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2022-2023学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 24 B. 0.5 C. a2+4 D. ab
2. 下列计算正确的是( )
A. 3 2+2 3=5 5 B. 27÷ 3=3
C. 8=4 2 D. (−2)2=−2
3. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7
4. 式子 x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1 B. x<1 C. x≥1 D. x≤1
5. 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量四边形其中的三个角是否都为直角
6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等
7. 顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形ABCD一定满足( )
A. AB=BC B. AB⊥BC C. AC=BD D. AC⊥BD
8. 《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.问木杆长是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)( )
A. 5尺5寸 B. 1丈1尺 C. 5丈5寸 D. 5丈5尺
9. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为( )
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
10. 已知m=(− 33)×(−2 21)，则有( )
A. −6
A. 100 B. 130 C. 60 D. 120
12. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B、点C分别作AC，BD的平行线交于点E.若AB=6，AC=10，则四边形BOCE的面积为( )
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 化简 (−5)2的结果是 ．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=5，则DC= ______ ．
15. 如图，线段AB=16，分别以点A，点B为圆心，以10为半径作弧，两弧交于点C，点D，连接CD.则CD的长为______ ．
16. 如图，数轴上点A的坐标是4，AB⊥OA于点A，AB=2，以原点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C的坐标是______ ．
17. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b(b>a)，则(a+b)2的值为______ ．
18. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连接BP，EP，则BP+EP的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算
(1)( 2+2)2
(2)( 3− 8)−12( 18+ 12)
20. (本小题8.0分)
如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°.求这块土地的面积．
21. (本小题8.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=5，若DE//AC，CE//BD，求OE的长．
22. (本小题8.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知______(填序号)．
求证：四边形AECF为平行四边形．
在①BE=DF，②AE//CF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．
23. (本小题12.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
(1)通过计算判断△ABC的形状；
(2)在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．
24. (本小题14.0分)
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
(1)试说明EO=FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 24=2 6不是最简二次根式，错误；
B、 0.5= 22不是最简二次根式，错误；
C、 a2+4是最简二次根式，正确；
D、 ab= abb不是最简二次根式，错误；
故选：C．
根据最简二次根式的概念进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，3 2+2 3不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B选项， 27÷ 3= 9=3，计算正确，符合题意；
C选项， 8= 4×2=2 2，计算错误，不符合题意；
D选项， (−2)2= 4=2，计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法法则，除法法则，化为最简二次根式法则判断即可．
本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、22+32=14，42=16，
∵14≠16，
∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；
B、32+42=25，52=25，
∵25=25，
∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长；
C、42+52=41，62=36，
∵41≠36，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长；
D、52+62=61，72=49，
∵61≠49，
∴5，6，7不能作为直角三角形的三边长．
故选B．
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x−1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
【解答】
解：根据题意，得x−1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
矩形的判定定理有：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
本题考查的是矩形的判定定理，解题的关键是牢记这些定理，属于基础概念题，比较简单．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别.根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．
【解答】解：∵矩形和菱形是平行四边形，
∴C、D是二者都具有的性质，A是菱形具有的性质，
∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH=12AC，EH//AC，FG=12AC，FG//AC，EF=12BD，
∴EH//FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=12AC，EF=12BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：C．
根据三角形的中位线定理得到EH//FG，EF=FG，EF=12BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙的距离有(x−1)尺，
根据勾股定理得102+(x−1)2=x2，
解得，x=50.5
答：木杆长是5丈5寸．
故选：C．
根据勾股定理列方程，即可得到结论．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．
直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】
解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°−60°−80°=40°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO//BC，
∴∠1=∠ACB=40°．
故选：B．
10.【答案】D
【解析】解：m=(− 33)×(−2 21)=2 7= 28．
∵25<28<36，
∴5< 28<6，
即5
先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出m=2 7= 28，再利用夹值法即可求出m的范围．
本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将m化简为 28是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵∠CBD=90°，
∴△BEC为直角三角形，
∴CE= BE2+BC2= 52+122=13，
∴AE=AC−CE=26−13=13，
∴AE=CE，
∵BE=DE，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD=BE+ED=5+5=10，
∴S四边形ABCD=BC×BD=12×10=120．
故选：D．
