数学人教版9年级下册第28单元精准教学★★★★★题库

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数学人教版9年级上册
第28单元精准教学★★★★★题库
一、单选题
1．如图，经过的顶点C，与边，分别交于点D，E，与边相切．若，，且线段长度的最小值是，则边的长是（    ）
  
A．4 B．2 C． D．
2．在中，，点O是斜边边上一点，以O为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点D，连接．若，的半径为3，则的长度为（　　）

A． B． C．3 D．
3．如图，在中，，，，则的周长等于（    ）

A． B． C． D．
4．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．
5．如图，中，， 点和点分别在上，若、、，，则的长度为（　　）

A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.8
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数（，）的图像交于A、B两点，与x轴交于C点，若，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．
7．如图，小明在地面C处测得建筑物顶点A的仰角为，在地面D处测得建筑物顶点A的仰角为，点B，D，C在一条直线上，已知米，则该建筑物的高度为（    ）

A．米 B．米 C．26米 D．米
8．如图，在扇形中，，，点在上，连接，点在上，且点，关于直线对称，连接，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB“矢”等于半径长与圆心О到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则（    ）

A． B． C． D．
10．如图，矩形纸片，，，点、分别在、上，把纸片按如图所示的方式沿折叠，点、的对应点分别为、，连接并延长交线段于点，为线段中点，则线段的长为（　　）

A．3 B．3.5 C． D．
11．如图，将矩形绕点B顺时针旋转至矩形，点C的旋转路径为，若，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（    ）．

A． B． C． D．
13．如图，在矩形中，，，以为直径作，E为的中点，交于F，连，则的长为（    ）

A． B．3 C． D．
14．如图，已知圆的半径为，锐角三角形内接于圆，于点，于点，则（　　）

A． B． C． D．
15．如图，点O为的边上的一点，经过点B且恰好与边相切于点C，若，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
16．已知：如图，在正方形外取点E，连接．过点的垂线交于点P，且．若，则的值（　　）

A． B． C． D．
17．如图，一个钟摆的摆长为米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为（    ）

A．米 B．米
C．米 D．米
18．如图，一块矩形木板斜靠在墙边（，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（   ）

A． B．
C． D．
19．如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最大值为（    ）

A．3 B． C． D．
20．小明喜欢构建几何图形，利用数形结合的思想解决代数问题．在计算时，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以，类比小明的方法，计算的值为（    ）

A． B． C． D．
21．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
22．如图，是等腰三角形底边上一点，圆交于点，与相切于点，，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
23．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（　　）

A． B．5 C． D．
24．如图，在五边形中，，且，，，下列结论：①；②；③五边形的面积为，其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
25．如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为（    ）

A． B． C．5 D．
26．如图，为直径，内接于，为内心，交圆于D，且于I，则的值为（    ）

A． B． C． D．
27．如图，等腰直角三角形ABC两腰与圆相切，底边BC过圆心O点，⊙O的半径为1，则线段BD的长为（    ）

A． B． C． D．
28．如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，，两点的距离为（    ）

A． B． C． D．
29．如图，正方形的面积为12，点E在边上，且，的平分线交于点F，点M，N分别是，的中点，则的长为（    ）

A． B． C． D．
30．如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
31．如图，小华站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，在点O处测得小山顶端A的仰角为，小山顶端A在水中倒影的俯角为．点O到湖面的距离，则小山的高度是______m．（结果取整数，参考数据：）
  
32．已知：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，那么的值是______________ .
  
