专题16 函数零点归类-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

这是一份专题16 函数零点归类-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册），文件包含专题16函数零点归类-高一数学热点题型归纳与分阶培优练人教A版必修第一册解析版docx、专题16函数零点归类-高一数学热点题型归纳与分阶培优练人教A版必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

 专题16 函数零点归类

目录
【题型一】零点与二分法 1
【题型二】二次型零点：根的分布 3
【题型三】二次函数技巧：切线型 5
【题型四】利用中心对称求零点 9
【题型五】利用轴对称求零点 11
【题型六】利用周期求零点 14
【题型七】水平线法求零点 18
【题型八】分参法：对数函数与水平线法 21
【题型九】内外复合型函数零点 24
【题型十】复合“一元二次型”零点 28
【题型十一】“镜像”函数求零点 31
培优第一阶——基础过关练 34
培优第二阶——能力提升练 38
培优第三阶——培优拔尖练 44






【题型一】零点与二分法
【典例分析】
已知函数的零点位于区间内，则整数（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.

【提分秘籍】
基本规律
基本规律
二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
①确定零点的初始区间，验证．
②求区间的中点c．
③计算，并进一步确定零点所在的区间：
a．若（此时），则c就是函数的零点．
b．若（此时），则令b．
c．若（此时，则令a．
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．

【变式训练】
1.函数的零点所在的区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理求解即可
【详解】函数在 上单调递增，且在上连续.
因为，，
所以，所以函数的零点所在的区间是.故选：B
2.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（    ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【答案】C
【分析】根据二分法的定义计算可得；
【详解】解：因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；故选：C
3.函数的一个零点所在的区间是（    ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，3.5) D．(3.5，4)
【答案】A
【分析】结合函数的单调性与零点的存在性定理判断即可；
【详解】解：因为函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，因为，，
所以，函数只有一个零点，且位于区间内.故选：A．

【题型二】二次型零点：根的分布
【典例分析】
若且，：二次函数有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必要性的定义进行求解即可.
【详解】设的一个根大于零，另一根小于零，则，解得，
因为命题：若，则的逆否命题为：若，则，
由是的真子集，因此是的必要不充分条件．故选：B．

【提分秘籍】
基本规律
根的分布
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
如果是“0”分布，可以用韦达定理


【变式训练】
1.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.
【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.故选：D.
2.函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可.
【详解】令，
因为，
所以函数图象与轴有两个交点，
因为函数在上存在零点，且函数图象连续，
所以，或，所以，或，解得或故选：B
3.已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据解析式，讨论、结合二次函数性质研究函数的零点情况，判断符合条件的m范围.
【详解】①当时，由，得，符合题意．
②当时，
由，得，此时，解得，符合题意；
由，得，此时设的两根分别为，，且，
若，则，，即，，符合题意，
若，则，，即，，符合题意．
综上，，即实数的取值范围为．故选：B

【题型三】二次函数技巧：切线型
【典例分析】
已知函数有4个零点，则k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数零点问题转化为曲线与直线的交点问题，如图分析临界直线，可得的取值范围.
【详解】,即，函数表示恒过点的直线，如图画出函数，以及的图象，

如图，有两个临界值，一个是直线过点，此时直线的斜率，另一个临界值是直线与相切时，联立方程得，，解得：，或，
当时，切点是如图，满足条件，当时，切点是不成立，所以，
如图，曲线与直线有4个交点时，的取值范围是.故选：B

【提分秘籍】
基本规律
一元二次函数的切线，可以通过设一次函数切线方程，待定系数，联立方程判别式为零

【变式训练】
1.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】问题转化为函数的图象与直线有三个交点，作出函数图象和直线，求出图象中直线在位置时值，由图象得参数范围．
【详解】恰有三个零点，则有三个不同的实解，
即函数的图象与直线有三个交点，
如图，作出函数的图象，作直线，
平移直线到的位置，它与相切，此时，由，，（舍去），
又时，，即切点为，　由得，
平移直线到的位置，它与（）相切，此时，由得，，即切点为，由得，平移直线到的位置，它过原点，，，
由图象可知当或时的图象与直线有三个不同的交点．故选：A

2.设是定义域为的偶函数，且，当时， ，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知得函数的对称轴为，当时，所以，当时，所以， 令，得，将问题转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，利用一次函数与二次函数的位置关系，联立，运用根的判别式等于0，求解可得答案.
【详解】解：因为函数满足，所以函数的对称轴为，
又是定义域为的偶函数，当时， ，
所以当时，，且，
所以当时，所以，
当时，所以，
令，得，
则将函数有3个不同的零点，转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，
联立，整理得，则，解得（舍去），
联立，整理得，则，解得（舍去），
所以要使与有3个交点，所以，
故选：A.