根据勾股定理求出CE=13，得出AE=13，再根据AE=CE，BE=DE，得出四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，求出平行四边形的面积即可．
本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】证明：∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形COBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形
∴BD=AC，OB=OD，OC=OA，
∴OB=OC，
∴四边形COBE是菱形，
∵AB=6，AC=10，
∴BC= AC2−AB2= 100−36=8，
∴△ABC的面积为12BC⋅AB=12×8×6=24，
∵AO=CO，
∴S△BOC=12S△ABC=12，
∵四边形COBE是菱形，
∴S△BOC=12S菱形COBE=12，
∴S菱形COBE=24．
故选：C．
先根据BE//AC，CE//BD，证出四边形COBE是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OB，即可证得四边形COBE是菱形，根据勾股定理可求BC=8，求出△BOC的面积即可求四边形COBE的面积．
本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC=OB是解决问题的关键．
13.【答案】5
【解析】解： (−5)2=|−5|=5．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质： a2=|a|的运用．
14.【答案】10
【解析】解：∵E、F分别是AD、BD的中点，若EF=5，
∴EF是△DAB的中位线，
∴AB=2EF=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=10，
故答案为：10．
根据三角形中位线定理得出AB，进而利用平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
15.【答案】12
【解析】解：∵分别以点A，点B为圆心，以10为半径作弧，两弧交于点C，点D，
∴AC=AD=BC=BD=10，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，
设AB与CD相交于点O，
则OA=OB=12AB=8，OC=OD，
∵在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∴OC= AC2−OA2= 102−82=6，
∴CD=2OC=12．
故答案为：12．
由题意知AC=AD=BC=BD=10，则四边形ACBD是菱形，得出AB⊥CD，设AB与CD相交于点O，由菱形的性质得出OA=OB=12AB=8，OC=OD，由勾股定理求出OC，进而可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】2 5
【解析】解：∵AB⊥OA于点A，
∴∠OAB=90°，
∵OA=4，AB=2，
∴OB= OA2+AB2= 42+22=2 5，
由作图知OC=OB=2 5，
∴点C的坐标是2 5，
故答案为：2 5．
由AB⊥OA于点A，得∠OAB=90°，则OC=OB= OA2+AB2=2 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、同圆的半径相等等知识，根据勾股定理求得OB=2 5是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：根据勾股定理可得a2+b2=5，
四个直角三角形的面积是：12ab×4=5−1=4，即：2ab=4，
则(a+b)2=a2+2ab+b2=5+4=9．
故答案为：9．
根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据(a+b)2=a2+2ab+b2即可求解．
本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
18.【答案】 5
【解析】解：连接BD，
∵正方形的对角线互相垂直平分，
∴无论P在什么位置，都有PD=PB；
故均有BP+EP=PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
如图所示：
此时BP+EP=DE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DC=BC=2，
∵E是BC的中点，
∴EC=1，
在Rt△DEC中，
DE= DC2+EC2= 22+12= 5．
故答案为： 5．
根据正方形沿对角线的对称性，可得可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有BP+EP=PD+PE成立；所以原题可以转化为求BP+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位置；进而可得BP+EP=DE，可得答案．
主要考查了正方形中的最小值问题．解决此类问题关键是利用图形的轴对称性把所求的两条线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来转化关系．
19.【答案】解：(1)( 2+2)2
=( 2)2+2×2 2+22
=2+4 2+4
=6+4 2；
(2)( 3− 8)−12( 18+ 12)
= 3−2 2−12×(3 2+2 3)
= 3−2 2−32 2− 3
=−7 22．
【解析】(1)根据完全平方公式展开可得答案；
(2)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：连接BD，
∵∠A=90°，
∴BD2=AD2+AB2=100
则BD2+CD2=100+576=676=262=BC2，因此∠CBD=90°，
S四边形ABCD=S△ADB+S△CBD=12AD⋅AB+12BD⋅CD=12×6×8+12×24×10=144(平方米)．
【解析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
此题考查勾股定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成解三角形的问题再解答．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=5，AC⊥BD，
即∠OCD=90°，
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴四边形ODEC是矩形，
∴OE=CD=5．
【解析】由菱形的性质可得BC=CD=5，∠OD=90°，结合已知条件可证四边形ODEC是矩形，可得OE=CD=5．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，证得四边形ODEC是矩形是解题的关键．
22.【答案】①或②
【解析】解：添加①BE=DF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=CFE，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
添加②AE//CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE//CF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：①或②．
本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意可得，AB= 12+22= 5，
AC= 22+42=2 5，BC= 32+42=5，
∵( 5)2+(2 5)2=25=52，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，
直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
∴▱ABCD的面积为：AB×AC= 5×2 5=10．
【解析】此题考查直角三角形的判定和性质，关键是根据勾股定理以及勾股定理的逆定理解答．
(1)分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断；
(2)过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，根据平行四边形的面积解答即可．
24.【答案】解：(1)∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OC=OF，
∴OE=OF．
(2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB，
同理，∠ACF=12∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=12(∠ACB+∠ACG)=12×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
(3)△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN//BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)根据CE平分∠ACB，MN//BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
(2)利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
(3)利用已知条件及正方形的性质解答．
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论(1)，再利用结论(1)和矩形的判定证明结论(2)，再对(3)进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