33．将按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转至的位置，点A的坐标为，则的值为________

34．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为_______
  
35．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为，已知米，山坡坡度为，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为 _____米．
  
36．在中，若，则的度数是________
37．如图，在菱形中，，过点D作于点E，且点E恰好为的中点，则______．

38．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D．若，，则_____．

39．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为，荷塘的另一端点D与点C，B在同一直线上．已知楼房的高米，米，则该荷塘的宽为____米．（参考数据：，，，结果精确到）

40．如图，在圆内接正六边形中，，交于点，已知，则的长为______．

三、解答题
41．如图，已知是的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，过点B作于点H．

(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求的长．
42．乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，连接，，且，．

(1)求证：；
(2)若弓形的高为，，且，求的长．
43．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为．

(1)求坡顶到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
44．某地为庆祝2023年元旦来临，在银杏广场举行无人机表演，点D、E处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面的距离为．此时，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的仰角为．求两架无人机之间的距离的长．
  
45．如图，小明家所在的楼房后面新建了一栋写字楼，某日，小明出去散步，当走到Q点时，恰好只能看到写字楼的顶端A，此时的仰角，当他继续向前走到达点N处时，此时观察到写字楼的顶端A的仰角，自己住的楼顶端C的仰角．求写字楼与小明家所在的楼之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，．）

46．如图，四边形内接于，为直径，，过点C作于点E，交的延长线于点H，连接交于点G．

(1)求证：是的切线：
(2)若点D为的中点，求证：；
(3)若，，求的长．
47．如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为海里．一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向，请求出码头A与小岛C的距离是多少海里（结果保留根号）．

48．如图，某测量队采用无人机技术测量无法直达的A，B两处的直线距离，已知在无人机的镜头O处测得A、B的俯角分别为和，无人机的飞行高度为米，点A、B、C在同一直线上，求的长度（结果保留整数，参考数据：，）．

49．如图，在四边形中，，，求的长．

50．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面 的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼与之间的距离 的长.（结果精确到.参考数据：，，，）．

51．如图1是座古塔，某数学小组用如图2的方式测量古塔的高度，在处用测角仪测得古塔顶端的仰角为，沿方向前进到达处，又测得古塔顶端的仰角为．已知测角仪的高度，测量点，与古塔的底部在同一水平线上，延长交于点．求古塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，）

52．如图， 是 的切线， 为切点， 是 的弦，过 作 于点 ．若 ．求：

(1) 的半径；
(2) 的值；
(3)弦 的长（结果保留两个有效数字）．
53．如图1，已知点O在四边形的边上，且，平分，与交于点G，分别与、交于点E、F．
  
(1)求证：；
(2)如图2，若，求的值；
(3)当四边形的周长取最大值时，求的值．
54．已知中，，，点是线段上的动点（点不与点和点重合），点在线段上，线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上．

(1)如图1，若，请直接写出线段和的数量关系；
(2)如图2，若与不平行．
①请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
②连接，若，，请直接写出线段的长．
55．利用“平行+垂直”作延长线或借助“平行+角平分线”构造等腰三角形是我们解决几何问题的常用方法，

(1)发现：如图1，，平分，求证：是等腰三角形．
(2)探究：如图2，，平分，于D，若，求．
(3)应用：如图3，在中，点E在上，且平分，过点E作交的延长线于点F，交于点M，若，，，求的长．
56．在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合），连接．
  
将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形：
(1)求的度数；
(2)探究线段之间的数量关系，并加以证明；
(3)将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，若，当时，请写出的最小值．
57．如图1，已知内接于，为的直径，，，点是半圆上的一个动点，过点作交直径于点．

(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求；
(3)如图3，连接交于点，若，
①求的长；
②直接写出的值为______．
58．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．

(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）
(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
59．如图，是的直径，点C是外一点，点D在上，且，连接交于点E．过点E作于点H，交于点G，交于点F，且．

(1)猜想与的位置关系，并证明；
(2)连接，若，，求的长和的半径．
60．在正方形中，点M是边的中点，点E在线段上（不与点A重合），点F在边上，且，连接，以为边在正方形内作正方形．

(1)如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形的面积．
(2)如图2，已知直线分别与边交于点I，J，射线与射线交于点K，
①求证：；
②设，和的面积分别为．求：的值．

参考答案
1．A
2．B
3．C
4．C
5．A
6．A
7．B
8．B
9．D
10．A
11．D
12．D
13．A
14．A
15．D
16．A
17．A
18．D
19．D
20．C
21．C
22．D
23．A
24．B
25．D
26．B
27．A
28．C
29．A
30．C
31．15
32．
33．
34．
35．
36．
37．/
38．2
39．
40．2
41．（1）证明：连接，