3.已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的零点和图象的平移即可求解.
【详解】设，，
则a，b是的两个零点；
函数的图象可以看成图象向下平移2个单位得到，且，，
如图所示：
故选：B.

【题型四】利用中心对称求零点
【典例分析】
已知函数图象的对称中心为，则的零点个数为（    ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【分析】先证明为奇函数，结合条件求，，再利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定函数的零点个数.
【详解】因为，所以，即，所以，即，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以图象的对称中心为，则， ，故，则，则在上单调递减，因为，，所以在上存在1个零点.因为，，所以在上存在1个零点，因为，，所以在上存在1个零点，当时，，，，所以恒成立，所以函数在上没有零点，故的零点个数为3，
故选：D.

【提分秘籍】
基本规律
1.利用函数的中心对称点在x轴上性质，可以知道零点关于中心对称点左右对称。
要注意对称中心点是否也是函数的零点
对称中心的基础性质：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.

【变式训练】
1.定义在上的函数满足在上单调递增，，且图像关于点对称，则下列选项正确的是（    ）
A．周期 B．
C．在上单调 D．函数在上可能有2023个零点
【答案】C
【分析】由，且图像关于点对称，得到的周期为4，结合满足在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可.
【详解】所以的对称轴为，且，又图像关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，故A错误.
根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；
函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图像关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；
对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.
故选：C.
2.定义域在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点的和是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数与直线的图像，利用数形结合即可求得所有零点之和.
【详解】由题意可知：函数的零点，等价于函数与直线的交点的横坐标，
作函数与直线的图象如下：

结合图象，设函数的零点分别为，
则由对称性可知：，又有：，解得：，
故，故选：D
3.函数的所有零点之和为（    ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】结合函数的对称性求得正确答案.
【详解】令，得，图象关于对称，在上递减.
，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增，
所以与有两个交点，两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
【题型五】利用轴对称求零点
【典例分析】
已知函数有唯一零点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数变形，换元后得到，研究得到为偶函数，由有唯一零点，得到函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出.
【详解】有零点，则，
令，则上式可化为，因为恒成立，所以，
令，则，故为偶函数，
因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点，
结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故.故选：D

【提分秘籍】
基本规律
.利用函数的对称轴垂直于x轴的性质，可以知道零点关于对称轴左右对称。
要注意对称对称轴与x轴交点是否也是函数的零点
对称轴的基础性质：
①f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称；
②f(2a－x)＝f(x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称
【变式训练】
1.已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（    ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题可得，又为偶函数，且在上单调递增，再结合零点存在定理即可判断.
【详解】由题意得，，
令，定义域为R，可知，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称，故①正确；
∵，函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，
∴在上单调递增，
∴函数在上单调递增，故②错误；
由①②可知，函数在上单调递减，在上单调递增，∴，
又，，
函数有两个零点，故③正确．
综上，正确说法的个数为2.
故选：C．
2.已知函数有唯一零点，则实数（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设，由函数奇偶性定义得到为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，由零点唯一性得到，求出的值.
【详解】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，∴，即．故选：D．
3.已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值.
【详解】由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：C

【题型六】利用周期求零点
【典例分析】
定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（    ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】B
【分析】根据分析得到是周期为4的周期函数，且关于点对称，函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和，画出函数图象，数形结合求出答案.
【详解】依题意，是奇函数.又由知，的图像关于对称.

，
所以是周期为4的周期函数.
，
所以关于点对称.
由于
从而函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和.
而函数的图像也关于点对称.
画出，的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数所有零点和为.

故选：B

【提分秘籍】
基本规律
周期的概念在第五章三角函数中才有详细的学习，但是可以在函数的学习过程中提前引入，并借助周期来解决一些函数图像画草图的应用。
常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.

