高考数学一轮复习课时跟踪检测12 函数模型及其应用 含解析

课时跟踪检测（十二） 函数模型及其应用

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．

解析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，

则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20

＝－10x2＋80x＋180

＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．

所以当x＝4时，ymax＝340.

即单价为10元/件，利润最大．

答案：10

2．(2018·盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝R－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a表示)

解析：D＝R－A＝a－A，令t＝(t＞0)，则A＝t2，

所以D＝at－t2＝－2＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．

答案：a2

3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

解析：设出租车行驶x km时，付费y元，

则y＝

由y＝22.6，解得x＝9.

答案：9

4．(2019·盐城调研)一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于2 km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h(不计货车的身长)．

解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y，

因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，

可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×2时，时间最快．

则y＝＝＋≥2 ＝8，

当且仅当＝，即v＝100时等号成立，ymin＝8.

答案：8

5．(2019·南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．

解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x，则长为，其面积S＝·

x＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，当x＝3时，S有最大值18，所以隔墙的长度为3.

答案：3

6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．

解析：因为m＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

答案：4.24

二保高考，全练题型做到高考达标

1．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．

解析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，

又sA(100)＝sB(100)，

所以100k＋20＝100m，

得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，

即两种方式电话费相差10元．

答案：10

2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．

解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x)×(100＋x)－80×1 000＝－5x2＋500x＋20 000＝－5(x－50)2＋32 500，故当x＝50时，ymax＝32 500，此时售价为每件150元．

答案：150

3．(2019·海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

解析：设2017年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝3.8，所以n≥4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．

答案：2021年

4．(2019·启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y1＝，y2＝k2x，其中x＞0，

由得，即y1＋y2＝＋x≥2 ＝8，

当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．

答案：5

5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m＝________.

解析：根据题意知＝e5n，

令a＝aent，即＝ent，

因为＝e5n，故＝e15n，

比较知t＝15，m＝15－5＝10.

答案：10

6．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．

解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，

又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝0.06，

所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，当且仅当0.6v＝，

即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．

答案：40

7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．

解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，

所以阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y2＋24y)＝－(y－12)2＋180.

所以当y＝12时，S有最大值为180.

答案：180

8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．

解析：依题意得

即解得a＝2，b＝－2.

所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.

x＝1 024(万元)．

答案：1 024

9．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．

(1)求L(x)的函数关系式，并写出定义域；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

解：(1)L(x)＝16－x－2x＝64－－3x，x∈(0,5]．

(2)法一：L(x)＝64－－3x＝67－≤67－2＝43，当且仅当＝3(x＋1)，即x＝3时取等号．

故L(x)max＝43.

答：当投入的肥料费用为300元时，该水密桃树获得的利润最大，为4 300元．

法二：L′(x)＝－3，令L′(x)＝0，得x＝3.

故当x∈(0,3)时，L′(x)＞0，L(x)在(0,3)上单调递增；

当x∈(3,5]时，L′(x)＜0，L(x)在(3,5]上单调递减．

故L(x)max＝L(3)＝43.

答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300元．

10．(2019·镇江调研)如图，政府有一个边长为400 m的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场PQMN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠QBC＝α，长方形活动广场的面积为S.

(1)请把S表示成关于α的函数关系式；

(2)求S的最小值．

解：(1)过Q作QE⊥BC于E，连结BQ(图略)．

在Rt△BQE中，BE＝150cos α，QE＝150sin α，0≤α≤，

可得矩形PQMN的PQ＝400－300sin α，QM＝400－300cos α，

则S＝PQ·QM＝(400－300sin α)(400－300cos α)

＝10 000(4－3sin α)(4－3cos α)，α∈.

(2)由(1)知，S＝10 000[16－12(sin α＋cos α)＋9sin αcos α]，

设t＝sin α＋cos α＝sin ，则≤α＋≤，

可得1≤t≤，sin αcos α＝，

∴S＝10 000

＝5 000.

∴当t＝时，S取得最小值5 000×7＝35 000 m2.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，且60≤k≤100.

(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x的取值范围；

(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值．

解：(1)由题意知，当x＝120时，

＝11.5，∴k＝100，

由≤9，

得x2－145x＋4 500≤0，∴45≤x≤100.

又60≤x≤120，∴60≤x≤100.

故x的取值范围为[60,100]．

(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升，则

y＝·＝20－＋(60≤x≤120)．

令t＝，则t∈，

∴y＝90 000t2－20kt＋20＝90 0002＋20－，

∴该函数图象的对称轴为直线t＝.

∵60≤k≤100，∴∈.

①若≥，即75≤k≤100，

则当t＝，即x＝时，ymin＝20－.

②若＜，即60≤k＜75，

则当t＝，即x＝120时，ymin＝－.

答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升．