1.分别是关于的方程和的根，则________.

2.，分别是关于的方程和的根，则_____.

3.已知实数满足，满足，则___________.



分阶培优练

培优第一阶——基础过关练
1．设，那么m等于（    ）
A． B．9 C．18 D．27

2．设，，都是正数，且，那么（    ）
A． B． C． D．


3．设命题甲为，命题乙为．那么（    ）
A．甲是乙的充分条件．但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

4．函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．

5．方程＝的解是（    ）
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9

6．函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．

7．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．


8．函数的反函数是（    ）
A． B．
C． D．

9．若定义在区间内的函数满足，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

10．设，函数的反函数和的反函数的图象关于（    ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．对称 D．原点对称



培优第二阶——能力提升练
1．函数的反函数的图象与y轴交于点（如图所示），则方程在上的根是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．已知是周期为2的奇函数，当时，设，（    ）
A． B．
C． D．

3．函数y＝的定义域是（    ）
A．[－，－1)∪(1，] B．[－，－1)∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1，2] D．(－2，－1)∪(1，2)

4．设函数的反函数为，且的图像过点，则的图象必过点（    ）
A． B． C． D．

5．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则
A． B． C． D．

6．若为函数的反函数，则的值域是__________．

7．设函数f(x)=ln，则函数g(x)= f()+ f()的定义域_____________.


8．设为，的反函数，则的最大值为________．

9．已知，若则的范围是 _____________________.

10．方程的解为________．
培优第三阶——培优拔尖练
1．方程的实数解为____．
2．定义“正对数”：，现有四个命题：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
其中的真命题有：____________ （写出所有真命题的编号）


3．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．


4．方程的解______.

5．不等式的解集为________．

6．记的反函数为，则方程的解___________．


7．方程的解为___________.

8．设函数则满足的x的取值范围是____________.

9．已知函数，若，则________．

10．对于函数定义域中任意的，有如下结论：
①；
②；
③；
④
当时，上述结论中正确结论的序号是________．