【变式训练】
1.定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得.
【详解】因为定义在R上的函数满足，
所以，即是周期为2的函数，
由，可得，
因为在区间上函数恰有4个不同的零点，
所以函数与的图象在区间上有4个交点，
作出函数与的大致图象，

由图象可知，解得，即实数m的取值范围为.故选：D.
2.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；

当时，由图可得，解得．
综上可得.故选：C．
3.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.
【详解】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：

观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选：D.
4.已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由题意可得函数的周期为，令可知当时，有两个零点，又因为，即可得出在上的零点个数.
【详解】因为函数满足，所以，
所以函数的周期为，当时，，
令，解得：或或（舍去），
所以当时，有两个零点，
所以在上的零点个数为，
又因为，所以在上的零点个数为个.
故选：D.

【题型七】水平线法求零点
【典例分析】
设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导得出的单调性，进而画出的图象，将题设转化为函数与有两个交点，结合图象求出实数的取值范围即可.
【详解】当时，函数单调递增；当时，，则时，，
所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图：

因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时
函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.
故选：D.


【提分秘籍】
基本规律
水平线法求交点，要注意一些函数有水平渐近线，如指数函数，反比例函数及平移后的反比例函数

【变式训练】
1.已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.
【详解】由题意，与有2个交点，当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：
由图知：时，有2个零点.故选：A
2.已知函数，若函数恰有两个零点则实数的取值范围是(    )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令g(x)=0得，作出h(x)图象，数形结合判断y=h(x)与y=a图象有两个交点时a的范围即可．
【详解】，
令，
则，
作出h(x)的图象：

如图y=h(x)与y=a的图象有两个交点时，，故选：A．
3.已知函数，则“”是“函数有两个零点”的(    )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】作出f(x)的图像，函数有两个零点，即y＝f(x)图像与y＝1图像有两个交点，数形结合即可求出k的范围，根据充分条件和必要条件的概念即可判断正确选项．
【详解】f(x)的图像如图所示，

函数有两个零点，即y＝f(x)j图像与y＝1图像有两个交点，
由图可知，，即0 ∴“”是“函数有两个零点”的必要不充分条件．
故选：B．
【题型八】分参法：对数函数与水平线法
【典例分析】
已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将问题转化为函数与的图像有4个不同的交点，进而作出函数与图像，结合函数的对称性数形结合求解即可.
【详解】解：因为函数恰好有4个不同的零点，
所以函数与的图像有4个不同的交点，交点横坐标为，
所以，根据题意，作出函数与图像如图所示，
因为，
所以，，，因为，
所以，所以，
所以，因为，
所以所以，的取值范围是.故选：B

【提分秘籍】
基本规律
对数绝对值
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”



【变式训练】
1.
已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.
【详解】解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，故选：A
2.已知有两个不同零点a，b，则下列结论成立的是（    ）
A．最小值为2 B．最小值为2
C．最小值为4 D．最小值为1
【答案】C
【分析】结合的单调性可得，且，进而利用基本不等式的性质对选项逐一分析，即可得到答案.
【详解】有两个不同的零点，
当时，单调递减；当时，单调递增；
，即，
不妨设，则，
解得，
，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故A错误；
，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故B错误；
，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号成立，故C正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故D错误；
故选：C.
3.已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图象，利用函数有四个不同的交点求出，A错误；
根据二次函数的对称轴求出可判断D；
数形结合结合对数运算得到可判断B；
数形结合求出，解得，可判断C.
【详解】如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误；
这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确；
因为，即，所以，故B正确；
，即，所以，故C正确.
故选：A.