2022-2023学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 24 B. 0.5 C. a2+4 D. ab
2. 下列计算正确的是( )
A. 3 2+2 3=5 5 B. 27÷ 3=3
C. 8=4 2 D. (−2)2=−2
3. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7
4. 式子 x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1 B. x<1 C. x≥1 D. x≤1
5. 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量四边形其中的三个角是否都为直角
6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等
7. 顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形ABCD一定满足( )
A. AB=BC B. AB⊥BC C. AC=BD D. AC⊥BD
8. 《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.问木杆长是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)( )
A. 5尺5寸 B. 1丈1尺 C. 5丈5寸 D. 5丈5尺
9. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为( )
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
10. 已知m=(− 33)×(−2 21)，则有( )
A. −6
A. 100 B. 130 C. 60 D. 120
12. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B、点C分别作AC，BD的平行线交于点E.若AB=6，AC=10，则四边形BOCE的面积为( )
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 化简 (−5)2的结果是 ．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=5，则DC= ______ ．
15. 如图，线段AB=16，分别以点A，点B为圆心，以10为半径作弧，两弧交于点C，点D，连接CD.则CD的长为______ ．
16. 如图，数轴上点A的坐标是4，AB⊥OA于点A，AB=2，以原点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C的坐标是______ ．
17. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b(b>a)，则(a+b)2的值为______ ．
18. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连接BP，EP，则BP+EP的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算
(1)( 2+2)2
(2)( 3− 8)−12( 18+ 12)
20. (本小题8.0分)
如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°.求这块土地的面积．
21. (本小题8.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=5，若DE//AC，CE//BD，求OE的长．
22. (本小题8.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知______(填序号)．
求证：四边形AECF为平行四边形．
在①BE=DF，②AE//CF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．
23. (本小题12.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
(1)通过计算判断△ABC的形状；
(2)在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．
24. (本小题14.0分)
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
(1)试说明EO=FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 24=2 6不是最简二次根式，错误；
B、 0.5= 22不是最简二次根式，错误；
C、 a2+4是最简二次根式，正确；
D、 ab= abb不是最简二次根式，错误；
故选：C．
根据最简二次根式的概念进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，3 2+2 3不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B选项， 27÷ 3= 9=3，计算正确，符合题意；
C选项， 8= 4×2=2 2，计算错误，不符合题意；
D选项， (−2)2= 4=2，计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法法则，除法法则，化为最简二次根式法则判断即可．
本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、22+32=14，42=16，
∵14≠16，
∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；
B、32+42=25，52=25，
∵25=25，
∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长；
C、42+52=41，62=36，
∵41≠36，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长；
D、52+62=61，72=49，
∵61≠49，
∴5，6，7不能作为直角三角形的三边长．
故选B．
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x−1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
【解答】
解：根据题意，得x−1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
矩形的判定定理有：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
本题考查的是矩形的判定定理，解题的关键是牢记这些定理，属于基础概念题，比较简单．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别.根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．
【解答】解：∵矩形和菱形是平行四边形，
∴C、D是二者都具有的性质，A是菱形具有的性质，
∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH=12AC，EH//AC，FG=12AC，FG//AC，EF=12BD，
∴EH//FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=12AC，EF=12BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：C．
根据三角形的中位线定理得到EH//FG，EF=FG，EF=12BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙的距离有(x−1)尺，
根据勾股定理得102+(x−1)2=x2，
解得，x=50.5
答：木杆长是5丈5寸．
故选：C．
根据勾股定理列方程，即可得到结论．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．
直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】
解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°−60°−80°=40°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO//BC，
∴∠1=∠ACB=40°．
故选：B．
10.【答案】D
【解析】解：m=(− 33)×(−2 21)=2 7= 28．
∵25<28<36，
∴5< 28<6，
即5
先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出m=2 7= 28，再利用夹值法即可求出m的范围．
本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将m化简为 28是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵∠CBD=90°，
∴△BEC为直角三角形，
∴CE= BE2+BC2= 52+122=13，
∴AE=AC−CE=26−13=13，
∴AE=CE，
∵BE=DE，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD=BE+ED=5+5=10，
∴S四边形ABCD=BC×BD=12×10=120．
故选：D．
根据勾股定理求出CE=13，得出AE=13，再根据AE=CE，BE=DE，得出四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，求出平行四边形的面积即可．
