专题14 数列（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册

这是一份专题14 数列（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册，共13页。试卷主要包含了定义， 前n项和公式法等内容，欢迎下载使用。

 数列（公式、定理、结论图表）



一．数列的概念：
1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.
3．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性
二、等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示：
2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．
通项公式的变形：①；②．
通项公式特点：
是数列成等差数列的充要条件。
3、等差中项
若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列
4、等差数列的基本性质
（1）。
（2）
（3）
5、等差数列的前项和的公式
公式：①；②．
公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，
（其中，）．
③，，成等差数列．
6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：是等差数列
②中项法：是等差数列
③通项公式法：是等差数列
④前项和公式法：是等差数列
三、等比数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
2、通项公式
（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．
（2）、通项公式的变形：①；②．
3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。
4、等比数列性质
若是等比数列，且（、、、），则；
若是等比数列，且（、、），则．
5、等比数列的前项和的公式：
（1）公式：．
（2）公式特点：
（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．
②．③，，成等比数列（）．
6、等比数列判定方法：
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；
④前项和法：为等比数列。
四、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列
等比数列
定义
(为常数,)

递推
公式


通项
公式
或
（）或
中项
成等差数列的充要条件：
成等比数列的充要条件：
前

项
和
①；


重
要
性
质
①
②等和性：若（、、、），
则
③若（、、），则．
④构成等差数列.
①
②等积性：若（、、、），
则
③若（、、），则
④构成的数列是等比数列.
单
调
性：
设d为等差数列的公差，则
d>0是递增数列；
d<0是递减数列；
d=0是常数数列.
递增数列；
递减数列；
q=1是常数数列；
q<0是摆动数列
证
明
方
法
证明一个数列为等差数列的方法：
1.定义法　
2.中项法　
3. 通项公式法：（为常数）
4. 前n项和公式法：（A,B为常数）
证明一个数列为等比数列的方法：
1.定义法　
2.中项法　
3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数)
4. 前n项和公式法：()
设元
技巧
三数等差：
四数等差：
三数等比：
四数等比：
<解题方法与技巧>
1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.
2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：
（一）公式法
①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
③数列前项和重要公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）等差数列中，；
（6）等比数列中，.
(一)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(三)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
常见的裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
②根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
③指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）

④对数型

⑤幂型
（1）
（2）
（3）
⑥三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
⑦常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）

；
（9）
；
（10）．
（11）．
(四)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤

(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；
②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．　
(五)倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
典例1：等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
【解析】(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
解得
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n.
典例2：数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列．
【证明】　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2
＝4an＋1－4an.
＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以－＝3.
所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，
所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
典例3：已知数列{an}是递增的等差数列，a2＝3，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn；
(3)若cn＝，设数列{cn}的前n项和为Tn，求满足Tn>的n的最小值．
【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)．
由得解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)由(1)得：bn＝an＋2n＝2n－1＋2n，
则Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋2＋22＋23＋…＋2n＝＋＝n2＋2n＋1－2，
∴Sn＝n2＋2n＋1－2.
(3)由(1)得：cn＝＝＝－，
∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝.
由>得n>12.
又∵n∈N*，∴n的最小值为13.