【题型九】内外复合型函数零点
【典例分析】
已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（    ）

A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解.
【详解】由题意，知函数的零点，即方程根.
令，，则.
当时，满足方程的有2个，此时有4个不同的实数根；
当时，满足方程的有1个，此时有2个不同的实数根.
综上可知方程共有6个实数根，即函数共有6个零点.
故选：D


【提分秘籍】
基本规律
内外复合函数求零点，一般情况下采取换元形式解决

【变式训练】
1.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则函数的零点为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先根据单调，结合已知条件求出的解析式，然后再进一步研究函数的零点．
【详解】解：因为是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，
故可设存在唯一的实数，使得，
则设，所以，所以，则，
由于函数在上单调递增，函数在上单调递减，又，所以，故再令，，得：，解得（负值舍去）．则函数的零点为.故选：A．
2.已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围.作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】
根据图像可得，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解.因为，最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足    解得
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足    解得.综上所述，的取值范围为或.故选：D.
3.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式研究、的函数性质，由零点个数知与的交点横坐标一个在上，另一个在上，数形结合可得，且，，进而可得代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.
【详解】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，
函数图象如下：

所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，
要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，
由开口向下且对称轴为，

由上图知：，此时且，，
结合图象及有，，则，
所以，且，
令且，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，故最大值为.故选：A


【题型十】复合“一元二次型”零点
【典例分析】
已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出的零点，数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答.
【详解】由得：或，因函数，由解得，
因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，
观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.故选：A

【提分秘籍】
基本规律
一元二次复合型函数求零点：
1.设t=f（x，换元。）
2.关于t的一元二次函数可以利用数形结合与根的分布解决。
【变式训练】
1.已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为方程有四个不等实根，令，可知有两个不等实根，结合与和有四个不同交点可得，由二次函数根的分布可构造不等式组求得结果.
【详解】有四个零点等价于方程有四个不等实根；
作出图象如下图所示，
令，则需有两个不等实根，
即，解得：；
要使有四个零点，则需与和有四个不同交点，
在图象中平移直线和，要使与和有四个不同交点，则需，，
，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.故选：A.
2.已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出的图像，结合函数有个零点，结合图像列不等式来求得的取值范围.
【详解】当时，是开口向下的二次函数，对称轴为，.
由解得或.
由此画出的图像如下图所示，
依题意，函数有个零点，令，则，
根据图像可知，函数在区间上有两个不相等的实数根，
则，解得，所以的取值范围是.故选：D
3.已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（    ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，根据对称性求和.
【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：
则函数的图象关于直线对称，
求函数的零点，等价于解，
由题意可得，方程存在两个不等的实数根，则或，，
根据函数的对称性，可得六个零点，分为三组关于直线对称，
所以这6个零点之和为，故选：B.

【题型十一】“镜像”函数求零点
【典例分析】
已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ）
A．8 B．32 C．0 D．
【答案】A
【分析】由已知可分析出函数是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故在上所有的零点的和为0,则函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和,求出上所有零点,可得答案.
【详解】函数是定义在上的奇函数,.又函数,
函数是偶函数,
函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.函数在上所有的零点的和为,
函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和.
由时,,故有函数在上的值域为,当且仅当时,.又当时,,函数在上的值域为,
函数在上的值域为,函数在上的值域为,当且仅当时,,
函数在上的值域为,当且仅当时,,
故在上恒成立,在上无零点,同理在上无零点,
依此类推,函数在无零点.综上函数在上的所有零点之和为8,
故选:
【变式训练】
1.已知若，则在内的零点个数为（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】画出以及的图像，直接由图像即可求得交点个数.
【详解】作出的图像，则在内的零点个数为曲线
与直线在内的交点个数9.

故选：B.
2.已知函数则函数在上的零点个数为（    ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】函数零点个数可转化为函数与的图象交点的个数，根据函数解析式作出函数图象，数形结合求解即可.
【详解】由可得，
故函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，
，
可将函数的定义域分段为，并且在上的图象是将在上图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的后得到，
作出与的图象，如图所示，

由图象可知，共有5个交点，故函数函数在上零点个数为5个，
故选：B
3.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知曲线与曲线有三个交点，分、两种情况讨论，数形结合可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】令，可得，
所以，曲线与曲线有三个交点，

当时，曲线与曲线只有一个交点，不合乎题意；
当时，若使得曲线与曲线有三个交点，
则，解得.故选：B.