∵切于C，
∴半径，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴BC=102，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的长是2．
42．（1）证明：如图，延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，
∵直线与圆O相切于点G，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：如图，连接，设与交于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，弓形高，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．

43．（1）解：过点作，垂足为，

斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，

由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
44．解：延长交于，
点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，
，
设，，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
．
  
45．解：如图，过点P作于点E，交于点F．

设，
∵，
∴，．
根据题意可得，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，即．
∵，
∴，
∴，
∴．
答：写字楼与小明家所在的楼之间的距离为．
46．（1）证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
是的切线；
（2）证明：如图，连接，

又，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
；
（3）解：如图，延长交于点，

是的直径，，
，
，
，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
在中，，
．
47．解：过C作交的延长线于D，则，

由题意得：，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设海里，则海里，
在中，
，
∴（海里），
∵，
∴，
解得：，
∴，
即海里，
答：码头A与小岛C的距离是海里．
48．解：由题意可得，，，
在中，，
∴，
∴米，
在中，，
，
解得，
∴（米）．
答：的长度为米．
49．解：如图，延长与交于点E．
在中， ，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴在中，，
∴设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：（负值舍去），
∴
∴，即的长为．

50．解：如图：延长、分别与直线交于点和点.

则 ，        
在中， ，
，        
是的一个外角，
，
，
，
在中， ，
，        
，    
楼与之间的距离的长约为．
51．如图，延长交于点，则，

设．
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴．
答：古塔的高度约为．
52．（1）解： 是 的切线，
，
在中，，
，，
．
故答案为：5.
（2）解：，
．
，，
在中，．
故答案为：．
（3）解：，
，
在中，，
．
．
故答案为：．
53．（1）∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，，，，，
  
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴A、B、C、D都在以O为圆心，以5为半径的上，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
  
∴
∴
解得；
∵，
∴，
∴，
∴四边形的周长，
∵，
∴四边形的周长有最大值，且当时，取得，
∴，
∴是等边三角形，
∴
根据（2），得，
∴．
54．（1）解：∵中，，，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上，
∴，，则 ，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）①
证明：过点作，垂足为点，

，
，
，
，
，
，，
，
，
，

在中，
，
，
②如图所示，过点作于点，

设，则，,，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
55．（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：如图2，延长、交于点，

平分，
，
，
，
又，
，
，，
，
点是的中点，
；
（3）解：如图3，延长、交于点，连接，过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
同（1）得：，
，
在中，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：（负值已舍去），
，
设，则，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
56．（1）解：如图1，
  
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴点A、E、C、F共圆，
∴；
（2）解：如图2，
  
，理由如下：
在上截取，作于H，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，将绕点A顺时针旋转至，连接NE，连接，
  
则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当N、E、C三点共线时最小，
在等腰直角中：，
∴的最小值为．
57．（1）证明：如图所示，延长交于点，

∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，延长交于点，

∵为的直径，，，
∴，设，则
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①由（1）可知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
∴，
故答案为：．
58．（1）解：如图：过点C作轴于点D，

由题意可知，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
即，，

，
故监测点O到C船的距离为；
（2）解：如图：过点C作正北方向线，过圆的圆心作轴于点E，交正北方向线于点F，交圆于点M，

四边形是矩形，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
可疑船只不会闯入安全警戒区域．
59．（1）解：与相切，证明如下：
∵，，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于点H，
∴，
∴，
∴，
又∵是的直径，
∴与相切，

（2）解：连接，，
∵在中，，
又∵在中，
∴，
∴，
∴，则，
∵在中于点H，

∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴在中，
∵是的直径，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
60．（1）∵，点M是边的中点，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴正方形的面积为；
（2）解：①由题意知，
∴．
∵四边形EFGH是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴；
②由①得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则，，，
∴，，
∴，，
∴．