本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】证明：∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形COBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形
∴BD=AC，OB=OD，OC=OA，
∴OB=OC，
∴四边形COBE是菱形，
∵AB=6，AC=10，
∴BC= AC2−AB2= 100−36=8，
∴△ABC的面积为12BC⋅AB=12×8×6=24，
∵AO=CO，
∴S△BOC=12S△ABC=12，
∵四边形COBE是菱形，
∴S△BOC=12S菱形COBE=12，
∴S菱形COBE=24．
故选：C．
先根据BE//AC，CE//BD，证出四边形COBE是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OB，即可证得四边形COBE是菱形，根据勾股定理可求BC=8，求出△BOC的面积即可求四边形COBE的面积．
本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC=OB是解决问题的关键．
13.【答案】5
【解析】解： (−5)2=|−5|=5．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质： a2=|a|的运用．
14.【答案】10
【解析】解：∵E、F分别是AD、BD的中点，若EF=5，
∴EF是△DAB的中位线，
∴AB=2EF=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=10，
故答案为：10．
根据三角形中位线定理得出AB，进而利用平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
15.【答案】12
【解析】解：∵分别以点A，点B为圆心，以10为半径作弧，两弧交于点C，点D，
∴AC=AD=BC=BD=10，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，
设AB与CD相交于点O，
则OA=OB=12AB=8，OC=OD，
∵在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∴OC= AC2−OA2= 102−82=6，
∴CD=2OC=12．
故答案为：12．
由题意知AC=AD=BC=BD=10，则四边形ACBD是菱形，得出AB⊥CD，设AB与CD相交于点O，由菱形的性质得出OA=OB=12AB=8，OC=OD，由勾股定理求出OC，进而可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】2 5
【解析】解：∵AB⊥OA于点A，
∴∠OAB=90°，
∵OA=4，AB=2，
∴OB= OA2+AB2= 42+22=2 5，
由作图知OC=OB=2 5，
∴点C的坐标是2 5，
故答案为：2 5．
由AB⊥OA于点A，得∠OAB=90°，则OC=OB= OA2+AB2=2 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、同圆的半径相等等知识，根据勾股定理求得OB=2 5是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：根据勾股定理可得a2+b2=5，
四个直角三角形的面积是：12ab×4=5−1=4，即：2ab=4，
则(a+b)2=a2+2ab+b2=5+4=9．
故答案为：9．
根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据(a+b)2=a2+2ab+b2即可求解．
本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
18.【答案】 5
【解析】解：连接BD，
∵正方形的对角线互相垂直平分，
∴无论P在什么位置，都有PD=PB；
故均有BP+EP=PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
如图所示：
此时BP+EP=DE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DC=BC=2，
∵E是BC的中点，
∴EC=1，
在Rt△DEC中，
DE= DC2+EC2= 22+12= 5．
故答案为： 5．
根据正方形沿对角线的对称性，可得可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有BP+EP=PD+PE成立；所以原题可以转化为求BP+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位置；进而可得BP+EP=DE，可得答案．
主要考查了正方形中的最小值问题．解决此类问题关键是利用图形的轴对称性把所求的两条线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来转化关系．
19.【答案】解：(1)( 2+2)2
=( 2)2+2×2 2+22
=2+4 2+4
=6+4 2；
(2)( 3− 8)−12( 18+ 12)
= 3−2 2−12×(3 2+2 3)
= 3−2 2−32 2− 3
=−7 22．
【解析】(1)根据完全平方公式展开可得答案；
(2)根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：连接BD，
∵∠A=90°，
∴BD2=AD2+AB2=100
则BD2+CD2=100+576=676=262=BC2，因此∠CBD=90°，
S四边形ABCD=S△ADB+S△CBD=12AD⋅AB+12BD⋅CD=12×6×8+12×24×10=144(平方米)．
【解析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
此题考查勾股定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成解三角形的问题再解答．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=5，AC⊥BD，
即∠OCD=90°，
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴四边形ODEC是矩形，
∴OE=CD=5．
【解析】由菱形的性质可得BC=CD=5，∠OD=90°，结合已知条件可证四边形ODEC是矩形，可得OE=CD=5．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，证得四边形ODEC是矩形是解题的关键．
22.【答案】①或②
【解析】解：添加①BE=DF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=CFE，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
添加②AE//CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE//CF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：①或②．
本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意可得，AB= 12+22= 5，
AC= 22+42=2 5，BC= 32+42=5，
∵( 5)2+(2 5)2=25=52，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，
直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
∴▱ABCD的面积为：AB×AC= 5×2 5=10．
【解析】此题考查直角三角形的判定和性质，关键是根据勾股定理以及勾股定理的逆定理解答．
(1)分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断；
(2)过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，根据平行四边形的面积解答即可．
24.【答案】解：(1)∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OC=OF，
∴OE=OF．
(2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB，
同理，∠ACF=12∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=12(∠ACB+∠ACG)=12×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
(3)△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN//BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)根据CE平分∠ACB，MN//BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
(2)利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
(3)利用已知条件及正方形的性质解答．
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论(1)，再利用结论(1)和矩形的判定证明结论(2)，再对(3)进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
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