分阶培优练

培优第一阶——基础过关练
1．函数的零点所在的区间可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】，，，，，
由，则函数的零点存在的区间可以是，
故选：B.
2．借助信息技术画出函数和（a为实数）的图象，当时图象如图所示，则函数的零点个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】由转化为与的图象交点个数来确定正确选项.
【详解】令，，
所以函数的零点个数即与的图象交点个数，
结合图象可知与的图象有个交点，
所以函数有个零点.故选：B
3．设函数则函数的零点个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】令函数，再分析解的个数即可．
【详解】由函数解析式，令，则：
当时，，解得或（舍）；
当时，，解得.
所以函数有2个零点.
故选：B
4．已知函数，则函数零点个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】当时和时，分别化简函数的解析式可直接判断零点的个数.
【详解】当时，，所以不存在零点；
当时，，也不存在零点，所以函数的零点个数为0.
故选：A.
5．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】函数有两个不同的零点，
即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：

所以，
故选：D.
6．已知函数.在下列区间中，包含零点的区间是（    ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】C
【分析】根据导数求出函数在区间上的单调性，然后判断零点区间.
【详解】解：根据题意可知和 在上是单调递减函数
在上单调递减。而
有函数的零点定理可知，零点的区间为.故选：C
7．若函数的图象在R上连续不断，且满足，，，则下列说法正确的是（    ）
A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理判断即可
【详解】因为函数的图象在R上连续不断，且满足，，，
所以由零点存在性定理可得在区间上至少有1个零点，在区间上可能有零点，
故选：C
8．若函数在区间上的图像是连续不断的曲线，且在内有一个零点，则的值（    ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【答案】D
【分析】由题意，分类讨论不同情况下的正负，从而得出不同的结论.
【详解】因为在区间上的图像是连续不断的曲线，且在内有一个零点，若（或），此时；若（或），此时；若（或），此时，所以的值不能确定.
故选：D
9．二次函数的两个零点都在区间内，则m的取值范围为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数零点分布，列不等式求解即可．
【详解】依题意可知，，解得，
故选：B．


培优第二阶——能力提升练
1．已知函数的5个零点分别为，则的值为（    ）
A．14 B．24 C．60 D．85
【答案】D
【分析】根据零点定义写出，再由多项式乘法法则确定的系数．
【详解】由题意知
所以

故选：D.
2．函数的零点个数为（   ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】将问题转化为函数与的图象交点的个数，进而作图判断即可.
【详解】解:函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，作图如图所示，

由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点
故选：C
3．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得出，可得出，令，可知关于的二次方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由可得，
在等式两边平方得，
令，可知方程有两个不等的正根、，
所以，，解得.
故选：A.
4．已知函数，则函数的零点个数是（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】设，即，解得或，即方程和的根的个数即为答案. 分和分别解出方程即可.
【详解】函数的零点，即方程的根.
设，
当时，，解得，即
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得，即
当时，，解得 (舍)
当时，，解得
所以函数有3个零点.
故选：B
5．已知函数，若函数，则下列结论正确的是（    ）
A．若没有零点，则
B．当时，恰有1个零点
C．当恰有2个零点时，的取值范围为
D．当恰有3个零点时，的取值范围为
【答案】D
【分析】作出的图象，令，可得或，分别讨论在、、、、、、、和情况下，和图象与图象交点个数，即可得零点个数，综合分析，即可得答案.
【详解】作出的图象，如图所示：

令，即，
可得或，即或，
当时，和均无解，此时无零点，
当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；
当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，
，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误；
综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.
故选：D
6．若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】画出函数的图象，观察图象即可得到答案.
【详解】如图所示，画出函数的图象.

结合图象可知，
故答案为：.
7．已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】由可得出或，数形结合可得出方程、的根的个数，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】，
令，可得或.
作出函数的图象如下图所示：

由图可知，直线与函数的图象只有一个交点，
所以，直线与函数的图象有三个交点，所以，，解得.
故答案为：.
8．已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为，，，，且，则的值为___________.
【答案】8
【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对称性得到，结合的解析式和图象可得，，然后求即可.
【详解】
函数的零点可以看做与图象交点的横坐标，和的图象如上图所示，
根据二次函数的对称性得到，
由图可知，，，则，所以.
故答案为：8.
9．已知函数则函数的所有零点之积等于__．
【答案】
【分析】由题意，表示出函数解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.
【详解】求函数的所有零点，则等价于求方程的根，
当时，，则，解得；
当且时，，则，
，可得，，即，，
解得或或或；
当时，，，不符合题意.
综上，，
故答案为：.
10．已知函数有3个零点，则a的取值范围是______.
【答案】［0，1）
【分析】求出和的零点，结合图象即可得出答案.
【详解】有2个零点和，
有1个零点，
由图可得当时，有3个零点.

