专题07 复数（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册

 复数（公式、定理、结论图表）

1．复数的有关概念

(1)复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．

(2)复数的分类

复数z＝a＋bi(a，b∈R)

(3)复数相等

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

<常用结论>

1．三个易误点

(1)两个虚数不能比较大小．

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．

2．复数代数运算中常用的三个结论

在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．

(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

<解题方法与技巧>

一、解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部。

典例1：设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C.因为复数a＋＝a－bi为纯虚数，所以a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0.所以“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件，故选C.

典例2：已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝　(　　)

A．－5  B．－1 

C．－  D．－

解析：选D.z＝＋i＝＋i＝＋i，因为复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－＝，

解得a＝－.故选D.

典例3：已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)

A．－3－i  B．－3＋i 

C．3＋i  D．3－i

解析：选C.由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，

所以＝3＋i，故选C.

典例4：已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．

解析：因为＝＝为实数，所以a＋2＝0，即a＝－2.

答案：－2

二、复数的几何意义及应用

(1)复数z与复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　

典例5：设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1  B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1  D．x2＋(y＋1)2＝1

解析：选C.通解：因为z在复平面内对应的点为(x，y)，

所以z＝x＋yi(x，y∈R)．

因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，

所以x2＋(y－1)2＝1.故选C.

优解一：因为|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C.

优解二：在复平面内，点(1，1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1，1)不在选项A，D的圆上，所以排除A，D；在复平面内，点(0，2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0，2)不在选项B的圆上，所以排除B.故选C.