故答案为：［0，1）.


培优第三阶——培优拔尖练
1．已知函数，当时，函数有6个不同的零点，求m的取值范围___________.
【答案】
【分析】数形结合，设，分情况讨论有2根和3根的情况，再分析的取值范围情况即可
【详解】画出如图所示，最左端纵坐标，当时，有，解得；，解得.
设，若有6个不同的零点， 则
①若有2个解，则
但有2个解时，此时显然，不满足；

②若有3个解，则，设，则，故，，，即，，，此时因为则必有2根，必有1根，则必须有3根，故，则，故，故故答案为：
2．定义在上的奇函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【分析】判断出的对称性、周期性，画出的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】解：依题意，定义在R上的奇函数满足，
，所以关于对称，

，所以是周期为的周期函数.
，
所以关于点对称.
由于函数关于原点对称，图象可以由图象向右平移个单位得到，
所以函数关于对称，
画出，的图象如下图所示，
由图可知，，有个公共点，
所以的所有零点和为.
故答案为：

3．定义在R上的奇函数f（x）满足，且当时，．则函数的所有零点之和为______．
【答案】
【分析】判断出的对称性、周期性，画出的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】依题意，定义在R上的奇函数f（x）满足，
，所以关于对称，

，所以是周期为的周期函数.
，所以关于点对称.
关于点对称.
当时，，
画出的图象如下图所示，
由图可知，有个公共点，
所以的所有零点和为.故答案为：
4．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
【答案】10
【分析】分析函数的性质，函数的零点个数转化为函数与图象的交点个数求解作答.
【详解】因为，则有，即函数是R上以2为周期的周期函数，
令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，如图：

观察图象得：函数与在上的图象有10个交点，
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10
5．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.
【答案】10
【分析】根据，可得函数是以2为周期的周期函数，函数在区间内的零点的个数即为函数交点的个数，作出两个函数的图像，结合图像即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
所以函数是以2为周期的周期函数，令，则，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，
由图可知函数有10个交点，所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10.
6．已知函数有3个零点，则实数m的取值范围为______．
【答案】[0,1)##0≤m＜1
【分析】根据m的范围分类讨论f(x)的零点即可.
【详解】①m＝0时，fx=x2+3x,x≤0,x-1,x>0，令f(x)＝0，则x＝0或x＝－3或x＝1，即f(x)有三个零点，满足题意；
②m≠0时，令f(x)＝0，
则x＞0时，，则(*)，
x≤0时，(**)，
显然x≤0时的方程(**)最多有两个负根，而x＞0时的方程(*)最多只有一正根，
为了满足题意，则x＞0时必有1根，则1－m＞0，且根为x＝，∴m＜1；
x≤0时方程必然有两个负根，则，
∴0＜m＜1；综上所述，m∈.故答案为：.
7．已知函数，给出下列四个命题：（1）在定义域内是减函数；（2）是非奇非偶函数；（3）的图象关于直线对称；（4）是偶函数且有唯一一个零点.其中真命题有___________.
【答案】（1）（4）
【分析】根据复合函数单调性可判断（1）；由奇偶性定义可判断（2）；取特值可排除（3）；由奇偶性和单调性可判断（4）.
【详解】函数可看成函数与函数的复合函数，
（1）函数在R上是增函数，函数在上是减函数，故在定义域内是减函数，真命题；
（2），且，故是奇函数，假命题；
（3），，若，则，假命题；
（4）是奇函数，则是偶函数，且当时，在上是增函数，故，函数有唯一一个零点0，真命题.
故答案为：（1）（4）
8．已知函数在上单调递增，且对于任意的实数都有成立，若的零点所在的区间是，则整数的值为______．
【答案】1
【分析】根据题意，求得，再根据零点存在定理判断函数的零点所在的区间，即可求得.
【详解】因为函数在上单调递增，且对于任意的实数都有成立，
故可得为常数，即，又，
故，解得，故，则，
因为都是上的单调增函数，故可得也是上的单调增函数，
又当时，，当时，，故其零点在在区间，
故整数.
故答案为：.